▷ Turunan kotangen (rumus dan contoh)

Pada artikel ini, kita akan melihat cara menurunkan kotangen suatu fungsi. Anda akan menemukan contoh turunan kotangen dan latihan genap yang diselesaikan langkah demi langkah. Terakhir, kita buktikan rumus turunan kotangen.

Rumus turunan kotangen

Turunan kotangen x sama dengan negatif satu terhadap kuadrat sinus x. Turunan kotangen x juga sama dengan dikurangi kuadrat kosekan x, dan dikurangi jumlah satu ditambah kuadrat kotangen x.

$\begin{array}{c}f(x)=\text{cotg}(x)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\ f'(x)=-\cfrac{1}{\text{sen}^2(x)}=-\text{cosec}^2(x)=-\left(1+\text{cotg}^2(x)\right)\end{array}$

Jika argumen kotangen adalah fungsi selain x, maka rumus turunan kotangen suatu fungsi sama dengan rumus sebelumnya, namun mengalikan ekspresi dengan turunan fungsi argumen tersebut.

$\begin{array}{c}f(x)=\text{cotg}(u)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\ f'(x)=-\cfrac{u'}{\text{sen}^2(u)}=-u' \cdot \text{cosec}^2(u)=-u' \cdot \left(1+\text{cotg}^2(u)\right)\end{array}$

Artinya, ada tiga rumus berbeda untuk mencari turunan kotangen. Namun secara logika, ketiga rumus tersebut tidak harus menggunakan ketiga rumus tersebut, melainkan Anda bisa menurunkannya dengan rumus yang Anda sukai.

Contoh turunan kotangen

Setelah kita melihat rumus turunan kotangen suatu fungsi, pada bagian ini kita akan menyelesaikan beberapa contoh turunan trigonometri jenis ini.

Contoh 1: Turunan dari kotangen 2x

Dalam contoh ini kita akan melihat turunan kotangen dari fungsi 2x.

$f(x)=\text{cotg}(2x)$

Seperti yang telah kita lihat, untuk menghitung turunan kotangen Anda dapat menggunakan salah satu dari tiga rumus di atas. Dalam hal ini, kita akan menggunakan rumus sinusoidal:

$f(x)=\text{cotg}(u)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\text{sen}^2(u)}$

Karena 2x adalah suku derajat satu, maka turunannya adalah 2. Jadi turunan kotangen 2x adalah negatif dua dibagi kuadrat sinus 2x:

$f(x)=\text{cotg}(2x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2}{\text{sen}^2(2x)}$

Contoh 2: Turunan dari kotangen x kuadrat

Pada contoh kedua kita akan menentukan turunan dari kotangen x kuadrat.

$f(x)=\text{cotg}(x^2)$

Dalam contoh ini, fungsi argumen kotangen bukanlah x, sehingga kita harus menerapkan aturan rantai untuk membedakan kotangen tersebut.

$f(x)=\text{cotg}(u)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\text{sen}^2(u)}$

Turunan x kuadrat adalah 2x, maka turunan kotangen x ² adalah:

$f(x)=\text{cotg}(x^2)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2x}{\text{sen}^2(x^2)}$

Contoh 3: Turunan dari kotangen pangkat tiga

Terakhir, kita akan mengetahui berapa turunan kotangen pangkat tiga dari suatu fungsi polinomial:

$f(x)=\text{cotg}^3(x^5-6x^2+10)$

Dalam hal ini kita mempunyai komposisi fungsi, jadi kita perlu menggunakan aturan rantai dengan rumus turunan suatu pangkat untuk mencari turunan kotangen:

$\displaystyle f'(x)=-3\cdot\text{cotg}^2(x^5-6x^2+10)\cdot\frac{5x^4-12x}{\text{sen}^2(x^5-6x^2+10)}$

Latihan soal turunan kotangen

Hitung turunan fungsi kotangen berikut:

