Binomial keempat - Mathority

Di halaman ini Anda akan menemukan rumus binomial ke empat, dan kami menjelaskan cara menyelesaikan operasi binomial jenis ini beserta contohnya. Selain itu, Anda akan dapat berlatih dengan soal-soal yang diselesaikan selangkah demi selangkah dari teman sebaya hingga kelas empat.

Rumus binomial seperempat

Dalam matematika, binomial pangkat empat adalah polinomial yang terdiri dari dua suku yang dipangkatkan ke-4.

Jadi rumus yang digunakan untuk menghitung seperempat binomial adalah sebagai berikut:

$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Rumus ini dapat diturunkan dari rumus binomial umum Newton . Faktanya, dengan binomial Newton Anda dapat menghitung binomial yang dipangkatkan, jadi sebaiknya pelajari rumus binomial Newton. Klik tautan sebelumnya dan cari tahu seperti apa rumus ini.

Oleh karena itu, binomial pada suku keempat sama dengan suku pertama yang dipangkatkan ke suku keempat, ditambah hasil kali 4 kali suku pertama pangkat tiga dan suku kedua, ditambah suku pertama dan kedua dikuadratkan dikali 6, ditambah hasil kali 4 kali suku suku pertama dikali suku kedua dipangkatkan 3, ditambah suku kedua dipangkatkan keempat.

Rumus ini sesuai dengan jumlah binomial (dua elemennya positif), tetapi dalam rumus pengurangan binomial yang dipangkatkan ke keempat, tanda hasil kali kedua dan keempat adalah negatif:

$(a \color{red}\bm{-}\color{black}b)^4 = a^4\color{red}\bm{-}\color{black}4a^3b+6a^2b^2\color{red}\bm{-}\color{black}4ab^3+b^4$

Contoh teman sebaya di kelas empat

Mengingat rumus binomial jenis ini, kita akan melihat beberapa contoh penyelesaian binomial ke empat. Pertama-tama kita menghitung binomial positif, lalu menyelesaikan binomial negatif.

Contoh 1

Hitung binomial berikut yang dipangkatkan ke keempat:

$(x+2)^4$

Rumus pangkat jumlah binomial yang dipangkatkan ke 4 adalah:

$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Jadi untuk menghitung binomial pada latihan ini, cukup substitusikan dua jumlah binomial ke dalam rumus:

$(x+2)^4 = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 2^2+4\cdot x\cdot 2^3+2^4$

Dan akhirnya kami menyelesaikan operasinya:

$\begin{aligned}(x+2)^4 & = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 4+4\cdot x\cdot 8+16 \\[2ex] & =x^4+8 x^3+24x^2+32x+16\end{aligned}$

Contoh 2

Temukan binomial berikut yang dipangkatkan ke keempat:

$(x-3)^4$

Rumus potensiasi binomial selisih yang dipangkatkan ke ke-4 adalah sebagai berikut:

$(a-b)^4 = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4$

Oleh karena itu, untuk menentukan binomial soal, cukup substitusikan nilai binomial ke dalam rumus:

$(x-3)^4 = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 3^2-4\cdot x\cdot 3^3+3^4$

Dan akhirnya, kami menyelesaikan operasi yang dihasilkan:

$\begin{aligned}(x-3)^4 & = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 9-4\cdot x\cdot 27+81 \\[2ex] & =x^4-12x^3+54x^2-108x+81\end{aligned}$

Demonstrasi rumus binomial keempat

Untuk mendalami konsep binomial yang diangkat ke keempat, kami akan mendemonstrasikan rumusnya dalam beberapa cara.

Dari pasangan mana pun yang dinaikkan menjadi 4:

$(a+b)^4$

Ekspresi aljabar binomial ke empat dapat difaktorkan dengan memperluasnya menjadi faktor prima:

$(a+b)^4=(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)$

Jadi, dengan menyelesaikan setiap hasil kali polinomial , kita sampai pada rumus binomial yang dipangkatkan ke keempat:

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Sebaliknya, rumus binomial pangkat empat juga dapat dibuktikan dengan menggunakan rumus binomial pangkat tiga :

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^3 \cdot (a+b)\\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Demikian pula, bukti dapat diperoleh melalui produk-produk terkenal (atau identitas-identitas terkemuka). Misalnya, menggunakan rumus hasil kali penting kuadrat suatu jumlah :

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^2\cdot (a+b)^2 \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a^2+2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Masing-masing, rumus identitas penting untuk kuadrat pengurangan digunakan untuk menguatkan rumus pengurangan binomial:

$\begin{aligned} (a-b)^4 & =(a-b)^2\cdot (a-b)^2 \\[2ex] &= (a^2-2ab+b^2)\cdot (a^2-2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Soal latihan untuk teman-teman di kelas empat

Selesaikan pangkat binomial berikut yang dipangkatkan ke empat:

$\text{A)} \ (x+1)^4$

$\text{B)} \ (2x+3)^4$

$\text{C)} \ (x-4)^4$

$\text{D)} \ (x^2+y)^4$

lihat solusi

$\text{A)} \ \begin{aligned} (x+1)^4 & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1^2+4 \cdot x\cdot 1^3 + 1^4 \\[2ex] & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1+4 \cdot x\cdot 1 + 1 \\[2ex] & = \bm{x^4 +4x^3+6 x^2+4 x + 1}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned} (2x+3)^4 & = (2x)^4 +4\cdot (2x)^3\cdot 3+6 \cdot (2x)^2\cdot 3^2+4 \cdot 2x\cdot 3^3 + 3^4 \\[2ex] & = 16x^4 +4\cdot 8x^3\cdot 3+6 \cdot 4x^2\cdot 9+4 \cdot 2x\cdot 27 + 81\\[2ex] & = \bm{16x^4 +96x^3+216x^2+216x + 81}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned} (x-4)^4 & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 4^2-4 \cdot x\cdot 4^3 + 4^4 \\[2ex] & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 16-4 \cdot x\cdot 64 + 256 \\[2ex] & = \bm{x^4 -16 x^3+96x^2-256x + 256}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned} (x^2+y)^4 & = \left(x^2\right)^4 +4\cdot \left(x^2\right)^3\cdot y+6 \cdot \left(x^2\right)^2\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & =x^8 +4\cdot x^6\cdot y+6 \cdot x^4\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & = \bm{x^8 +4x^6y+6 x^4 y^2+4x^2y^3 + y^4}\end{aligned}$

Pasangkan di urutan keempat