▷ Apa saja sifat (atau hukum) limit?

Di sini Anda akan menemukan semua sifat (atau hukum) limit fungsi. Properti ini berfungsi untuk menyederhanakan perhitungan limit, terutama ketika menangani limit dengan operasi fungsi.

Apa sifat (atau hukum) limit fungsi?

Selanjutnya akan dijelaskan semua sifat-sifat limit fungsi, atau disebut juga hukum limit fungsi. Selain itu, Anda akan dapat melihat latihan yang diselesaikan untuk setiap properti limit sehingga Anda dapat memahami konsepnya sepenuhnya.

Sifat limit suatu jumlah

Limit jumlah dua fungsi pada suatu titik sama dengan jumlah limit masing-masing fungsi pada titik yang sama secara terpisah.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)$

Misalnya, ada dua fungsi:

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

Limit setiap fungsi di x sama dengan 1 adalah:

$\displaystyle \lim_{x\to 1}x^2=1^2=1$

$\displaystyle \lim_{x\to 1}(2x+1)=2\cdot1+1=3$

Oleh karena itu, limit dua fungsi yang dijumlahkan pada titik yang sama menghasilkan 4 (1+3=4).

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}f(x)+\lim_{x\to 1}g(x)=\\[3ex]=1+3=4\end{array}$

Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan menghitung limitnya selangkah demi selangkah:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\Bigl[x^2+2x+1\Bigr]=\\[3ex]=1^2+2\cdot 1+1=4\end{array}$

Properti batas pengurangan

Limit pengurangan (atau selisih) dua fungsi pada suatu titik sama dengan pengurangan limit masing-masing fungsi pada titik yang sama secara terpisah.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x)$

Menggunakan fungsi dari contoh sebelumnya:

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

Limit masing-masing fungsi di titik x=3 adalah:

$\displaystyle \lim_{x\to 3}x^2=3^2=9$

$\displaystyle \lim_{x\to 3}(2x+1)=2\cdot3+1=7$

Maka limit kedua fungsi yang dikurangi pada x=3 adalah selisih nilai yang diperoleh pada langkah sebelumnya:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}f(x)-\lim_{x\to 3}g(x)=\\[3ex]=9-7=2\end{array}$

Kita dapat membuktikan sifat limit ini dengan menghitung pengurangan fungsi dan kemudian menyelesaikan limitnya:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-(2x+1)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-2x-1\Bigr]\\[3ex]=3^2-2\cdot 3-1=2\end{array}$

Batasi properti suatu produk

Limit hasil kali dua fungsi pada suatu titik adalah hasil kali limit masing-masing fungsi pada titik tersebut.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}g(x)$

Misalnya, jika kita memiliki dua fungsi berbeda berikut ini:

$f(x)=x^3\qquad g(x)=x^2-5$

Limit masing-masing fungsi pada x=2 adalah:

$\displaystyle \lim_{x\to 2}x^3=2^3=8$

$\displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2-5)=2^2-5=-1$

Jadi, untuk menentukan limit hasil kali kedua fungsi tersebut tidak perlu dikalikan, tetapi cukup mengalikan hasil yang diperoleh dari masing-masing limit:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 2}f(x)\cdot \lim_{x\to 2}g(x)=\\[3ex]=8\cdot (-1)=-8\end{array}$

Hal ini menghemat waktu dan perhitungan karena mengalikan dua fungsi bisa jadi sulit.

Sifat limit suatu hasil bagi

Limit hasil bagi (atau pembagian) dua fungsi sama dengan hasil bagi limit fungsi tersebut.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

Kondisi ini terpenuhi selama limit fungsi penyebutnya tidak nol.

$\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)\neq 0$

Kita akan memecahkan contoh sifat (atau hukum) limit ini. Perhatikan fungsi f(x) dan g(x):

$f(x)=5x-1\qquad g(x)=3^x$

Pertama-tama kita hitung limit setiap fungsi pada x=0:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}(5x-1)=5\cdot 0-1=-1$

$\displaystyle \lim_{x\to 0}3^x=3^0=1$

Dengan demikian limit pembagian kedua fungsi pada x=0 dapat dengan mudah dicari:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)}=\displaystyle\frac{-1}{1}=-1\end{array}$

Dalam hal ini, kita dapat menerapkan properti ini untuk menyelesaikan limit karena limit g(x) bukan nol.

Sifat limit suatu konstanta

Limit suatu fungsi konstanta selalu menghasilkan konstanta itu sendiri, terlepas dari titik di mana limit tersebut dihitung.

$\displaystyle \lim_{x\to a} k=k$

Properti ini sangat mudah untuk diperiksa, misalnya jika kita memiliki fungsi konstan berikut:

$f(x)=5$

Logikanya, limit fungsi konstanta di suatu titik adalah 5:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 3}5=5$

$\displaystyle \lim_{x\to -2}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 7}5=5$

Sifat limit kelipatan konstan

Dari sifat-sifat limit suatu hasil kali dan batas suatu konstanta, kita dapat menyimpulkan sifat-sifat berikut:

Limit suatu fungsi dikalikan dengan suatu konstanta sama dengan hasil kali konstanta tersebut dan limit fungsi tersebut.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[ k\cdot f(x)\Bigr]=k\cdot\lim_{x\to a}f(x)$

Perhatikan bagaimana kita menyederhanakan penghitungan limit berikut menggunakan properti ini:

$\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x\to 4} (2x^2-12x+10)=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 4}\Bigl[2\cdot(x^2-6x+5)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle 2\cdot\lim_{x\to 4}(x^2-6x+5)=\\[3ex]=2\cdot (4^2-6\cdot4+5)=\\[3ex]=2\cdot (-3)=-6\end{array}$

Sifat batas suatu pangkat

Limit suatu fungsi yang dipangkatkan menjadi eksponen sama dengan menghitung limit fungsi tersebut dan kemudian menaikkan hasil limit tersebut ke eksponen tersebut.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^k\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^k$

Misalnya, limit suatu fungsi linier adalah:

$\displaystyle\lim_{x\to 6}x=6$

Nah, limit fungsi kuadrat bisa dihitung dengan mencari limit fungsi linier lalu mengkuadratkan hasilnya:

$\displaystyle\lim_{x\to 6}\Bigl[x^2\Bigr]=\left[\lim_{x\to 6}x\right]^2=\bigl[6\bigr]^2=36$

Sifat limit fungsi eksponensial

Limit suatu fungsi eksponensial sama dengan konstanta fungsi yang dipangkatkan ke limit ekspresi aljabar fungsi tersebut.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[k^{g(x)}\Bigr]=k^{^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}}$

Kami kemudian akan menghitung limit fungsi eksponensial dengan dua cara yang mungkin untuk memverifikasi properti ini:

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{2\cdot 1}=25$

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{^{\displaystyle\lim_{x\to 1}2x}}=5^{2\cdot 1}=25$

Sifat limit suatu pangkat fungsi

Limit suatu fungsi yang dipangkatkan ke fungsi lain adalah limit fungsi pertama yang dipangkatkan ke limit fungsi kedua.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^{g(x)}\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

Sebagai contoh, kita akan menentukan limit berikut dengan menerapkan hukum ini:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2}\Bigl[(x^2-4x)^{4x-5}\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\left[\lim_{x\to 2}(x^2-4x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to 2}(4x-5)}=\\[3ex]=\displaystyle (2^2-4\cdot 2)^{4\cdot 2-5}=\\[3ex]=(-4)^3=-64\end{array}$

Sifat limit fungsi irasional

Limit suatu akar (atau radikal) sama dengan akar dari limit tersebut.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)}$

Untuk menggunakan properti ini, perlu diingat bahwa jika indeks akar genap, limit fungsi harus lebih besar atau sama dengan 0:

$\text{si } n \text{ es par} \ \longrightarrow \ \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\ge 0$

Perhatikan bagaimana batas berikut dihitung dengan menerapkan rumus ini:

$\displaystyle\lim_{x\to 4}\sqrt[3]{\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\lim_{x\to 4}\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\frac{4^2}{2}}=\sqrt[3]{8}=2$

Sifat limit fungsi logaritma

Limit suatu logaritma setara dengan logaritma dasar limit yang sama.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[\log_k f(x)\Bigr]=\log_k \left[\lim_{x\to a}f(x)\right]$

Lihatlah resolusi batas berikut di mana kita menerapkan properti ini:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to -4}\Bigl[\log_3 (x^2-2x+3)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 \left[\lim_{x\to -4}(x^2-2x+3)\right]=\\[4ex]=\displaystyle\log_3\bigl[(-4)^2-2\cdot (-4)+3\bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 27=3\end{array}$

Properti (atau hukum) batas