$\text{A) } f(x)=\text{cotg}(5x)$

$\text{B) } f(x)=\text{cotg}(2x^4+10x-3)$

$\text{C) } \displaystyle f(x)=\text{cotg}^5\left(\frac{x}{2}\right)$

$\text{D) } f(x)=\text{cotg}\left(e^{x^2}\right)$

$\text{E) } f(x)=\text{cotg}\bigl(\ln(x^2)\bigr)$

$\text{F) } f(x)=\text{cotg}\left(\sqrt{8x}\right)$

Lihat solusinya

$\text{A) } f'(x)=-\cfrac{5}{\text{sen}^2(5x)}$

$\text{B) } f'(x)=-\cfrac{8x+10}{\text{sen}^2(2x^4+10x-3)}$

$\text{C) } \displaystyle f'(x)=5\cdot \text{cotg}^4\left(\frac{x}{2}\right)\cdot \left(-\frac{1}{\text{sen}^2\left(\frac{x}{2}\right)}\right)\cdot \frac{1}{2}=-\frac{5\cdot \text{cotg}^4\left(\frac{x}{2}\right)}{2\cdot \text{sen}^2\left(\frac{x}{2}\right)}$

$\text{D) } f'(x)=-\cfrac{2x\cdot e^{x^2}}{\text{sen}^2(e^{x^2})}$

$\text{E) } f'(x)=-\cfrac{\cfrac{2x}{x^2}}{\text{sen}^2\bigl(\ln(x^2)\bigr)}=-\cfrac{2}{x\cdot\text{sen}^2\bigl(\ln(x^2)\bigr)}$

$\text{F) } f'(x)=-\cfrac{\frac{8}{2\sqrt{8x}}}{\text{sen}^2\left(\sqrt{8x}\right)}=-\cfrac{4}{\sqrt{8x}\cdot \text{sen}^2\left(\sqrt{8x}\right)}$

Bukti turunan kotangen

Pada bagian akhir ini, kita akan mendemonstrasikan rumus turunan kotangen. Untuk melakukannya, kita akan mulai dari definisi matematis fungsi kotangen, yang sama dengan kosinus dibagi sinus:

$\text{cotg}(x)=\cfrac{\text{cos}(x)}{\text{sen}(x)}$

Sekarang kita membedakan fungsi tersebut dengan menerapkan aturan turunan suatu hasil bagi;

$\displaystyle\bigl(\text{cotg}(x)\bigr)'=\left(\frac{\text{cos}(x)}{\text{sen}(x)}\right)'$

$\text{cotg}'(x)=\cfrac{-\text{sen}(x)\cdot \text{sen}(x)-\text{cos}(x)\cdot \text{cos}(x) }{\text{sen}^2(x)}$

$\text{cotg}'(x)=\cfrac{-\text{sen}^2(x)-\text{cos}^2(x)}{\text{sen}^2(x)}$

Kita ambil faktor persekutuan sebagai penyebutnya dan hilangkan tanda negatif dari pecahan:

$\text{cotg}'(x)=\cfrac{-\bigl(\text{sen}^2(x)+\text{cos}^2(x)\bigr)}{\text{sen}^2(x)}$

$\text{cotg}'(x)=-\cfrac{\text{sen}^2(x)+\text{cos}^2(x)}{\text{sen}^2(x)}$

Di sisi lain, kita tahu bahwa kuadrat sinus ditambah kuadrat kosinus sama dengan satu berkat identitas trigonometri dasar.

$\text{sen}^2(x)+\text{cos}^2(x)=1$

$\text{cotg}'(x)=-\cfrac{1}{\text{sen}^2(x)}$

Dan dengan demikian kita memperoleh rumus pertama untuk turunan kotangen. Demikian pula kosekan merupakan kebalikan perkalian sinus, sehingga aturan kedua turunan kotangen juga terbukti:

$\text{cotg}'(x)=-\text{sec}^2(x)$

Terakhir, rumus ketiga turunan fungsi trigonometri ini dapat dibuktikan dengan mengubah pecahan dari langkah sebelumnya menjadi penjumlahan pecahan: