{"id":102,"date":"2023-07-17T06:09:40","date_gmt":"2023-07-17T06:09:40","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/polinomi-fattoriali\/"},"modified":"2023-07-17T06:09:40","modified_gmt":"2023-07-17T06:09:40","slug":"polinomi-fattoriali","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/polinomi-fattoriali\/","title":{"rendered":"Come fattorizzare i polinomi"},"content":{"rendered":"<p><strong>Cos&#8217;\u00e8 la fattorizzazione polinomiale?<\/strong> \u00c8 una tecnica matematica che permette di scomporre un <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/polinomio\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">polinomio<\/a> in fattori o espressioni pi\u00f9 semplici. E grazie a questa semplificazione potremo eseguire operazioni tra pi\u00f9 espressioni algebriche in modo pi\u00f9 semplice e comodo. Quindi, in questo articolo, discuteremo diversi metodi di fattorizzazione dei polinomi e tutti i possibili casi di fattorizzazione.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"como-factorizar-un-polinomio\"> <span id=\"Como_factorizar_un_polinomio\">Come fattorizzare un polinomio?<\/span><\/h2>\n<p> Esistono molti <strong>metodi di fattorizzazione<\/strong> che hanno una propria struttura di soluzione, ma alla fine si basano sulla stessa cosa. Inoltre, puoi anche trovare un&#8217;ampia variet\u00e0 di casi riguardanti la configurazione polinomiale. Ecco perch\u00e9 nelle sezioni seguenti discuteremo di tutte le procedure esistenti e quando utilizzare ciascuna di esse. Infine lo applicheremo ad un esempio reale in modo che tu possa completare l&#8217;acquisizione dei concetti.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"factorizar-un-polinomio-con-la-regla-de-ruffini\"> <span id=\"Factorizar_un_polinomio_con_la_regla_de_Ruffini\">Fattorizzare un polinomio con la regola di Ruffini<\/span><\/h2>\n<p> Il metodo pi\u00f9 utilizzato per fattorizzare i polinomi \u00e8 <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/calcolatrice-ruffini\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">la regola di Ruffini<\/a> , perch\u00e9 \u00e8 facile da usare e il risultato pu\u00f2 essere trovato rapidamente. La cosa normale \u00e8 usare questa tecnica per fattorizzare polinomi di grado maggiore di due, o talvolta anche per fattorizzare polinomi di secondo grado. Poich\u00e9 ti consente <strong>di ottenere le radici di questo polinomio<\/strong> in modo molto grafico. Anche se questo utilizzo verr\u00e0 spiegato nella sezione successiva che si concentrer\u00e0 sulle radici di un&#8217;espressione matematica di questo tipo. <\/p>\n<div class=\"wp-block-media-text alignwide is-stacked-on-mobile\" style=\"grid-template-columns:36% auto\">\n<figure class=\"wp-block-media-text__media\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"291\" height=\"732\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/factoriser-le-polynome-avec-ruffini.webp\" data-src=\"\" alt=\"Fattorizzare il polinomio con Ruffini\" class=\"wp-image-5364 size-full lazyload\" data-srcset=\"https:\/\/micalculadoracientifica.com\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/Factorizar-polinomio-con-Ruffini.png 291w, https:\/\/micalculadoracientifica.com\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/Factorizar-polinomio-con-Ruffini-199x500.png 199w\" sizes=\"auto, \" srcset=\"\"><\/figure>\n<div class=\"wp-block-media-text__content\">\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"como-hacer-ruffini-para-factorizar-polinomios\"> Come fa Ruffini a fattorizzare i polinomi?<\/h3>\n<p> In sostanza dovremo <strong>scrivere su una linea orizzontale i coefficienti del dividendo<\/strong> e sul lato il valore di un&#8217;eventuale radice del polinomio. Diciamo possibile, perch\u00e9 dovremo cercare un divisore che ci permetta di ottenere un resto pari a zero. Altrimenti, questo numero non sar\u00e0 una radice valida e dovrai continuare a provare.<\/p>\n<p> Come consiglio, ti consigliamo di provare solo i numeri divisori del termine indipendente (ultimo valore della linea orizzontale). Quindi, per sapere se il numero che hai scelto \u00e8 corretto, ti baster\u00e0 seguire la seguente <strong>sequenza di calcoli<\/strong> :<\/p>\n<p> Diminuisci il coefficiente, moltiplicalo per la radice che stai testando, scrivilo sotto il coefficiente successivo ed esegui l&#8217;addizione verticale. Dovrai semplicemente ripetere questi passaggi fino alla fine e, una volta terminato, saprai se questo valore \u00e8 corretto o meno. Poich\u00e9 solo i numeri che danno resto zero saranno validi.<\/p>\n<p> Se il procedimento matematico che devi seguire non ti \u00e8 molto chiaro puoi guardare l&#8217;esempio nella colonna a sinistra di questo testo. Inoltre, ti consigliamo di provare a fattorizzare il seguente polinomio: <strong>x\u00b3 + 2x\u00b2 \u2013 x \u2013 2<\/strong> (basato sull&#8217;esempio). E infine, per sapere se hai risolto correttamente l&#8217;esercizio oppure no, puoi confrontare il tuo risultato con questo:<\/p>\n<ul>\n<li> Espressione in eccesso = x\u00b2 + 3x + 2<\/li>\n<li> resto = 0<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> Faremo ora una breve spiegazione sull&#8217;applicazione <strong>di Ruffini nella fattorizzazione<\/strong> . Tuttavia, se vuoi sapere in dettaglio come viene utilizzata questa risorsa matematica, ti consigliamo di accedere all&#8217;ultimo articolo che abbiamo collegato, poich\u00e9 l\u00ec \u00e8 tutto spiegato molto bene. Detto questo cominciamo spiegando come fattorizzare i polinomi con la regola di Ruffini:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Disegniamo la griglia:<\/strong> come possiamo vedere nell&#8217;immagine sopra, creeremo una scatola nella quale realizzeremo i Ruffini. In sostanza bisogna scrivere i coefficienti dell&#8217;espressione ordinati orizzontalmente e senza tralasciare quelli che hanno valore zero. Alla fine dovresti avere una rappresentazione simile a quella nell&#8217;immagine ma con i valori del tuo polinomio.<\/li>\n<li> <strong>Calcoliamo le radici:<\/strong> una volta che avremo disegnato la struttura e accertato che tutti i numeri siano scritti correttamente, procederemo al calcolo della radice. Dovrai trovare le radici seguendo la sequenza di calcolo di cui abbiamo parlato poco sopra questo elenco (con le immagini).<\/li>\n<li> <strong>Esprimiamo la radice nella forma (x \u2013 a):<\/strong> quando abbiamo tutte le radici del polinomio allora dobbiamo esprimerle nella seguente forma (x \u2013 a). Tenendo conto che a sono i valori che abbiamo ottenuto, ad esempio se estraessimo come risultato x = 2, x = -2 e x = 4, allora otterremo (x \u2013 2), (x + 2) e ( x-4).<\/li>\n<li> <strong>Raccogliamo tutti i fattori in un&#8217;unica espressione:<\/strong> infine, quando avremo gi\u00e0 tutte le radici espresse nel formato corretto, non ci resta che raccoglierle in un&#8217;unica espressione algebrica. Continuando con l&#8217;esempio precedente, avremmo qualcosa del genere: (x \u2013 2) \u00b7 (x + 2) \u00b7 (x \u2013 4). <\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"factorizar-un-polinomio-usando-las-raices-de-un-polinomio\"> <span id=\"Factorizar_un_polinomio_usando_las_raices_de_un_polinomio\">Fattorizzare un polinomio utilizzando le radici di un polinomio<\/span><\/h2>\n<p> Abbiamo spiegato a met\u00e0 il concetto radice di un polinomio nella sezione di Ruffini. Ma la definizione esatta sarebbe: la radice di un polinomio P(x) \u00e8 un valore numerico a, tale che <strong>P(a) = 0<\/strong> . Si tratta quindi di un numero capace di annullare la funzione o il polinomio in questione. In sintesi potremmo dire che serve per scomporre un polinomio in un prodotto di fattori.<\/p>\n<p> Ad esempio, se ci viene data la seguente espressione x\u00b2 \u2212 x \u2212 2 e la fattorizziamo utilizzando la regola di Ruffini oppure risolvendo semplicemente l&#8217;equazione quadratica x\u00b2 \u2212 x \u2212 2 = 0. Otterremo due valori x = -1 e x = 2, quindi se li cambiamo nel formato (x \u2013 a) e li mettiamo insieme, arriveremo alla seguente espressione: (x + 1) (x \u2212 2), cio\u00e8 il <strong>polinomio scomposto<\/strong> . E possiamo applicarlo ai polinomi di grado maggiore di due, anche se l&#8217;espressione \u00e8 composta da pi\u00f9 di un termine.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"factorizar-un-polinomio-por-extraccion-de-factor-comun\"> <span id=\"Factorizar_un_polinomio_por_extraccion_de_factor_comun\">Fattorizzazione di un polinomio mediante estrazione dei fattori comuni<\/span><\/h2>\n<p> Quando vogliamo fattorizzare polinomi senza un termine indipendente o espressioni che hanno un fattore comune in tutti i termini, allora possiamo semplificare il polinomio utilizzando questa tecnica. Fondamentalmente si tratta <strong>di applicare la propriet\u00e0 distributiva<\/strong> all&#8217;intera espressione, rimuovendo il fattore comune ripetuto e aggiungendolo moltiplicando l&#8217;intero polinomio. Di seguito troverete un esempio del primo caso di cui abbiamo parlato (polinomio senza termine indipendente):<\/p>\n<p> 2x\u00b3 + 10x\u00b2 \u2013 6x = 2x (x\u00b2 + 5x \u2013 3)<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"doble-extraccion-de-factor-comun\"> Doppia estrazione del fattore comune<\/h3>\n<p> L\u2019estrazione dei fattori comuni pu\u00f2 essere effettuata anche estraendo fattori pi\u00f9 complessi, che includono pi\u00f9 variabili. E puoi anche estrarre polinomi derivati dall&#8217;espressione principale stessa. \u00c8 importante non porre limiti quando si vuole eseguire questo tipo di operazioni, perch\u00e9 l&#8217;obiettivo dell&#8217;estrazione dei fattori \u00e8 <strong>quello di semplificare il pi\u00f9 possibile un&#8217;espressione algebrica<\/strong> .<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"factorizacion-de-polinomios-mediante-identidades-notables\"> <span id=\"Factorizacion_de_polinomios_mediante_identidades_notables\">Fattorizzazione di polinomi utilizzando identit\u00e0 notevoli<\/span><\/h2>\n<p> <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Prodotti degni di nota<\/a> possono aiutarci a fattorizzare le espressioni polinomiali, poich\u00e9 sono una sorta di espressioni algebriche semplificate. Ci aiutano quindi a passare direttamente da un lungo polinomio a una piccola formula composta da pochi termini. \u00c8 quindi fortemente consigliato apprendere le <strong>formule delle identit\u00e0 notevoli<\/strong> per poter identificare rapidamente quando \u00e8 possibile utilizzarle. E quindi risparmiandoci tempo nel factoring con Ruffini o con uno qualsiasi degli altri metodi. Successivamente, tratteremo le tre regole che devi imparare:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Differenza di quadrati:<\/strong> a\u00b2 \u2013 b\u00b2 = (a + b) \u00b7 (a \u2013 b)<\/li>\n<li> <strong>Quadrato della somma:<\/strong> a\u00b2 + 2ab + b\u00b2 = (a + b)\u00b2<\/li>\n<li> <strong>Quadrato di sottrazione:<\/strong> a\u00b2 \u2013 2ab + b\u00b2 = (a \u2013 b)\u00b2<\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"factorizacion-de-polinomios-por-agrupacion\"> <span id=\"Factorizacion_de_polinomios_por_agrupacion\">Fattorizzare i polinomi per raggruppamento<\/span><\/h2>\n<p> In alcuni casi possiamo trovare un polinomio di struttura <strong>x\u00b2 \u2013 ax \u2013 bx + ab<\/strong> , che pu\u00f2 essere semplificato eliminando un fattore comune: x (x \u2013 a) \u2013 b (x \u2013 a). E se prendiamo nuovamente il divisore comune, possiamo semplificarlo ulteriormente: (x \u2013 a) \u00b7 (x \u2013 b). Pertanto, le radici di questo polinomio sarebbero x = aex = b. Come puoi vedere, questo tipo di espressione algebrica ha una struttura molto facile da fattorizzare e utilizzare.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"ejercicios-de-factorizacion-de-polinomios\"> <span id=\"Ejercicios_de_factorizacion_de_polinomios\">Esercizi di fattorizzazione polinomiale<\/span><\/h2>\n<p> Infine, vogliamo proporti una <strong>serie di esercizi<\/strong> affinch\u00e9 tu possa esercitarti nella fattorizzazione dei polinomi. In questo modo potrai interiorizzare meglio la teoria che abbiamo spiegato oggi. Semplicemente, devi risolvere gli esercizi sul tuo quaderno e poi confrontare i risultati con quelli che ti proponiamo di seguito.<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>x <sup>4<\/sup> -1 =<\/strong> (x <sup>2<\/sup> + 1) (x + 1) (x \u2013 1)<\/li>\n<li> <strong>x <sup>5<\/sup> + x <sup>4<\/sup> \u2013 x \u2013 1 =<\/strong> (x \u2013 1) (x + 1) <sup>2<\/sup> (x <sup>2<\/sup> + 1)<\/li>\n<li> <strong><strong><sup>9\u00d72<\/sup><\/strong> + 30x + 25 =<\/strong> (3x + 5) <sup>2<\/sup><\/li>\n<li> <strong>x <sup>4<\/sup> \u2013 3x <sup>3<\/sup> \u2013 3x <sup>2<\/sup> + 11x \u2013 6 =<\/strong> (x + 2) (x \u2013 3) (x \u2013 1) <sup>2<\/sup><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Cos&#8217;\u00e8 la fattorizzazione polinomiale? \u00c8 una tecnica matematica che permette di scomporre un polinomio in fattori o espressioni pi\u00f9 semplici. E grazie a questa semplificazione potremo eseguire operazioni tra pi\u00f9 espressioni algebriche in modo pi\u00f9 semplice e comodo. 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