Qu’est-ce qu’un intervalle mathématique ?

Les intervalles mathématiques sont un ensemble de nombres qui se situent entre deux valeurs spécifiques.

Ces valeurs peuvent ou non être incluses dans l’intervalle, qui est indiqué par des symboles spéciaux. Les intervalles sont utilisés en mathématiques et en statistiques pour décrire une plage de valeurs.

En termes simples, pour mieux comprendre un intervalle mathématique, il s’agit des nombres réels situés entre le point A et le point B. Il convient de mentionner qu’il est également connu comme un sous-ensemble de la ligne réelle.

Par exemple, si nous voulions représenter l’intervalle des nombres réels de 1 à 5, nous l’écririons comme [1,5], où les parenthèses indiquent que les limites sont incluses dans l’intervalle.

En général, l’intervalle mathématique est représenté par [a,b], où “a” est la valeur minimale et “b” est la valeur maximale.

Cependant, selon le contexte, d’autres notations peuvent également être utilisées, telles que (a,b) pour indiquer que les bornes ne sont pas incluses dans l’intervalle, ou (a, +∞) ou (-∞,b) pour représenter des intervalles infinis dans un sens ou dans l’autre.

Comment sont classés les intervalles mathématiques ?

Les intervalles mathématiques peuvent être classés selon leur longueur métrique en deux types :

• Intervalles finis : sont les intervalles qui ont un nombre fini d’éléments et un début et une fin définis. Par exemple, l’intervalle [2, 5] est un intervalle fini qui comprend les nombres 2, 3, 4 et 5.
• Intervalles infinis : sont les intervalles qui ont un nombre infini d’éléments et un début ou une fin qui n’est pas défini. Par exemple, l’intervalle (-∞, 5) est un intervalle infini qui comprend tous les nombres réels inférieurs à 5, de l’infini négatif à 5.

En mathématiques et en statistiques, il est important de noter si un intervalle est fini ou infini, car les intervalles finis et infinis ont des propriétés différentes et sont utilisés de différentes manières.

Par exemple, des intervalles finis peuvent être utilisés pour décrire une plage de valeurs discrètes, tandis que des intervalles infinis sont utilisés pour décrire une plage continue de valeurs.

Quels sont les types d’intervalles mathématiques pour résoudre les inégalités ?

Outre sa classification, il faut garder à l’esprit qu’il existe trois types d’intervalles selon leurs caractéristiques topologiques. Nous décrivons chacun ci-dessous.

1. Intervalle ouvert

Il est représenté entre parenthèses et n’inclut pas les extrémités.

Par exemple, l’intervalle (3, 5) inclut tous les nombres réels entre 3 et 5, mais n’inclut pas 3 ou 5. Il peut être représenté graphiquement comme une ligne avec deux points aux extrémités et deux flèches vers l’intérieur indiquant que les extrémités ne sont pas incluses.

Astuce : lorsque vous travaillez avec des intervalles ouverts, il est important de noter que les extrémités ne sont pas incluses et qu’il existe des nombres réels qui se trouvent dans l’intervalle.

2. Intervalle fermé

Il est représenté par des crochets et inclut les extrémités.

Par exemple, l’intervalle [3, 5] comprend 3 et 5. Il peut être représenté graphiquement par une ligne avec deux points aux extrémités et deux flèches vers l’extérieur indiquant que les extrémités sont incluses.

Conseil : lorsque vous travaillez avec des intervalles fermés, il est important de noter que les points de terminaison sont inclus et que tout nombre compris entre les points de terminaison tombe également dans l’intervalle.

3. Intervalle semi-ouvert

Il est représenté par une parenthèse et un crochet et ne comprend qu’un seul point final.

Par exemple, l’intervalle (3, 5] inclut tous les nombres réels entre 3 et 5, y compris 5, mais pas 3.

Il peut être représenté graphiquement comme une ligne avec deux points à une extrémité, une flèche vers l’intérieur à une extrémité et une flèche vers l’extérieur à l’autre extrémité indiquant qu’une extrémité est incluse et l’autre non.

A noter que ces intervalles sont représentés soit semi-ouverts à gauche, soit semi-ouverts à droite.

Astuce : Lorsque vous travaillez avec des intervalles semi-ouverts, il est important de noter qu’un seul point final est inclus et qu’il y a des nombres réels qui se trouvent dans l’intervalle. Voyons un petit tableau explicatif dans chaque cas.

Examinons maintenant un peu le tableau des intervalles suivant ainsi que sa classification pour simplifier davantage les informations :

Qu’est-ce que l’intervalle d’une variable ?

L’intervalle d’une variable est un ensemble de valeurs pouvant prendre une certaine variable ou un échantillon statistique . C’est-à-dire qu’il s’agit d’une plage de valeurs dans laquelle une variable peut varier.

Par exemple, si une variable “x” est définie dans l’intervalle [0, 10], cela signifie que “x” peut prendre n’importe quelle valeur réelle de 0 à 10, y compris 0 et 10.

L’intervalle d’une variable peut être représenté mathématiquement en utilisant la notation mentionnée dans la réponse précédente, c’est-à-dire avec des crochets si les bornes sont incluses dans l’intervalle ou avec des parenthèses si les bornes ne sont pas incluses.

