Titik belok suatu fungsi -

Berikut kami jelaskan apa itu titik belok suatu fungsi dan cara mencari semua titik belok suatu fungsi. Selain itu, Anda akan menemukan latihan langkah demi langkah tentang kelengkungan dan titik belok suatu fungsi.

Apa titik belok suatu fungsi?

Titik belok suatu fungsi adalah titik dimana grafik fungsi tersebut mengalami perubahan kelengkungan, yaitu pada suatu titik belok suatu fungsi berubah dari cekung menjadi cembung atau sebaliknya.

Bagaimana cara mengetahui apakah suatu fungsi mempunyai titik belok

Dengan mengetahui definisi titik belok, mari kita lihat cara mengetahui apakah suatu titik tertentu merupakan titik belok suatu fungsi.

Suatu fungsi mempunyai titik belok di titik-titik yang menghilangkan turunan keduanya dan turunan ketiganya bukan nol.

$\left.\begin{array}{l}f''(a)=0\\[2ex]f'''(a)\neq 0\end{array}\right\} \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un punto de inflexi\'on}$

Sebagai contoh, kita akan menghitung titik belok fungsi derajat ketiga berikut:

$f(x)=x^3-5x$

Pertama, kita menghitung turunan kedua dan ketiga dari fungsi tersebut:

$f'(x)=3x^2-5$

$f''(x)=6x$

$f'''(x)=6$

Sekarang kita atur turunan keduanya sama dengan 0 dan selesaikan persamaan yang dihasilkan:

$6x=0$

$x=0$

Maka titik x=0 akan menjadi titik belok fungsi tersebut jika turunan ketiganya bukan nol pada titik tersebut. Dalam kasus kita, turunan ketiga selalu sama dengan 6.

$f'''(0)=6\neq 0$

Oleh karena itu, x=0 adalah titik belok dari fungsi tersebut.

Cara mempelajari kelengkungan dan mencari titik belok suatu fungsi

Kita baru saja melihat metode untuk menemukan titik balik. Namun, kita biasanya cenderung mempelajari kelengkungan suatu fungsi, yaitu menentukan kecekungan dan kecembungan suatu fungsi, dan dari sana menghitung titik beloknya.

Untuk mencari titik belok suatu fungsi melalui kelengkungannya, perlu dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:

Temukan titik-titik yang tidak termasuk dalam domain fungsi tersebut.
Hitung turunan pertama dan turunan kedua fungsi tersebut.
Temukan akar-akar turunan kedua , yaitu menghitung titik-titik yang menghilangkan turunan kedua dengan menyelesaikannya
$f''(x)=0$

.
Buatlah interval dengan akar-akar turunan dan titik-titik yang tidak termasuk dalam domain fungsi tersebut.
Hitung nilai turunan kedua pada suatu titik pada setiap interval.
Tanda turunan kedua menentukan kecekungan atau kecembungan suatu fungsi pada interval ini:
- Jika turunan kedua dari fungsi tersebut positif, maka fungsi tersebut cembung pada interval tersebut.
- Jika turunan kedua dari fungsi tersebut negatif, maka fungsi tersebut cekung pada interval tersebut.
Titik belok adalah titik dimana fungsi berubah dari cembung ke cekung atau sebaliknya.

Agar Anda dapat melihat bagaimana titik belok suatu fungsi dihitung menggunakan prosedur ini, kami akan menyelesaikan contoh langkah demi langkah di bawah ini:

Pelajari kelengkungan dan temukan titik belok dari fungsi polinomial berikut:

$f(x)=x^4-6x^2$

Hal pertama yang harus dilakukan adalah menghitung domain definisi fungsi. Ini adalah fungsi polinomial, sehingga domain dari fungsi tersebut terdiri dari bilangan real, artinya fungsi kontinu:

$\text{Dom } f= \mathbb{R}$

Setelah kita menghitung domain dari fungsi tersebut, kita perlu mempelajari pada titik mana fungsi tersebut terpenuhi

$f''(x)=0$

Oleh karena itu, pertama-tama kita menghitung turunan pertama dari fungsi tersebut:

$f(x)=x^4-6x^2 \ \longrightarrow \ f'(x)= 4x^3-12x$

Selanjutnya, kita menghitung turunan kedua dari fungsi tersebut:

$f'(x)=4x^3-12x \ \longrightarrow \ f''(x)= 12x^2-12$

Dan sekarang kita menetapkan turunan kedua sama dengan 0 dan menyelesaikan persamaan:

$f''(x)=0$

$12x^2-12=0$

$12x^2=12$

$x^2=\cfrac{12}{12}$

$x^2=1$

$\sqrt{x^2}=\sqrt{1}$

$x=\pm1$

Setelah kita menghitung domain dari fungsi dan

$f''(x)=0$

, kami mewakili semua titik kritis yang terdapat pada garis bilangan:

Dan sekarang kita evaluasi tanda turunan keduanya pada setiap interval, untuk mengetahui apakah fungsinya cekung atau cembung. Oleh karena itu, kita mengambil sebuah titik pada setiap interval (tidak pernah titik kritisnya) dan melihat tanda apa yang dimiliki turunan kedua pada titik tersebut:

$f''(x)=12x^2-12$

$f''(-2) = 12\cdot (-2)^2-12 =36 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$f''(0) = 12\cdot 0^2-12 = -12 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f''(2) = 12\cdot 2^2-12=36 \ \rightarrow \ \bm{+}$

Jika turunan keduanya positif berarti fungsinya cembung.

$(\bm{\cup})$

, dan jika turunan keduanya negatif berarti fungsinya cekung

$(\bm{\cap})$

. Oleh karena itu, interval kecekungan dan kecembungan fungsi tersebut adalah:

Cembung

$(\bm{\cup})$

$\bm{(-\infty,-1) \cup (1,+\infty)}$

Cekung

$(\bm{\cap})$

$\bm{(-1,1)}$

Selanjutnya pada x=-1 fungsinya berubah dari cembung menjadi cekung, sehingga x=-1 merupakan titik belok dari fungsi tersebut . Dan pada x=1, fungsinya berubah dari cekung menjadi cembung, jadi x=1 juga merupakan titik belok fungsi tersebut.

Terakhir, kita substitusikan titik-titik yang ditemukan ke dalam fungsi asli untuk mencari koordinat Y dari titik belok:

$f(-1)=(-1)^4-6(-1)^2 = 1-6 \cdot 1 = -5 \ \longrightarrow \ (-1,-5)$

$f(1)=1^4-6\cdot 1^2 = 1-6 \cdot 1 = -5 \ \longrightarrow \ (1,-5)$

Oleh karena itu, titik balik dari fungsi tersebut adalah:

Titik balik:

$\bm{(-1,-5)}$

Dan

$\bm{(1,-5)}$

Di bawah ini Anda dapat melihat representasi grafis dari fungsi yang dipelajari:

Seperti yang Anda lihat dari grafik, fungsinya berubah dari cembung

$(\cup)$

menjadi cekung

$(\cap)$

Tentang

$(-1,-5)$

karena kelengkungannya berubah. Di sisi lain, fungsinya beralih dari cekung

$(\cap)$

menjadi cembung

$(\cup)$

Tentang

$(1,-5)$

Latihan memutar yang terpecahkan

Latihan 1

Hitung interval kecekungan dan kecembungan serta titik belok fungsi eksponensial berikut:

$f(x) = xe^x$

Lihat solusinya

Hal pertama yang harus dilakukan adalah menghitung domain definisi fungsi. Fungsi tersebut terdiri dari fungsi polinomial (x) yang domainnya hanya terdiri dari bilangan real, dan fungsi eksponensial ( ^ex ), yang domainnya juga terdiri dari bilangan real. Oleh karena itu, domain dari fungsi tersebut terdiri dari bilangan real:

$\text{Dom } f= \mathbb{R}$

Sekarang mari kita hitung turunan dari fungsi tersebut. Dalam hal ini, fungsi tersebut terdiri dari hasil kali dua fungsi, jadi untuk menurunkan fungsi tersebut kita perlu menerapkan rumus turunan suatu hasil kali:

$f'(x)=1 \cdot e^x+ x \cdot e^x$

$f'(x)=e^x +xe^x$

Selanjutnya, kita menghitung turunan kedua dari fungsi tersebut:

$f''(x)= e^x + 1 \cdot e^x+ x \cdot e^x$

$f''(x)=e^x +e^x + xe^x = 2e^x +xe^x$

Kami menetapkan turunan kedua sama dengan 0 dan menyelesaikan persamaan:

$f''(x)= 0$

$2e^x+xe^x= 0$

Kami mengekstrak faktor persekutuan:

$e^x(2+x)=0$

Agar perkaliannya sama dengan 0, salah satu dari dua unsur perkaliannya harus nol. Oleh karena itu, kami menetapkan setiap faktor sama dengan 0:

$\displaystyle e^x\cdot(2+x) =0 \longrightarrow \begin{cases} e^x=0 \ \color{red}\bm{\times}\color{black} \\[2ex] 2+x=0 \ \longrightarrow \ x= - 2 \end{cases}$

Suatu bilangan yang dipangkatkan ke bilangan lain tidak akan pernah menghasilkan 0. Oleh karena itu, persamaannya

$e^x=0$

Tidak ada solusi.

Kami mewakili semua titik tunggal yang diperoleh di sebelah kanan:

Dan sekarang kita evaluasi tanda turunan keduanya pada setiap interval untuk mengetahui apakah fungsinya cekung atau cembung. Untuk melakukan ini, kita mengambil sebuah titik di setiap interval dan melihat tanda mana yang memiliki turunan kedua di titik tersebut:

$f''(-3)= 2e^{-3} +(-3)\cdot e^{-3} = 0,1 - 0,15 = -0,05\ \rightarrow \ \bm{-}$

$f''(0)= 2e^0 +0\cdot e^0 = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 =2+0= 2 \ \rightarrow \ \bm{+}$

Jika turunan keduanya positif berarti fungsinya cembung.

$(\bm{\cup})$

, dan jika turunan keduanya negatif berarti fungsinya cekung

$(\bm{\cap})$

. Oleh karena itu, interval kecekungan dan kecembungan adalah:

Cembung

$(\bm{\cup})$

$\bm{(-2,+\infty)}$

Cekung

$(\bm{\cap})$

$\bm{(-\infty,-2)}$

Selain itu, fungsi berubah dari cekung menjadi cembung pada x=-2, jadi x=-2 adalah titik belok fungsi tersebut.

Terakhir, kita substitusikan titik belok yang ditemukan ke dalam fungsi asli untuk mencari koordinat Y dari titik tersebut:

$f(-2) = (-2)\cdot e^{-2} =-2e^{-2} \ \longrightarrow \ (-2,-2e^{-2})$

Kesimpulannya, satu-satunya titik balik dari fungsi ini adalah:

Titik balik:

$\bm{(-2,-2e^{-2})}$

Latihan 2

Pelajari interval kecekungan dan konveksitas dan temukan titik belok dari fungsi rasional berikut:

$\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}$

Lihat solusinya

Pertama kita perlu menghitung domain dari fungsi tersebut. Karena ini adalah fungsi rasional, kita menetapkan penyebutnya sama dengan nol untuk melihat bilangan mana yang tidak termasuk dalam domain fungsi tersebut:

$x^2-4= 0$

$x^2=4$

$\sqrt{x^2}=\sqrt{4}$

$x=\pm 2$

Artinya jika x adalah -2 atau +2, penyebutnya adalah 0. Oleh karena itu, fungsinya tidak akan ada. Oleh karena itu, domain fungsi tersebut terdiri dari semua bilangan kecuali x=-2 dan x=+2.

$\text{Dom } f= \mathbb{R}-\{-2, +2 \}$

Kedua, kita menghitung turunan pertama dari fungsi tersebut:

$f(x)=\cfrac{x^3}{x^2-4} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{3x^2 \cdot (x^2-4) - x^3 \cdot 2x }{\left(x^2-4\right)^2}$

$f'(x)= \cfrac{3x^4-12x^2-2x^4}{\left(x^2-4\right)^2} = \cfrac{x^4-12x^2}{\left(x^2-4\right)^2}$

Lalu kita selesaikan turunan keduanya:

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^2 - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 2\left(x^2-4\right)\cdot 2x }{ \left(\left(x^2-4\right)^2 \right)^2}$

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^2 - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x\left(x^2-4\right) }{\left(x^2-4\right)^4 }$

Semua suku dikalikan dengan

$(x^2-4)$

. Oleh karena itu kita dapat menyederhanakan pecahan tersebut:

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^{\cancel{2}} - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x\cancel{\left(x^2-4\right)} }{\left(x^2-4\right)^{\cancelto{3}{4}} }$

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right) - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x}{\left(x^2-4\right)^3 }$

$f''(x)= \cfrac{4x^5-16x^3-24x^3+96x - \left(4x^5-48x^3\right) }{\left(x^2-4\right)^3 }$

$f''(x)= \cfrac{4x^5-16x^3-24x^3+96x - 4x^5+48x^3 }{\left(x^2-4\right)^3 }$

$f''(x)= \cfrac{8x^3+96x }{\left(x^2-4\right)^3 }$

Sekarang mari kita hitung akar-akar turunan kedua dari fungsi tersebut:

$f''(x)= 0$

$\cfrac{8x^3+96x }{\left(x^2-4\right)^3 }=0$

Syarat

$\left(x^2-4\right)^3$

Caranya adalah dengan membagi seluruh ruas kiri, sehingga kita dapat mengalikannya dengan seluruh ruas kanan:

$8x^3+96x =0\cdot \left(x^2-4\right)^3$

$8x^3+96x =0$

Kami mengekstrak faktor persekutuan:

$x(8x^2+96)=0$

Agar perkaliannya sama dengan 0, salah satu dari dua unsur perkaliannya harus nol. Oleh karena itu, kami menetapkan setiap faktor sama dengan 0:

$\displaystyle x\cdot(8x^2+96) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x =0} \\[2ex] 8x^2+96=0 \ \longrightarrow \ x^2=\cfrac{-96}{8}} = -12 \ \longrightarrow \ x= \sqrt{-12} \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}$

$x= \sqrt{-12}$

Tidak ada penyelesaian karena tidak ada akar negatif dari bilangan real.

Sekarang kita nyatakan pada garis semua titik kritis yang diperoleh, yaitu titik-titik yang tidak termasuk dalam domain (x=-2 dan x=+2) dan titik-titik yang membatalkan turunan kedua (x=0):

Dan kita evaluasi tanda turunan keduanya pada setiap interval, untuk mengetahui apakah fungsinya cekung atau cembung. Jadi kita ambil sebuah titik di setiap interval dan lihat tanda apa yang mempunyai turunan kedua di titik tersebut:

$f''(-3)=\cfrac{8(-3)^3+96(-3) }{\left((-3)^2-4\right)^3 } = \cfrac{-504}{125}=-4,03 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f''(-1)=\cfrac{8(-1)^3+96(-1) }{\left((-1)^2-4\right)^3 } = \cfrac{-104}{-27}=3,85 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$f''(1)=\cfrac{8\cdot1^3+96\cdot 1 }{\left(1^2-4\right)^3 } = \cfrac{104}{-27}=-3,85 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f''(3)=\cfrac{8\cdot 3^3+96\cdot 3 }{\left(3^2-4\right)^3 } = \cfrac{504}{125}=4,03 \ \rightarrow \ \bm{+}$

Jika turunan keduanya positif berarti fungsinya cembung.

$(\bm{\cup})$

, dan jika turunan keduanya negatif berarti fungsinya cekung

$(\bm{\cap})$

. Oleh karena itu, interval kecekungan dan kecembungan adalah:

Cembung

$(\bm{\cup})$

$\bm{(-2,0)\cup (2,+\infty)}$

Cekung

$(\bm{\cap})$

$\bm{(-\infty,-2)\cup (0,2)}$

Fungsi tersebut mengubah kelengkungan di tiga titik, sehingga fungsi rasional pada prinsipnya mempunyai tiga titik belok, yaitu x=-2, x=0 dan x=2. Namun meskipun terjadi perubahan kelengkungan pada x=-2 dan x=+2, hal tersebut bukanlah titik belok karena tidak termasuk dalam domain fungsi. Sebaliknya, pada x=0 terjadi perubahan kelengkungan dan hal ini termasuk dalam fungsi tersebut, jadi x=0 adalah satu-satunya titik belok fungsi tersebut.

Yang tersisa hanyalah menghitung koordinat Y dari titik belok:

$\displaystyle f(0)=\frac{0^3}{0^2-4} =\frac{0}{-4}=0\ \longrightarrow \ (0,0)$

Singkatnya, satu-satunya titik belok fungsi rasional adalah titik asal koordinat:

Titik balik:

$\bm{(0,0)}$

Latihan 3

Kita tahu itu fungsinya

$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$

melewati titik tersebut

$(3,1)$

, memiliki nilai yang relatif ekstrim

$x=1$

, dan titik balik

$x = 2$

. Dari informasi ini, hitung nilai parameter

$a, b$

Dan

$c$

Lihat solusinya

Biarkan fungsi tersebut memiliki titik belok di

$x= 2$

maksudnya

$f''(2)=0$

. Oleh karena itu, kita menghitung turunan kedua dari fungsi tersebut

$x= 2$

dan kami menetapkannya sama dengan 0:

$f(x) = x^3+ax^2+bx+c \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2+2ax+b$

$f'(x)=3x^2+2ax+b \ \longrightarrow \ f''(x)= 6x+2a$

$\left. \begin{array}{l} f''(2)=6\cdot 2+2a\\[2ex] f''(2)=0\end{array} \right\} \longrightarrow 6\cdot 2+2a=0$

Dan kita selesaikan persamaan yang diperoleh untuk mencari nilai parameter a:

$6\cdot 2+2a=0$

$12+2a=0$

$2a=-12$

$a=\cfrac{-12}{2}$

$\bm{a=-6}$

Oleh karena itu, fungsinya adalah:

$f(x)=x^3+ax^2+bx+c \ \xrightarrow{a \ = \ -6}\ f(x)=x^3-6x^2+bx+c$

Selain itu, fungsinya juga sangat ekstrim

$x= 1$

, Artinya

$f'(1)=0$

. Oleh karena itu, kita menghitung turunan pertama dari fungsi tersebut

$x= 1$

dan kami menetapkannya sama dengan 0:

$f(x)=x^3-6x^2+bx+c \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-12x+b$

$\left. \begin{array}{l} f'(1)=3\cdot 1^2-12\cdot 1+b\\[2ex] f'(1)=0\end{array} \right\} \longrightarrow 3\cdot 1^2-12\cdot 1+b=0$

Dan kita selesaikan persamaan yang diperoleh untuk mencari nilai b yang tidak diketahui:

$3\cdot 1^2-12\cdot 1+b=0$

$3 \cdot 1 -12 + b = 0$

$3 -12 + b = 0$

$b=+12-3$

$\bm{b=9}$

Oleh karena itu, fungsinya adalah:

$f(x)=x^3-6x^2+bx+c \ \xrightarrow{b \ = \ 9} \ f(x)=x^3-6x^2+9x+c$

Di sisi lain, mereka memberi tahu kita bahwa fungsi tersebut melalui titik (3,1). Artinya,

$f(3)=1$

. Oleh karena itu, kita dapat menerapkan kondisi ini untuk mencari nilai parameter c:

$\left. \begin{array}{l} f(3)=3^3-6\cdot 3^2+9\cdot3+c \\[2ex] f(3)=1 \end{array} \right\} \longrightarrow 3^3-6\cdot 3^2+9\cdot 3+c = 1$

Dan kami menyelesaikan persamaan yang diperoleh untuk menemukan nilai

$b:$

$3^3-6\cdot 3^2+9\cdot 3+c = 1$

$27-6\cdot 9+27+c = 1$

$27-54+27+c = 1$

$c=1-27+54-27$

$\bm{c=1}$

Oleh karena itu, fungsinya adalah:

$f(x)=x^3-6x^2+9x+c \ \xrightarrow{c \ = \ 1} \ f(x)=x^3-6x^2+9x+1$

Apa titik belok suatu fungsi?

Bagaimana cara mengetahui apakah suatu fungsi mempunyai titik belok

Cara mempelajari kelengkungan dan mencari titik belok suatu fungsi

Latihan memutar yang terpecahkan

Latihan 1

Latihan 2

Latihan 3

Tinggalkan Komentar Batalkan Balasan