Vektor tegak lurus atau ortogonal

Di halaman ini Anda akan menemukan segala sesuatu tentang vektor yang tegak lurus (atau ortogonal): apa itu vektor, dua vektor yang ortogonal, cara mencari vektor yang tegak lurus dengan vektor lain, sifat-sifat vektor yang tegak lurus,… Selain itu, Anda akan dapat melihat beberapa contoh dan latihan yang diselesaikan untuk vektor tegak lurus atau ortogonal.

Berapakah dua vektor yang tegak lurus atau ortogonal?

Dalam matematika, dua vektor bersifat ortogonal (atau tegak lurus ) jika keduanya membentuk sudut siku-siku (90º) satu sama lain.

Pada grafik berikut, Anda dapat melihat dua vektor tegak lurus:

ketika dua vektor dikatakan tegak lurus atau ortogonal

Di sisi lain, tegak lurus dua vektor hanya bergantung pada arahnya, dan bukan pada modulus (atau besarnya) atau, tentu saja, pada arahnya. Artinya, dua buah vektor akan tegak lurus jika membentuk sudut 90 derajat, baik sama panjang maupun tidak.

Bagaimana cara mengetahui dua vektor ortogonal atau tegak lurus?

Seperti yang baru saja kita lihat, secara grafis sangat mudah untuk melihat apakah dua vektor tegak lurus. Namun, Anda juga dapat menentukan apakah dua vektor ortogonal tanpa membuat grafiknya:

Secara numerik, dua vektor adalah ortogonal atau tegak lurus jika hasil kali titiknya nol (0).

Misalnya, kita akan menunjukkan bahwa dua vektor berikut tegak lurus tanpa membuat grafiknya:

$\vv{\text{u}}=(3,2) \qquad\vv{\text{v}}=(-2,3)$

Untuk memeriksa apakah vektor-vektor tersebut tegak lurus (atau ortogonal), kita menerapkan rumus hasil kali skalar :

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}&=(3,2)\cdot (-2,3) \\[1.5ex]&=3\cdot (-2) + 2 \cdot 3 \\[1.5ex] & = -6+6 \\[1.5ex] & =\bm{0} \end{aligned}$

Hasil perkalian titik kedua vektor adalah nol, sehingga keduanya merupakan vektor yang ortogonal (atau tegak lurus) satu sama lain.

$\vv{\text{u}}\bm{\perp} \vv{\text{v}}$

Perhatikan bahwa dua vektor dinyatakan tegak lurus dengan simbolnya

$\bm{\perp}}.$

Oleh karena itu, hasil kali titik antara dua vektor yang tegak lurus adalah nol. Namun, hasil kali vektor dari dua vektor (jenis lain dari perkalian antar vektor) menghasilkan kebalikannya: sebuah vektor tegak lurus terhadap dua vektor lainnya. Oleh karena itu, penting untuk mengetahui cara membedakan kedua jenis operasi tersebut, Anda dapat melihat perbedaan keduanya pada properti perkalian silang .

Bagaimana cara menghitung vektor yang tegak lurus atau ortogonal terhadap vektor lainnya?

Cara paling sederhana untuk menghitung vektor yang tegak lurus terhadap vektor lain pada bidang (dalam R2) adalah dengan menyisipkan dua koordinat vektor tersebut dan juga mengubah tandanya menjadi satu.

Dan untuk mendapatkan vektor yang tegak lurus satu sama lain dalam ruang (dalam R3) perlu menempatkan dua koordinat satu sama lain, kemudian mengubah tanda salah satunya dan, terakhir, mengatur sisa koordinat menjadi nol.

Agar Anda dapat melihat perbedaan dalam menghitung satu vektor ortogonal dengan vektor ortogonal lainnya bergantung pada apakah vektor tersebut memiliki 2 atau 3 koordinat, kita akan menyelesaikan latihan dengan setiap jenis vektor.