Le concept d’intervalle d’une variable est important dans de nombreux domaines des mathématiques, tels que la théorie des fonctions, la théorie des nombres, la théorie des probabilités, la théorie de l’optimisation, entre autres.

Dans ces domaines, l’intervalle d’une variable est utilisé pour définir des contraintes sur l’analyse et pour faire des déclarations précises sur le comportement d’une variable dans un contexte donné. Voici quelques exemples:

• Union : L’union de deux intervalles est définie comme le plus grand intervalle qui inclut les deux intervalles d’origine. Par exemple, l’union des intervalles [3, 6] et [4, 8] est [3, 8].
• Intersection : L’intersection de deux intervalles est définie comme le plus petit intervalle inclus dans les deux intervalles d’origine. Par exemple, l’intersection des intervalles [3, 6] et [4, 8] est [4, 6].
• Complément : Le complément d’un intervalle est défini comme l’ensemble des nombres réels qui ne sont pas dans l’intervalle d’origine. Par exemple, le complément de l’intervalle [3, 6] est (-∞, 3) ∪ (6, +∞).
• Addition : L’addition de deux intervalles est définie comme l’intervalle des résultats que nous obtenons en ajoutant n’importe quelle paire de nombres dans les intervalles d’origine. Par exemple, la somme des intervalles [3, 6] et [4, 8] est [7, 14].
• Multiplication : La multiplication de deux intervalles est définie comme l’intervalle des résultats que nous obtenons en multipliant n’importe quelle paire de nombres dans les intervalles d’origine. Par exemple, le produit des intervalles [3, 6] et [4, 8] est [12, 48].

Ce ne sont là que quelques exemples d’opérations pouvant être effectuées avec des intervalles mathématiques.

Il est important de noter que, selon le contexte, il peut être nécessaire d’utiliser des techniques plus avancées pour calculer le résultat de certaines de ces opérations.

Exemples d’opérations avec des intervalles mathématiques

Voici quelques exemples travaillés des opérations qui peuvent être effectuées avec des intervalles mathématiques. N’oubliez pas que si vous ne comprenez pas un symbole, vous pouvez consulter notre article sur les symboles mathématiques , vous y trouverez sûrement une explication sur l’utilisation de ce symbole.

1. Union : Supposons que nous ayons les intervalles [1, 3] et [2, 4]. L’union de ces intervalles est [1, 4], puisque cet intervalle inclut tous les nombres qui sont dans l’un ou l’autre des deux intervalles originaux :

[1, 3] U [2, 4] = [1, 4]

2. Intersection : Supposons que nous ayons les intervalles [1, 3] et [2, 4]. L’intersection de ces intervalles est [2, 3], puisque cet intervalle ne comprend que les nombres qui se trouvent dans les deux intervalles d’origine :

[1, 3] ∩ [2, 4] = [2, 3]

3. Addition : Supposons que nous ayons les intervalles [1, 3] et [2, 4]. L’addition de ces intervalles est [3, 7], puisque cet intervalle comprend tous les résultats obtenus en ajoutant n’importe quelle paire de nombres dans les intervalles d’origine :

[1, 3] + [2, 4] = [3, 7]

4. Multiplication : Supposons que nous ayons les intervalles [-2, -1] et [2, 3]. La multiplication de ces intervalles est [-6, -2], puisque cet intervalle comprend tous les résultats obtenus en multipliant n’importe quelle paire de nombres dans les intervalles d’origine :

[-2, -1] · [2, 3] = [-6, -2]

Conseils pour apprendre les intervalles mathématiques de manière simple

En réalité, il peut sembler complexe de parler d’intervalles mathématiques. Cependant, c’est beaucoup plus simple lorsque les conseils suivants sont mis en pratique :

1. Comprendre les bases – Avant de commencer à travailler avec des intervalles mathématiques, il est important que vous compreniez les bases, telles que les nombres réels , les inégalités, etc.

2. Pratiquez des exercices simples : Une fois que vous avez compris les bases, commencez à pratiquer des exercices simples qui impliquent des intervalles mathématiques. Ces exercices vous aideront à mieux comprendre comment fonctionnent les intervalles et comment les opérations sont effectuées sur eux. Voici quelques exemples:

• Déterminer la plage de nombres qui satisfait une inégalité : Par exemple, trouver la plage de nombres x qui satisfait l’inégalité x > 2.
• Solution : L’intervalle des nombres x qui vérifient l’inégalité x > 2 est (2, +∞).
• Déterminer si un nombre est dans un intervalle donné : Par exemple, déterminer si le nombre 5 est dans l’intervalle [2, 6].
• Solution : Oui, le chiffre 5 est dans l’intervalle [2, 6].
• Effectuer des opérations avec des intervalles : Par exemple, étant donné les intervalles A = [2, 4] et B = [3, 5], trouver l’intervalle de la somme A + B.
• Solution : L’intervalle de la somme A + B est [5, 9].

3. Utilisez des graphiques et des diagrammes : Les graphiques et les diagrammes peuvent être très utiles pour visualiser les intervalles mathématiques et mieux comprendre leur fonctionnement. Envisagez de les utiliser pour visualiser des exemples et résoudre des exercices.