Derivatif - Mathoritas

Di sini kami menjelaskan cara menurunkan semua jenis fungsi. Anda akan menemukan rumus semua turunan disertai dengan contoh dan latihan turunan langkah demi langkah.

Apa itu produk turunan?

Derivatif adalah aturan matematika yang digunakan untuk mempelajari fungsi. Secara khusus, turunan suatu fungsi di suatu titik merupakan hasil dari suatu limit dan menunjukkan perilaku fungsi di titik tersebut.

Turunan suatu fungsi dinyatakan dengan tanda prima ‘ , artinya fungsi f'(x) merupakan turunan dari fungsi f(x) .

Secara geometris, arti turunan suatu fungsi di suatu titik adalah kemiringan garis singgung fungsi di titik tersebut.

Definisi matematis turunan suatu fungsi adalah sebagai berikut:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Namun, turunan suatu fungsi biasanya tidak dihitung menggunakan rumus di atas, melainkan aturan diferensiasi berlaku bergantung pada jenis fungsinya. Semua rumus derivasi dijelaskan di bawah ini.

rumus turunan

Setelah melihat pengertian turunan, kita akan melihat cara pembuatannya, menjelaskan masing-masing jenis turunan beserta contohnya. Tujuan dari postingan kali ini adalah agar anda dapat memahami dengan baik konsep turunan, sehingga jika pada akhirnya anda masih ragu tentang cara menurunkan suatu fungsi, anda dapat bertanya kepada kami di kolom komentar.

berasal dari suatu konstanta

Turunan suatu konstanta selalu nol, berapa pun nilai konstanta tersebut.

Oleh karena itu, untuk mencari turunan suatu fungsi konstanta tidak perlu berhitung apa pun, cukup turunannya nol.

Perhatikan contoh praktis turunan konstanta berikut ini:

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

Turunan dari fungsi linier

Turunan fungsi linier adalah koefisien suku derajat pertama, yaitu turunan fungsi linier f(x)=Ax+B sama dengan A

Lihatlah contoh berikut bagaimana jenis fungsi ini diturunkan:

$\begin{array}{c}f(x)=3x-1\quad\longrightarrow\quad f'(x)=3\\[3ex]f(x)=5x\quad\longrightarrow\quad f'(x)=5\\[3ex] f(x)=-2x+9\quad\longrightarrow\quad f'(x)=-2\end{array}$

berasal dari suatu kekuatan

Turunan suatu pangkat , atau fungsi potensial, adalah hasil kali eksponen pangkat dikalikan pangkatnya dengan pangkat dikurangi 1.

Oleh karena itu, untuk memperoleh suatu pangkat, cukup kalikan fungsi tersebut dengan eksponen dan kurangi satu satuan dari eksponennya.

Misalnya, turunan pangkat x pangkat tiga adalah:

$f(x)=x^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=3\cdot x^{3-1}=3x^2$

Anda dapat berlatih melakukan latihan (dan yang lebih sulit) dari jenis turunan ini di sini:

➤ Lihat: latihan yang diselesaikan untuk turunan suatu pangkat

berasal dari suatu akar

Turunan dari suatu akar, atau fungsi irasional, sama dengan satu dibagi dengan hasil kali indeks akar dikalikan akar yang sama dengan mengurangkan 1 dari eksponen radicand.

Sebagai contoh, di bawah ini Anda dapat melihat turunan dari akar kuadrat dari x yang diselesaikan:

$f(x)=\sqrt{x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{1}{2\sqrt{x^{2-1}}}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$

➤ Lihat: latihan yang diselesaikan untuk turunan suatu akar

Turunan dari fungsi eksponensial

Turunan suatu fungsi eksponensial bergantung pada apakah basisnya adalah bilangan e atau bilangan lain. Oleh karena itu, ada dua rumus untuk menurunkan fungsi jenis ini dan Anda harus menggunakan rumus yang sesuai dengan basis pangkatnya:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=a^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^x\cdot \ln(a)\\[3ex] f(x)=e^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x \end{array} \end{empheq}$

Di bawah ini Anda dapat melihat dua turunan terselesaikan dari jenis fungsi ini:

$f(x)=7^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^x\cdot \ln(7)$

$f(x)=e^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x$

➤ Lihat: soal penyelesaian turunan fungsi eksponensial

Turunan dari fungsi logaritma

Turunan suatu fungsi logaritma bergantung pada basis logaritmanya, karena jika logaritmanya natural maka harus diterapkan rumus untuk mencari turunannya dan jika logaritma mempunyai bilangan lain sebagai basisnya maka harus digunakan aturan lain.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}\\[3ex] f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}\end{array} \end{empheq}$

Misalnya turunan logaritma basis tiga dari x adalah:

$f(x)=\log_3(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(3)}$

➤ Lihat: latihan yang diselesaikan untuk turunan fungsi logaritma

Turunan trigonometri

Tiga turunan trigonometri utama merupakan turunan dari fungsi sinus, fungsi cosinus dan fungsi tangen, yang rumusnya sebagai berikut:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)\\[2.5ex] f(x)=\text{cos}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(x)\\[1.1ex]f(x)=\text{tan}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{\text{cos}^2(x)}\end{array} \end{empheq}$

Secara logika, ada beberapa jenis fungsi trigonometri, seperti fungsi trigonometri hiperbolik, fungsi trigonometri invers, fungsi trigonometri invers, dan fungsi trigonometri hiperbolik. Namun aturan drifting yang paling banyak digunakan adalah tiga aturan di atas.

aturan rujukan

Ketika kita melakukan operasi dengan fungsi, turunannya diselesaikan secara berbeda. Untuk melakukan ini, kita perlu menggunakan aturan diferensiasi , yang memungkinkan kita menurunkan fungsi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\\[4ex] z(x)=f(x)\cdot g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\\[4ex]z(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=\cfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2}\end{array} \end{empheq}$

Oleh karena itu, untuk menyelesaikan turunan dengan operasi, kita tidak hanya perlu menerapkan aturan turunan saja, tetapi kita juga perlu menggunakan rumus untuk setiap jenis turunannya.

Agar Anda dapat mengetahui cara mencari turunan jenis ini, kita akan menyelesaikan beberapa latihan di bawah ini:

Turunan dari suatu jumlah:

$f(x)=3x^2+5x$

$f'(x)=6x+5$

Seperti yang Anda lihat, untuk menyelesaikan turunan seluruh fungsi, rumus turunan suatu pangkat diterapkan pada setiap suku dari jumlah tersebut.

Berasal dari suatu produk:

$f(x)=4^{x}\cdot \text{sen}(x)$

Turunan suku pertama hasil kali adalah 4 ^x ln(4), dan turunan sinusnya adalah kosinus. Jadi turunan dari perkalian adalah:

$f'(x)=4^{x}\cdot \ln (4) \cdot \text{sen}(x) +4^{x}\cdot \text{cos}(x)$

Turunan dari suatu hasil bagi:

$f(x)=\cfrac{x^3+4x^2}{5x^2-8}$

Pada pembilang dan penyebut suatu pecahan kita mempunyai polinomial, maka untuk mendapatkan turunannya kita perlu menggunakan rumus turunan hasil bagi, rumus turunan penjumlahan (atau pengurangan) dan rumus turunan dari penjumlahan (atau pengurangan) dan rumus turunan dari suatu pecahan. memiliki kekuatan:

$\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{(3x^2+8x)\cdot (5x^2-8)-(x^3+4x^2)\cdot 10x}{\left(5x^2-8\right)^2}\\[2ex]&=\cfrac{15x^4-24x^2+40x^3-64x-10x^4-40x^3}{25x^4+64-80x^2}\\[2ex]&=\cfrac{5x^4-24x^2-64x}{25x^4-80x^2+64}\end{aligned}$

Aturan rantai

Aturan rantai adalah rumus yang digunakan untuk menurunkan fungsi majemuk. Aturan rantai menyatakan bahwa turunan suatu fungsi komposit f(g(x)) sama dengan turunan f'(g(x)) dikalikan dengan turunan g'(x) .

Gagasan tentang turunan ini umumnya lebih sulit untuk diasimilasikan, jadi kita akan menyelesaikan latihan langkah demi langkah sebagai contoh:

$f(x)=\text{sen}(x^3)$

Secara efektif, ini adalah komposisi fungsi karena kita memiliki fungsi x ³ di dalam fungsi sinus, oleh karena itu, kita harus menggunakan aturan rantai untuk mencari turunan dari fungsi komposit tersebut.

Di satu sisi, turunan sinus adalah kosinus, sehingga turunan fungsi luarnya adalah kosinus dengan argumen sinus yang sama:

$f\bigl(g(x)\bigr)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=\text{cos}(x^3)$

Dan sebaliknya, kita menghitung turunan x ³ menggunakan rumus turunan suatu pangkat:

$g(x)=x^3\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=3x^2$

Jadi, turunan dari fungsi komposit bilangan bulat adalah hasil kali kedua turunannya:

$f(x)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^3)\cdot 3x^2$

➤ Lihat:menyelesaikan latihan turunan dengan aturan rantai

Diferensiabilitas suatu fungsi

Kontinuitas dan diferensiabilitas suatu fungsi pada suatu titik berhubungan sebagai berikut:

Jika suatu fungsi terdiferensiasi di suatu titik, maka fungsi tersebut kontinu di titik tersebut.
Jika suatu fungsi tidak kontinu di suatu titik, maka fungsi tersebut juga tidak terdiferensiasi di titik tersebut.

Namun kebalikan dari teorema ini salah, yaitu hanya karena suatu fungsi kontinu di suatu titik tidak berarti fungsi tersebut selalu terdiferensiasi di titik tersebut.

Anda juga dapat melihat apakah suatu fungsi dapat terdiferensiasi pada suatu titik pada grafiknya:

Jika titik tersebut mulus, maka fungsinya terdiferensiasi pada titik tersebut.
Jika suatu titik bersudut, maka fungsinya kontinu tetapi tidak terdiferensiasi pada titik tersebut.

Titik halus di x=0:
fungsi kontinu dan terdiferensiasi pada saat ini.

Titik miring di x=2:
berfungsi kontinu tetapi tidak terdiferensiasi pada saat ini.

Anda juga dapat mengetahui apakah suatu fungsi sepotong-sepotong dapat terdiferensiasi di suatu titik dengan menghitung turunan lateral di titik tersebut:

Jika turunan lateral di suatu titik tidak sama, maka fungsi tersebut tidak terdiferensiasi di titik tersebut:

$f'(x_o^-) \neq f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Itu tidak dapat dibedakan dalam

$x_o$

Jika turunan lateral di suatu titik berimpit, maka fungsi tersebut terdiferensiasi di titik tersebut:

$f'(x_o^-) = f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Ya itu bisa diturunkan

$x_o$

Sekarang mari kita lihat contoh penghitungan turunan suatu fungsi yang didefinisikan sepotong demi sepotong di suatu titik:

Pelajarilah kontinuitas dan diferensiasi fungsi sepotong-sepotong berikut di titik x=2:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-6x & \text{si} & x<2 \\[2ex] 6\ln (x-1) & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Fungsi kedua bagian tersebut kontinu pada intervalnya masing-masing, namun perlu diperiksa apakah fungsi tersebut kontinu pada titik kritis x=2. Untuk melakukan ini, kita menyelesaikan batas lateral fungsi di titik:

$\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} \bigl(3x^2-6x\bigr) = 3\cdot2^2-6\cdot2=12-12=\bm{0}$

$\lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} 6\ln (x-1) = 6\ln (2-1)=6 \ln 1=6 \cdot 0= \bm{0}$

Batas lateral pada titik kritis memberikan hasil yang sama, sehingga fungsinya kontinu di titik x=2.

Setelah kita mengetahui bahwa fungsi tersebut kontinu di x=2, kita akan mempelajari diferensiasi fungsi tersebut pada titik tersebut. Untuk melakukan ini, kami menghitung turunan lateral dari fungsi yang ditentukan sedikit demi sedikit:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 6x-6 & \text{si} & x<2 \\[2ex] \cfrac{6}{x-1} & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Sekarang kita evaluasi setiap turunan lateral pada titik kritis:

$f'(2^-)=6\cdot2-6=12-6 = \bm{6}$

$f'(2^+)=\cfrac{6}{2-1} = \cfrac{6}{1} = \bm{6}$

Kedua turunan lateralnya memberikan hasil yang sama, sehingga fungsinya terdiferensiasi di x=2 dan nilai turunannya adalah 6:

$f'(2^-) = f'(2^+) = 6 \ \longrightarrow \ \bm{f'(2) = 6}$

Sebaliknya, jika turunan lateral memberikan hasil yang berbeda, berarti fungsi tersebut tidak terdiferensiasi pada x=2. Dengan kata lain, turunannya pada titik ini tidak akan ada.

➤ Lihat: latihan yang diselesaikan untuk diferensiasi suatu fungsi