Temukan vektor tegak lurus atau ortogonal pada bidang kartesius

Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor dua dimensi berikut:

$\vv{\text{v}}=(4,1)$

Karena merupakan vektor yang hanya memiliki dua komponen, maka untuk memperoleh vektor yang tegak lurus, komponen-komponennya perlu diselingi dan salah satunya dinegasikan:

$\vv{\mathbf{u}}\bm{=(-1,4)}$

Kita dapat memverifikasi dari rumus perkalian titik bahwa vektor-vektor tersebut memang tegak lurus:

$\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}=(4,1)\cdot (-1,4) =0$

$\vv{\text{v}}\bm{\perp} \vv{\text{u}}$

Tentukan vektor tegak lurus atau ortogonal dalam ruang kartesius

Hitung vektor ortogonal terhadap vektor tiga dimensi berikut:

$\vv{\text{v}}=(2,3,-1)$

Dalam hal ini, kita mempunyai vektor tiga komponen, jadi untuk mendapatkan vektor tegak lurus, kita perlu mengganti dua komponennya, mengubah tanda salah satunya dan mengubah koordinat yang tersisa menjadi nol:

$\vv{\mathbf{u}}\bm{=(3,-2,0)}$

Kita dapat memeriksa dengan rumus perkalian skalar bahwa vektor-vektor tersebut memang ortogonal:

$\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}=(2,3,-1)\cdot (3,-2,0) =0$

$\vv{\text{v}}\bm{\perp} \vv{\text{u}}$

Sifat-sifat vektor tegak lurus dan ortogonal

Vektor tegak lurus mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:

Hubungan simetris : Jika suatu vektor tegak lurus terhadap vektor lain, maka vektor tersebut juga tegak lurus terhadap vektor pertama.

$\vv{\text{u}} \bm{\perp} \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{v}} \bm{\perp} \vv{\text{u}}$

Sifat tidak refleksif : Jelas, tidak ada vektor yang tegak lurus terhadap dirinya sendiri.

$\vv{\text{v}} \ \cancel{\bm{\perp}}} \ \vv{\text{v}}$

Dalam geometri Euclidean (dalam R2), setiap pasangan vektor yang tegak lurus terhadap vektor ketiga haruslah sejajar. Artinya, jika suatu vektor tegak lurus terhadap vektor lain dan vektor tersebut juga tegak lurus terhadap vektor ketiga, maka vektor pertama dan vektor terakhir sejajar. Hal ini disebabkan oleh postulat kelima Euclid .

Di sisi lain, Anda juga harus tahu bahwa berkat properti ini aturan pembuka botol dapat digunakan. Teknik ini memudahkan penghitungan jenis operasi vektor yang, tanpa aturan ini, penyelesaiannya akan memakan waktu lama. Anda dapat melihatnya dengan mengklik penjelasan aturan pembuka botol .

Konsep yang berkaitan dengan vektor tegak lurus atau ortogonal

Ada dua jenis vektor yang sangat dekat dengan vektor tegak lurus: vektor normal dan vektor ortomarle. Meskipun semuanya terkait satu sama lain, kami ingin memperjelas perbedaannya untuk menghindari kemungkinan kebingungan.

Vektor normal adalah vektor yang tegak lurus bidang. Dengan demikian, dapat juga dimasukkan ke dalam konsep ortogonalitas suatu vektor, tetapi dalam hal ini vektor tersebut tegak lurus terhadap suatu bidang dan bukan vektor lainnya.

Sebaliknya, dua vektor ortonormal adalah dua vektor yang saling ortogonal yang juga merupakan vektor satuan (yang besarnya sama dengan 1).

Terakhir, perlu juga dicatat bahwa sangat umum untuk menggunakan basis ortogonal (basis vektor yang dibentuk dari vektor yang tegak lurus satu sama lain) dan bahkan basis ortonormal . Faktanya, kerangka acuan Cartesian adalah basis ortonormal.