▷ Turunan dari suatu penjumlahan (rumus dan latihan yang diselesaikan)

Berikut kami jelaskan cara menurunkan jumlah fungsi (rumus). Selain itu, Anda juga dapat melihat contoh turunan suatu penjumlahan dan bahkan dapat berlatih dengan latihan soal turunan suatu penjumlahan. Dan terakhir, Anda akan menemukan demonstrasi rumus turunan suatu penjumlahan.

Rumus turunan suatu penjumlahan

Turunan dari penjumlahan dua fungsi sama dengan jumlah turunan masing-masing fungsi secara terpisah.

$z(x)=f(x)+g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)+g'(x)$

Dengan kata lain, menurunkan dua fungsi secara terpisah lalu menjumlahkannya sama dengan menjumlahkan fungsi terlebih dahulu lalu mengambil turunannya.

Perhatikan bahwa aturan turunan penjumlahan juga berlaku untuk pengurangan, jadi jika suatu fungsi mempunyai tanda negatif di depannya dan bukannya tanda positif, kita juga harus menggunakan rumus yang sama untuk membedakannya.

$z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)$

Selain itu, penjumlahan merupakan operasi yang mempunyai sifat asosiatif, artinya banyaknya penjumlahan yang terlibat dalam penjumlahan tersebut tidak berbeda, karena turunan seluruh fungsi akan tetap merupakan penjumlahan dari turunan setiap fungsi.

$\begin{array}{c}z(x)=f(x)\pm g(x) \pm h(x)\pm \dots\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex]z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\pm h'(x)\pm \dots\end{array}$

Contoh turunan suatu penjumlahan

Setelah kita mengetahui rumus turunan suatu penjumlahan, kita akan melihat beberapa contoh turunan dari jenis operasi ini untuk memahami sepenuhnya bagaimana penjumlahan suatu fungsi diturunkan.

Contoh 1: Turunan dari sejumlah fungsi potensial

$f(x)=3x^2+5x$

Turunan dari jumlah dua fungsi sama dengan turunan masing-masing fungsi secara terpisah. Oleh karena itu, pertama-tama kita menghitung turunan masing-masing fungsi secara terpisah:

$\cfrac{d}{dx} \ 3x^2=6x$

$\cfrac{d}{dx}\ 5x=5$

Jadi, turunan seluruh fungsi adalah jumlah dari dua turunan yang dihitung:

$f'(x)=6x+5$

Contoh 2: Turunan dari jumlah fungsi yang berbeda

$f(x)=\text{sen}(x)+\ln(x)$

Untuk membedakan jumlah fungsi, Anda harus membedakan kedua fungsi secara terpisah lalu menjumlahkannya. Oleh karena itu kami memperoleh fungsinya:

$\cfrac{d}{dx} \ \text{sen}(x)=\text{cos}(x)$

$\cfrac{d}{dx}\ \ln (x)=\cfrac{1}{x}$

Dan kemudian kita tambahkan dua turunan yang ditemukan:

$f'(x)=\text{cos}(x)+\cfrac{1}{x}$

Contoh 3: Turunan dari jumlah kuadrat

$f(x)=\left(3x^4+7x^2+1\right)^2$

Dalam hal ini kita mempunyai fungsi komposit, karena kita mempunyai jumlah fungsi yang dipangkatkan. Oleh karena itu, kita perlu menerapkan aturan rantai untuk menurunkan seluruh fungsi:

$f(x)=2\left(3x^4+7x^2+1\right)\cdot (12x^3+14x)$

➤ Lihat: dapatkan kekuatan

Latihan soal turunan dari jumlah fungsi

Turunkan jumlah fungsi berikut

$\text{A) } f(x)=6x^3+9x^2$

$\text{B) } f(x)=x^4+10x^3+5x$

$\text{C) } f(x)=3x^2-4x+7$

$\text{D) } f(x)=\text{cos}(x)+e^{3x}$

$\text{E) } f(x)=\left(x^3+4x^2+6x\right)^3$

$\text{F) } f(x)=\log_3(8x^2+2x)-x^7+e^{x^2}$

Lihat solusinya

$\text{A) } f'(x)=18x^2+18x$

$\text{B) } f'(x)=4x^3+30x^2+5$

$\text{C) } f'(x)=6x-4$

$\text{D) } f'(x)=-\text{sen}(x)+3e^{3x}$

$\text{E) } f'(x)=3\left(x^3+4x^2+6x\right)^2\cdot (3x^2+8x+6)$

$\text{F) } f'(x)=\cfrac{16x+2}{(8x^2+2x)\ln(3)}-7x^6+2x\cdot e^{x^2}$

Demonstrasi rumus turunan suatu penjumlahan

Pada bagian terakhir ini, kita akan mendemonstrasikan rumus turunan dari sejumlah fungsi. Dan untuk melakukan ini, kami menggunakan definisi matematis dari turunan, yaitu sebagai berikut:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Maka, misalkan z adalah jumlah dari dua fungsi yang berbeda:

$z(x)=f(x)+g(x)$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{z(x+h)-z(x)}{h}$

Sekarang kita substitusikan z untuk jumlah fungsi dalam ekspresi limit:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\bigl[f(x+h)+g(x+h)\bigr]-\bigl[f(x)+g(x)\bigr]}{h}$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}$

Kita ubah pecahan tersebut menjadi jumlah dua pecahan, masing-masing bersesuaian dengan setiap fungsi penjumlahan:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right]$

Berkat sifat-sifat limit, kita dapat memisahkan ekspresi sebelumnya menjadi dua limit, karena limit suatu jumlah setara dengan jumlah limitnya:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$

Dan, seperti yang kita lihat di atas dalam definisi turunan, setiap limit berhubungan dengan turunan suatu fungsi. Oleh karena itu, kesetaraan berikut tercapai:

$\displaystyle z'(x)=f'(x)+g'(x)$

Berasal dari suatu penjumlahan