Persamaan vektor garis

Di halaman ini Anda akan menemukan cara menghitung persamaan vektor garis. Selain itu, Anda akan dapat melihat beberapa contoh dan latihan dengan latihan yang telah diselesaikan. Dan Anda juga akan menemukan bagaimana titik-titik suatu garis diperoleh dari persamaan vektornya.

Apa persamaan vektor garis tersebut?

Ingatlah bahwa definisi matematis garis adalah sekumpulan titik berurutan yang direpresentasikan dalam arah yang sama tanpa kurva atau sudut.

Jadi, persamaan vektor garis adalah cara untuk menyatakan garis apa pun secara matematis. Dan untuk itu yang diperlukan hanyalah sebuah titik yang termasuk dalam garis dan vektor arah garis tersebut.

Bagaimana cara menghitung persamaan vektor garis?

Ya

\vv{\text{v}}

adalah vektor arah garis dan

P

suatu titik yang berada di sebelah kanan:

\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P_1,P_2)

Rumus persamaan vektor garis adalah:

(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)

Emas:

  • x

    Dan

    y

    adalah koordinat kartesius dari setiap titik pada garis.

  • P_1

    Dan

    P_2

    adalah koordinat titik yang diketahui yang merupakan bagian dari garis.

  • \text{v}_1

    Dan

    \text{v}_2

    adalah komponen vektor arah garis.

  • t

    adalah skalar (bilangan real) yang nilainya bergantung pada setiap titik pada garis.

persamaan vektor garis 4 yang

Ini adalah persamaan vektor garis pada bidang, yaitu ketika bekerja dengan titik dan vektor 2 koordinat (dalam R2). Namun, jika kita melakukan perhitungan dalam ruang (dalam R3), kita harus menambahkan komponen tambahan pada persamaan garis:

(x,y,z)=(P_1,P_2,P_3)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2,\text{v}_3)

Di sisi lain, perlu diingat bahwa selain persamaan vektor, ada cara lain untuk menyatakan garis secara analitis: persamaan parametrik, persamaan kontinu, persamaan implisit (atau umum), persamaan eksplisit, dan persamaan titik-kemiringan suatu garis. . Anda dapat melihat semua jenis persamaan pada baris di tautan ini.

Contoh cara mencari persamaan vektor garis

Mari kita lihat bagaimana persamaan vektor garis ditentukan dengan menggunakan contoh:

  • Tuliskan persamaan vektor garis yang melalui titik tersebut

    P

    dan memiliki

    \vv{\text{v}}

    sebagai vektor pemandu:

\vv{\text{v}}= (1,2) \qquad P(3,0)

Untuk mencari persamaan vektor garis, cukup terapkan rumusnya:

(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)

(x,y)=(3,0)+t\cdot (1,2)

Mendapatkan poin dari persamaan vektor garis

Setelah kita menemukan persamaan vektor suatu garis, sangatlah mudah untuk menghitung titik-titik yang dilalui garis tersebut. Untuk menentukan suatu titik pada suatu garis , cukup berikan nilai pada parameternya

\bm{t}

dari persamaan vektor garis.

Misalnya diberikan persamaan vektor garis berikut:

(x,y)=(1,-1)+t\cdot (2,3)

Sebuah poin dicetak dengan mengganti

t

dengan nomor berapa pun, misalnya

t=1:

\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+1\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(2,3) \\[2ex] & = (1+2 \ , -1+3) \\[2ex] & = \bm{(3,2)} \end{aligned}

Dan kita dapat menghitung titik lain pada garis yang memberikan hal yang tidak diketahui

t

nomor yang berbeda, misalnya

t=2:

\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+2\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(4,6) \\[2ex] & = (1+4 \ , -1+6) \\[2ex] & = \bm{(5,5)} \end{aligned}

Oleh karena itu, kita dapat memperoleh banyak titik pada garis yang tak terhingga, karena variabelnya

t

dapat mengambil nilai tak terhingga.

Menyelesaikan masalah persamaan vektor garis

Latihan 1

Tentukan persamaan vektor garis yang melalui titik tersebut

P

dan vektor arahnya adalah

\vv{\text{v}}:

P(-1,3) \qquad \vv{\text{v}}=(4,-2)

Untuk menghitung persamaan vektor garis, cukup terapkan rumusnya:

(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)

(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)

Latihan 2

Hitung tiga titik yang berada pada garis dari soal sebelumnya.

Untuk memperoleh titik dari suatu garis yang dijelaskan dengan persamaan vektor, nilai parameter harus diberikan

t.

Persamaan vektor yang dihitung pada soal sebelumnya adalah:

(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)

Untuk menghitung suatu titik, kita mengganti titik yang tidak diketahui

t

misalnya oleh

t=1:

\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+1\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (4,-2) \\[2ex] & = (-1+4 \ , 3-2) \\[2ex] & = \bm{(3,1)} \end{aligned}

Untuk menemukan poin kedua kami berikan

t

misalnya nilai

t=2:

\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+2\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (8,-4) \\[2ex] & = (-1+8 \ , 3-4) \\[2ex] & = \bm{(7,-1)} \end{aligned}

Dan terakhir, kita memperoleh poin ketiga dengan menugaskan

t

nilai dari

t=3:

\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+3\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (12,-6) \\[2ex] & = (-1+12 \ , 3-6) \\[2ex] & = \bm{(11,-3)} \end{aligned}

Anda mungkin mendapatkan poin yang berbeda-beda, karena bergantung pada nilai yang Anda berikan pada parameternya

t.

Namun jika Anda mengikuti prosedur yang sama, semuanya baik-baik saja.

Latihan 3

Atau dua poin:

A(5,1) \qquad B(3,-2)

Tentukan persamaan vektor garis yang melalui kedua titik tersebut.

Dalam hal ini kita tidak mempunyai vektor arah garis, kita harus mencari vektor arahnya terlebih dahulu kemudian persamaan garisnya.

Jadi untuk mencari vektor arah garis kita harus menghitung vektor yang ditentukan oleh dua titik tertentu:

\vv{AB}=B-A= (3,-2)- (5,1) = (-2,-3)

Dan setelah kita mengetahui vektor arah garis tersebut, kita dapat menentukan persamaan vektornya dari salah satu titik yang diberikan dan rumusnya:

(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)

(x,y)=(5,1)+t\cdot (-2,-3)

Persamaan yang ditemukan dengan memasukkan titik lain ke dalam rumus juga valid:

(x,y)=(3,-2)+t\cdot (-2,-3)

Tinggalkan Komentar

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

Scroll to Top