Sudut antara dua bidang dalam ruang (rumus)

Di halaman ini Anda akan menemukan cara menghitung sudut yang dibentuk oleh dua bidang dalam ruang (rumus). Selain itu, Anda akan dapat melihat contoh dan latihan dengan latihan yang diselesaikan.

Rumus sudut antara dua bidang

Sudut antara dua bidang sama dengan sudut yang dibentuk oleh vektor-vektor normal bidang tersebut. Oleh karena itu, untuk mencari sudut antara dua bidang, dihitung sudut yang dibentuk oleh vektor-vektor normalnya, karena keduanya ekuivalen.

Nah, setelah kita mengetahui secara pasti berapa besar sudut antara dua bidang, mari kita lihat rumus menghitung sudut antara dua bidang dalam ruang (dalam R3), yang diturunkan dari rumus sudut antara dua vektor :

Mengingat persamaan umum (atau implisit) dari dua bidang berbeda:

$\pi_1 : \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$

$\pi_2 : \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$

Vektor normal setiap bidang adalah:

$\vv{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$

$\vv{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$

Dan sudut yang dibentuk oleh kedua bidang tersebut ditentukan dengan menghitung sudut yang dibentuk oleh vektor-vektor normalnya dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Jadi, untuk menentukan sudut antara dua bidang, Anda harus menguasai perhitungan perkalian titik dua vektor . Jika Anda tidak ingat cara melakukannya, di tautan ini Anda akan menemukan langkah-langkah menyelesaikan perkalian titik antara dua vektor. Selain itu, Anda akan dapat melihat contoh dan latihan yang diselesaikan langkah demi langkah.

Sebaliknya jika kedua bidang tegak lurus atau sejajar maka rumus tersebut tidak perlu diterapkan, karena sudut antara kedua bidang tersebut dapat ditentukan secara langsung:

Sudut antara dua bidang sejajar adalah 0º, karena vektor-vektor normalnya mempunyai arah yang sama.
Sudut antara dua bidang yang tegak lurus adalah 90º, karena vektor-vektor normalnya juga tegak lurus (atau ortogonal) satu sama lain sehingga membentuk sudut siku-siku.

Contoh menghitung sudut antara dua bidang

Berikut contoh konkritnya agar Anda dapat melihat cara menentukan sudut antara dua bidang yang berbeda:

Hitunglah sudut antara dua bidang berikut:

$\pi_1 : \ 3x-5y+z+4=0$

$\pi_2 : \ 4x+2y+3z-1=0$

Hal pertama yang perlu kita lakukan adalah mencari vektor normal setiap bidang. Jadi, koordinat X, Y, Z dari vektor yang tegak lurus bidang masing-masing bertepatan dengan koefisien A, B dan C dari persamaan umum (atau implisit):

$\vv{n}_1 = (3,-5,1)$

$\vv{n}_2 = (4,2,3)$

Dan setelah kita mengetahui vektor normal setiap bidang, kita menghitung sudut yang dibentuknya dengan rumus:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Oleh karena itu kita harus mencari besarnya setiap vektor normal:

$\sqrt{3^2+(-5)^2+1^2}= \sqrt{9+25+1} = \sqrt{35}$

$\sqrt{4^2+2^2+3^2}= \sqrt{16+4+9} = \sqrt{29}$

Sekarang kita substitusikan nilai setiap yang tidak diketahui ke dalam rumus:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-5,1) \cdot (4,2,3)\rvert}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{29} }$

Kita menghitung kosinus sudut dengan menyelesaikan perkalian titik kedua vektor:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 4 + (-5)\cdot 2 +1 \cdot 3 \rvert}{\sqrt{35}\cdot \sqrt{29} }=\cfrac{\lvert 12-10+3 \rvert}{\sqrt{1015}}= \cfrac{5}{31,86}=0,16$

Dan terakhir, kita menentukan sudut dengan melakukan invers cosinus menggunakan kalkulator:

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,16)=\bm{80,97º}$

Menyelesaikan masalah sudut antara dua bidang

Latihan 1

Tentukan sudut antara dua bidang berikut:

$\pi_1 : \ x+2z-5=0$

$\pi_2 : \ 3x+y-4z+7=0$

lihat solusi

Hal pertama yang perlu kita lakukan adalah mencari vektor normal setiap bidang. Jadi, koordinat X, Y, Z dari vektor yang tegak lurus bidang masing-masing ekuivalen dengan koefisien A, B, dan C dari persamaan umum (atau implisit):

$\vv{n}_1 = (1,0,2)$

$\vv{n}_2 = (3,1,-4)$

Setelah kita mengetahui vektor normal setiap bidang, kita menghitung sudut yang dibentuknya dengan rumus:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Oleh karena itu kita harus mencari besarnya setiap vektor normal:

$\sqrt{1^2+0^2+2^2}= \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

$\sqrt{3^2+1^2+(-4)^2}= \sqrt{9+1+16} = \sqrt{26}$

Kami mengganti nilai setiap yang tidak diketahui ke dalam rumus:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (1,0,2) \cdot (3,1,-4)\rvert}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{26} }$

Kami menghitung kosinus sudut:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 1\cdot 3 + 0\cdot 1 +2 \cdot (-4) \rvert}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{26} }=\cfrac{\lvert 3-8 \rvert}{\sqrt{130}}= \cfrac{5}{11,4}=0,44$

Dan terakhir, kita mencari sudut antara kedua bidang dengan membalik cosinus menggunakan kalkulator:

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,44)=\bm{63,99º}$

Latihan 2

Berapakah sudut antara dua bidang berikut?

$\pi_1 : \ 3x-2y+5z=0$

$\pi_2 : \ 6x+3y-z-2=0$

lihat solusi

Hal pertama yang perlu kita lakukan adalah mencari vektor normal setiap bidang. Jadi, koordinat X, Y, Z dari vektor yang tegak lurus bidang masing-masing sama dengan parameter A, B, dan C dari persamaan umum (atau implisit):

$\vv{n}_1 = (3,-2,5)$

$\vv{n}_2 = (6,3,-1)$

Setelah kita mengetahui vektor normal setiap bidang, kita menghitung sudut yang dibentuknya dengan rumus:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Oleh karena itu kita harus mencari besarnya setiap vektor normal:

$\sqrt{3^2+(-2)^2+5^2}= \sqrt{9+4+25} = \sqrt{38}$

$\sqrt{6^2+3^2+(-1)^2}= \sqrt{36+9+1} = \sqrt{46}$

Kami mengganti nilai setiap variabel ke dalam rumus:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-2,5) \cdot (6,3,-1)\rvert}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{46} }$

Kami menghitung kosinus sudut:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 6 + (-2)\cdot 3 +5 \cdot (-1) \rvert}{\sqrt{38}\cdot \sqrt{46} }=\cfrac{\lvert 18-6-5 \rvert}{\sqrt{1748}}= \cfrac{7}{41,81}=0,17$