Turunan dari fungsi logaritma

Di sini Anda akan menemukan cara menyelesaikan turunan fungsi logaritma dalam basis (rumus) apa pun. Selain itu, Anda juga dapat berlatih dengan latihan langkah demi langkah turunan fungsi logaritma.

Rumus pembagian fungsi logaritma berbeda-beda tergantung apakah logaritma tersebut natural (dengan basis e) atau basis lain . Oleh karena itu, pertama-tama kita akan melihat kedua rumus tersebut secara terpisah beserta contoh untuk setiap kasus, lalu kita akan membuat ringkasan dari kedua aturan tersebut.

Turunan dari logaritma natural atau natural

Turunan logaritma natural (atau logaritma natural) adalah hasil bagi turunan argumen logaritma dibagi fungsi argumen.

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Logikanya, jika fungsi di dalam logaritma adalah fungsi identitas, maka pembilang turunannya tetap 1:

f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}

Perhatikan contoh penyelesaian turunan logaritma natural 3x berikut:

f(x)=\ln(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3}{3x}=\cfrac{1}{x}

Ingatlah bahwa logaritma natural adalah logaritma yang basisnya adalah bilangan e (bilangan Euler).

\ln(x)=\log_e(x)

Turunan dari logaritma berdasarkan

Turunan logaritma ke basis apa pun sama dengan 1 dibagi dengan hasil kali x logaritma natural dari basis logaritma aslinya.

f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}

Jadi jika kita menerapkan aturan rantai, aturan turunan logaritmiknya adalah:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Misalnya turunan logaritma basis 2 dari x kuadrat adalah:

f(x)=\log_2(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{x^2\cdot\ln(2)}=\cfrac{2}{x\ln(2)}

Rumus turunan fungsi logaritma

Mengingat pengertian turunan logaritma dan dua kemungkinan variannya, berikut rangkuman kedua rumus tersebut untuk memudahkan Anda mengingatnya.

turunan dari fungsi logaritma

Memecahkan masalah turunan fungsi logaritma

Latihan 1

Turunkan fungsi logaritma berikut:

f(x)=\log(3x^2)

Dalam hal ini perlu untuk menyelesaikan turunan logaritma dalam basis desimal, oleh karena itu kita harus menerapkan rumus berikut:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Oleh karena itu, turunan logaritma basis 10 adalah:

f(x)=\log(3x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{6x}{3x^2\cdot \ln(10)}=\cfrac{2}{x \ln(10)}

Ingatlah bahwa jika suatu logaritma tidak memiliki basis, berarti basisnya adalah 10.

Latihan 2

Turunkan logaritma natural (atau natural) berikut:

f(x)=\ln\left(x^3+4x^2\right)^5

Fungsi dalam soal ini adalah logaritma natural, jadi kita perlu menggunakan aturan berikut untuk menurunkan fungsi logaritma:

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Oleh karena itu, turunan dari logaritma natural adalah:

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5\left(x^3+4x^2\right)^4\cdot (3x^2+8x)}{\left(x^3+4x^2\right)^5}\\[2ex] &=\cfrac{5\cdot (3x^2+8x)}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x^2+40x}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x+40}{x^2+4x}\end{aligned}

Latihan 3

Turunkan logaritma berikut:

f(x)=\log_7(x^5+7x^2-3x+1)

Dalam latihan ini kita perlu menurunkan logaritma basis 7, jadi kita akan menggunakan rumus berikut:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Dan turunan dari logaritmanya adalah:

f'(x)=\cfrac{5x^4+14x-3}{(x^5+7x^2-3x+1)\cdot \ln(7)}

Latihan 4

Carilah turunan fungsi logaritma berikut dengan pecahan:

\displaystyle f(x)=\log_4\left(\frac{5x}{8x^2-1}\right)

Untuk menyelesaikan turunan logaritma, pertama-tama kita dapat menyederhanakan fungsinya dengan menerapkan sifat-sifat logaritma:

f(x)=\log_4(5x)-\log_4(8x^2-1)

Sekarang kita harus menggunakan rumus turunan logaritmik sebanyak dua kali, namun kedua turunan tersebut lebih mudah dihitung.

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Ringkasnya, turunan dari fungsi tersebut adalah:

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5}{5x\cdot \ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\cdot \ln(4)}\\[2ex]&=\cfrac{1}{x\ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\ln(4)}\end{aligned}

Latihan 5

Hitung turunan fungsi logaritma berikut dengan satu akar:

f(x)=\ln\left(\sqrt[4]{\text{cos}(9x)}\right)

Pertama, kita akan menyederhanakan fungsinya menggunakan properti logaritma:

f(x)=\ln\left(\text{cos}(9x)\right)^{\frac{1}{4}}

\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}\ln\left(\text{cos}(9x)\right)

Dan setelah kita menghilangkan radikal dari fungsinya, kita menggunakan aturan turunan dari logaritma natural atau natural:

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Oleh karena itu, turunan dari fungsi logaritma komposit adalah:

f'(x)&=\cfrac{1}{4}\cdot \cfrac{-\text{sen}(9x)\cdot 9}{\text{cos}(9x)}=\cfrac{-9\text{sen}(9x)}{4\text{cos}(9x)}

Tinggalkan Komentar

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

Scroll to Top