<\/strong><\/p>\n <\/strong><\/p>\n La definizione di funzione quadratica \u00e8 la seguente: <\/p>\n In matematica, una funzione quadratica (o parabolica)<\/strong> \u00e8 una funzione polinomiale di grado 2, cio\u00e8 una funzione in cui il termine di grado pi\u00f9 alto \u00e8 di secondo grado. Pertanto, la formula per una funzione quadratica \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n Oro:<\/p>\n \u00e8 il termine quadratico.<\/li>\n \u00e8 il termine lineare.<\/li>\n \u00e8 il termine indipendente.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n Il dominio di una funzione quadratica \u00e8 sempre costituito da numeri reali. <\/p>\n<\/p>\n Analizzare la curvatura di una funzione quadratica o parabolica \u00e8 molto semplice, perch\u00e9 dipende solo dal coefficiente quadratico.<\/p>\n \u00e8 positivo, la funzione quadratica \u00e8 convessa<\/strong> (nella forma<\/p>\n ). Il vertice \u00e8 quindi un minimo.<\/li>\n \u00e8 negativo, la funzione quadratica \u00e8 concava<\/strong> (a forma di<\/p>\n ). Il picco \u00e8 quindi un massimo. <\/li>\n<\/ul>\n Nota:<\/strong> La comunit\u00e0 matematica non \u00e8 ancora del tutto d’accordo e, quindi, alcuni professori dicono il contrario: chiamano concava una funzione che ha la forma di un<\/p>\n<\/p>\n , e una funzione convessa che ha la forma di<\/p>\n . In ogni caso, l’importante \u00e8 quale forma abbia la funzione, qualunque sia il nome. <\/p>\n <\/strong><\/p>\n Per rappresentare graficamente una funzione quadratica \u00e8 necessario conoscere le coordinate del vertice della parabola. <\/p>\n Per trovare il vertice di una funzione quadratica, dobbiamo calcolare la coordinata X del punto utilizzando la seguente formula:<\/p>\n<\/p>\n Quindi possiamo trovare l’altra coordinata del vertice calcolando l’immagine della funzione in quel punto:<\/p>\n<\/p>\n Pertanto le coordinate del vertice di una funzione quadratica (o parabola) sono: <\/p>\n<\/p>\n <\/strong><\/p>\n Una parabola interseca sempre l’asse y (asse Y), e questo accade quando<\/p>\n<\/p>\n Pertanto, per calcolare il punto limite di una funzione quadratica con l’asse Y, \u00e8 necessario risolvere<\/p>\n Ad esempio, il punto di intersezione con l’asse OY della seguente funzione quadratica \u00e8: <\/p>\n<\/p>\n D’altra parte, il punto limite di una funzione quadratica con l’asse x (asse X) si verifica quando<\/p>\n<\/p>\n Quindi per calcolare il punto di intersezione con l’asse X devi risolvere l’equazione<\/p>\n Ad esempio, di seguito \u00e8 riportato il calcolo del punto di interruzione con l’asse OX della stessa funzione quadratica:<\/p>\n<\/p>\n Risolviamo l’equazione quadratica con la formula generale:<\/p>\n<\/p>\n Il punto di intersezione della funzione quadratica con l’asse X \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n In questo caso, abbiamo ottenuto una sola soluzione dell’equazione quadratica, ma avremmo potuto ottenere due soluzioni. In questo caso ci\u00f2 significa che la funzione quadratica interseca l’asse X in due punti diversi. <\/p>\n <\/strong><\/p>\n Vediamo come rappresentare una funzione quadratica<\/strong> su un grafico utilizzando un esempio.<\/p>\n La prima cosa da fare \u00e8 calcolare il vertice della parabola.<\/strong> Per fare ci\u00f2 utilizziamo la formula che abbiamo visto sopra:<\/p>\n<\/p>\n Una volta che sappiamo dove sar\u00e0 il vertice, dobbiamo costruire una tabella di valori: <\/strong> Calcoliamo il valore della funzione al vertice e nei punti che lo circondano:<\/p>\n<\/p>\n Puoi anche calcolare i punti di taglio della funzione quadratica con gli assi cartesiani per disegnare meglio la parabola, ma questo non \u00e8 strettamente necessario.<\/p>\n Rappresentiamo ora i punti ottenuti su un grafico :<\/strong> <\/p>\n E infine uniamo i punti che formano la parabola. Allora allunghiamo i rami della parabola per indicare che continua verso l’alto: <\/p>\n Trova il vertice della seguente funzione quadratica: <\/p>\n<\/p>\n Per prima cosa calcoliamo la coordinata X del vertice utilizzando la formula:<\/p>\n<\/p>\n E ora calcoliamo l’altra coordinata valutando la funzione nel punto:<\/p>\n<\/p>\n Il vertice della funzione quadratica \u00e8 quindi: <\/p>\n<\/p>\n <\/strong><\/p>\n Trova i punti limite della seguente funzione con gli assi: <\/p>\n<\/p>\n Per calcolare il punto di taglio con l’asse Y, dobbiamo calcolare <\/p>\n<\/p>\n La funzione passa quindi per l’asse Y nel punto:<\/p>\n<\/p>\n E per trovare i punti di taglio con l’asse X dobbiamo risolvere <\/p>\n<\/p>\n Calcoliamo le radici dell’equazione quadratica con la formula: <\/p>\n<\/p>\n La funzione taglia quindi l’asse X in due punti: <\/p>\n<\/p>\n Rappresentare graficamente la seguente funzione quadratica: <\/p>\n<\/p>\n Questa \u00e8 una funzione quadratica. di conseguenza, per rappresentarlo bisogna prima calcolare l’ascissa del vertice della parabola con la formula:<\/p>\n<\/p>\n Ora creiamo la tabella dei valori. Per fare ci\u00f2, calcoliamo il valore di<\/p>\n<\/p>\n in alto e intorno alla parte superiore: <\/p>\n Infine tracciamo i punti sul grafico e disegniamo la parabola: <\/p>\n Rappresentare graficamente la seguente funzione quadratica: <\/p>\n<\/p>\n Questa \u00e8 una funzione del secondo ordine. di conseguenza per rappresentarlo bisogna prima trovare l’ascissa del vertice della parabola con la formula:<\/p>\n<\/p>\n Ora costruiamo la tabella dei valori. Per fare ci\u00f2, calcoliamo il valore di<\/p>\n<\/p>\n in alto e intorno alla parte superiore: <\/p>\n Infine tracciamo i punti sul grafico e disegniamo la parabola: <\/p>\n Traccia la seguente funzione quadratica incompleta su un grafico: <\/p>\n<\/p>\n \u00c8 una funzione polinomiale di grado due. di conseguenza, per rappresentarlo bisogna prima calcolare l’ascissa del vertice della parabola con la formula:<\/p>\n<\/p>\n In questo caso la funzione \u00e8 incompleta, poich\u00e9 non ha un termine di primo grado. Per quello<\/p>\n<\/p>\n Ora creiamo la tabella dei valori. Per fare ci\u00f2, calcoliamo il valore di<\/p>\n<\/p>\n in alto e intorno alla parte superiore: <\/p>\n Infine tracciamo i punti sul grafico e disegniamo la parabola: <\/p>\n Risolvi il seguente problema relativo alle funzioni quadratiche:<\/p>\n Il costo di produzione di un prodotto \u00e8 definito dalla seguente funzione:<\/p>\n<\/p>\n Oro<\/p>\n<\/p>\n sono le unit\u00e0 prodotte (in migliaia) e<\/p>\n \u00e8 il costo di produzione delle unit\u00e0 (in migliaia di euro).<\/p>\n Questa \u00e8 una funzione quadratica. di conseguenza per rappresentarlo bisogna prima trovare l’ascissa del vertice della parabola con la formula:<\/p>\n<\/p>\n Ora creiamo la tabella dei valori. Per fare ci\u00f2, calcoliamo il valore di<\/p>\n<\/p>\n in alto e intorno alla parte superiore: <\/p>\n Ora tracciamo i punti sul grafico e disegniamo la parabola: <\/p>\n Una volta rappresentata la funzione vedremo quanto i costi sono minimizzati.<\/p>\n Come mostra il grafico, i costi minimi verranno raggiunti nella parte superiore della parabola. Perch\u00e9 \u00e8 l\u00ec che la funzione assume il valore pi\u00f9 piccolo.<\/p>\n In conclusione, i costi saranno minimizzati producendo 6.000 unit\u00e0.<\/p>\n Risolvi il seguente problema sulla funzione quadratica:<\/p>\n Un atleta esegue un lancio del giavellotto la cui traiettoria pu\u00f2 essere rappresentata dalla seguente funzione:<\/p>\n<\/p>\n Oro<\/p>\n<\/p>\n sono i metri percorsi dal giavellotto e<\/p>\n la sua altezza (anche in metri).<\/p>\n Qual \u00e8 l’altezza massima che pu\u00f2 raggiungere il giavellotto? <\/p>\n Questa \u00e8 una funzione quadratica, quindi la traiettoria del giavellotto sar\u00e0 una parabola.<\/p>\n Inoltre, poich\u00e9 il coefficiente del termine quadratico \u00e8 negativo (-0,025), la parabola avr\u00e0 una forma a U rovesciata e i suoi rami andranno verso il basso. In tal modo il giavellotto raggiunger\u00e0 la massima altezza in alto, poich\u00e9 questo sar\u00e0 il punto pi\u00f9 alto della parabola.<\/p>\n Calcoliamo quindi l’ascissa del vertice della parabola con la formula:<\/p>\n<\/p>\n E poi calcoliamo quanto sar\u00e0 alto il giavellotto in quel punto valutando la funzione in <\/p>\n<\/p>\n L’altezza massima che il giavellotto pu\u00f2 raggiungere \u00e8 quindi di 42 metri.<\/p>\n Risolvi il seguente problema relativo alle funzioni quadratiche:<\/p>\n I costi di produzione (in euro) di un\u2019azienda sono definiti dalla seguente funzione:<\/p>\n<\/p>\n Oro<\/p>\n<\/p>\n sono le unit\u00e0 prodotte.<\/p>\n E il prezzo di vendita di ciascuna unit\u00e0 \u00e8 di 520 euro.<\/p>\n L’azienda guadagna 520 euro per ogni unit\u00e0 venduta. Pertanto la funzione che definisce il reddito \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n Oro<\/p>\n<\/p>\n sono le unit\u00e0 vendute.<\/p>\n Ma ci chiedono del profitto, cio\u00e8 del reddito meno i costi. Sottraiamo quindi i ricavi meno i costi per ottenere la funzione che descrive il profitto dell’azienda: <\/p>\n<\/p>\n Una volta conosciuta la funzione che descrive il profitto dell’azienda, \u00e8 sufficiente sostituire 150 nell’espressione della funzione per calcolare il profitto che l’azienda otterr\u00e0 vendendo 150 unit\u00e0:<\/p>\n<\/p>\n Quindi, vendendo 150 unit\u00e0, l’azienda realizzer\u00e0 un profitto di 12.500 euro.<\/p>\n La dichiarazione ci chiede anche di calcolare per quante unit\u00e0 si ottiene il massimo profitto.<\/p>\n La funzione che descrive il profitto \u00e8 una funzione quadratica, quindi avr\u00e0 la forma di una parabola. E poich\u00e9 il coefficiente del termine quadratico \u00e8 negativo (-1), la parabola avr\u00e0 la forma di U rovesciata e i suoi rami andranno verso il basso. Pertanto, i guadagni massimi si otterranno nella parte superiore, poich\u00e9 questo \u00e8 il punto pi\u00f9 alto della parabola.<\/p>\n Calcoliamo quindi l’ascissa del vertice della parabola con la formula:<\/p>\n<\/p>\n Quindi l’azienda otterr\u00e0 il massimo profitto vendendo 250 unit\u00e0.<\/p>\n D’altra parte, anche se il comunicato stampa non lo richiede, possiamo determinare il profitto che si otterr\u00e0 vendendo queste 250 unit\u00e0:<\/p>\n<\/p>\n \u20ac <\/p>\n<\/span> Cos’\u00e8 una funzione quadratica? <\/span><\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Concavit\u00e0 e convessit\u00e0 di una funzione quadratica<\/span><\/h2>\n
\n
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<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\n
<\/strong><\/p>\n<\/div>\n<\/span> Vertice di una funzione quadratica<\/span><\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Punti di taglio con gli assi di una funzione quadratica <\/span><\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Esempio di rappresentazione di una funzione quadratica o parabolica <\/span><\/h2>\n
<\/strong><\/p>\n<\/div>\n\n
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<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n![\"\\begin{array}{c|c}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-361c835cbcad63310e504c58d5d603c9_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"esempio](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-comment-representer-une-fonction-quadratique-ou-parabole.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"rappresentazione](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/representation-d-une-fonction-quadratique-ou-parabole.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Esercizi risolti sulle funzioni quadratiche<\/span><\/h2>\n
Esercizio 1<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 2 <\/h3>\n
<\/strong><\/p>\n<\/div>\n![\"f(x)=x^2-4x+3\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c09640c22a09e153b538a5aff018e02_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(0,3)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fce94a71978b3cf055b18dce85b4746f_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 3<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n![\"\\begin{array}{c|c}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-32fd0aec4a82615193ca7a894555a8fd_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"esempio](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-fonction-quadratique.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Esercizio 4<\/h3>\n
![\"f(x)=-2x^2-8x-1\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-743023f52acec123a62e655d6e2d954d_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"esercizio](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-etape-par-etape-de-la-fonction-quadratique.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Esercizio 5<\/h3>\n
![\"f(x)=x^2+2\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e5bac9d65f6cadab9818bc92de4830f_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n![\"\\begin{array}{c|c}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-71b2750173c31f2e7a31f9aeff6ac45f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"esercizi](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercices-resolus-pour-representer-une-fonction-quadratique-incomplete.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Esercizio 6<\/h3>\n
![\"f(x)=x^2-12x+76\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c3e866f3ef954385f97070c37aeda9ac_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n![\"\\begin{array}{c|c}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa20ac17af14b4726a38ec315091fc8d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"problema](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/probleme-des-fonctions-quadratiques-ou-des-paraboles.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Esercizio 7<\/h3>\n
![\"h(x)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9124ad4bc986e46f99678ea39abbd596_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n![\"x](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07e71d291cd16f48045ef0f2f184fd32_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n Esercizio 8<\/h3>\n
![\"C(q)=40000+20q+q^2\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-56d12a49461c15a22fb08ddaebb62e9c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"q\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ac7da57d7f507262338bb5168feb3e06_l3.png\" "\\"Rendered")
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![\"I(q)=520\\cdot](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-63d0ddca6dbabb334734ab4237be3e8b_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n![\"B(q)=-q^2](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6409f4ec7006749f7bcce2f9f7dab978_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n