Persamaan parametrik garis

Di halaman ini Anda akan menemukan cara menghitung persamaan parametrik garis apa pun, baik dari suatu titik dan vektor, atau dari dua titik. Anda juga akan menemukan cara memperoleh titik-titik berbeda pada suatu garis dengan persamaan parametriknya. Dan terlebih lagi, Anda akan dapat melihat beberapa contoh dan berlatih dengan latihan yang telah diselesaikan.

Cara mencari persamaan parametrik suatu garis

Untuk menentukan persamaan parametrik suatu garis, Anda hanya memerlukan vektor arahnya dan sebuah titik yang termasuk dalam garis tersebut.

$\vv{\text{v}}$

adalah vektor arah garis dan

$P$

suatu titik yang berada di sebelah kanan:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

Rumus persamaan parametrik garis adalah:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Emas:

$x$

Dan

$y$

adalah koordinat Cartesius dari setiap titik pada garis.
$P_1$

Dan

$P_2$

adalah koordinat titik yang diketahui yang merupakan bagian dari garis.
$\text{v}_1$

Dan

$\text{v}_2$

adalah komponen vektor arah garis.
$t$

adalah skalar (bilangan real) yang nilainya bergantung pada setiap titik pada garis.

Oleh karena itu, persamaan parametrik merupakan salah satu cara untuk menyatakan suatu garis secara analitis.

Ini adalah persamaan parametrik garis pada bidang, yaitu ketika bekerja dengan titik dan vektor dengan 2 koordinat (dalam R2). Namun, jika kita melakukan perhitungan dalam ruang (dalam R3), kita perlu menambahkan persamaan tambahan untuk komponen ketiga Z:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \\[1.7ex] z=P_3+t\cdot\text{v}_3\end{cases}$

Di sisi lain, perlu diingat bahwa selain persamaan parametrik, ada cara lain untuk mendeskripsikan garis secara matematis: persamaan vektor, persamaan kontinu, persamaan implisit (atau umum), persamaan eksplisit, dan persamaan titik-kemiringan dari Aline. Anda dapat memeriksa masing-masingnya di situs web kami.

Contoh penentuan persamaan parametrik garis

Sekarang mari kita lihat cara mencari persamaan parametrik suatu garis menggunakan contoh:

Tuliskan persamaan parametrik garis yang melalui titik tersebut
$P$

dan memiliki

$\vv{\text{v}}$

sebagai vektor pemandu:

$\vv{\text{v}}= (3,-2) \qquad P(4,1)$

Untuk menghitung persamaan parametrik garis, kita perlu menerapkan rumusnya:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Oleh karena itu, kita substitusikan koordinat titik dan vektor arah ke dalam rumus:

$\displaystyle \begin{cases} x=4+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=1+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=4+3t \\[1.7ex] y=1-2t \end{cases}$

Mendapatkan poin dari persamaan garis parametrik

Setelah kita menemukan persamaan parametrik garis, sangatlah mudah untuk menghitung titik-titik yang dilalui garis tersebut. Untuk menentukan suatu titik pada suatu garis , Anda harus memberikan nilai pada parameternya

$\bm{t}$

persamaan parametrik garis.

Misalnya, diberikan persamaan parametrik garis berikut:

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t \\[1.7ex] y=-1+3t \end{cases}$

Kita dapat memperoleh suatu titik pada garis tersebut dengan melakukan penggantian

$t$

dengan nomor berapa pun, misalnya

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+1= 3 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 1=2 \end{cases}$

$\bm{A(3,2)}$

Dan kita dapat menghitung titik lain pada garis tersebut jika kita mengganti variabelnya

$t$

dengan nomor yang berbeda, misalnya

$t=2:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+2= 4 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 2=5 \end{cases}$

$\bm{B(4,5)}$

Oleh karena itu, kita dapat memperoleh banyak titik pada garis yang tak terhingga, karena variabelnya

$t$

dapat mengambil nilai tak terhingga.

Cara menghitung persamaan parametrik garis dari dua titik

Masalah umum lainnya dengan persamaan parametrik adalah persamaan tersebut memberi kita 2 titik yang termasuk dalam garis dan dari titik tersebut kita harus menghitung persamaan parametrik. Mari kita lihat bagaimana penyelesaiannya melalui sebuah contoh:

Tentukan persamaan parametrik garis yang melalui dua titik berikut:

$A(2,4) \qquad B(5,-3)$

Seperti yang kita lihat pada bagian di atas, untuk mencari persamaan parametrik suatu garis, kita memerlukan vektor arahnya dan sebuah titik di atasnya. Kita sudah mempunyai sebuah titik di sebelah kanan, namun kita kehilangan vektor arahnya. Jadi pertama-tama kita perlu menghitung vektor arah garis dan kemudian persamaan parametriknya .

Untuk mencari vektor arah garis, cukup hitung vektor yang ditentukan oleh dua titik yang diberikan dalam persamaan:

$\vv{AB} = B - A = (5,-3) - (2,4) = (3,-7)$

Dan setelah kita juga mengetahui vektor arah garis, untuk mencari persamaan parametriknya kita hanya perlu menerapkan rumus:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=4+t\cdot(-7) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+3t \\[1.7ex] y=4-7t \end{cases}$

Dalam hal ini kita mengambil titik A untuk mendefinisikan persamaan parametrik, tetapi juga benar untuk menuliskannya dengan titik lain yang diberikan pada pernyataan tersebut:

$\displaystyle \begin{cases} x=5+3t \\[1.7ex] y=-3-7t \end{cases}$

Menyelesaikan masalah persamaan parametrik garis

Latihan 1

Temukan persamaan parametrik garis yang vektor arahnya adalah

$\vv{\text{v}}$

dan melewati titik tersebut

$P:$

$\vv{\text{v}}= (-1,-2) \qquad P(5,0)$

lihat solusi

Untuk mencari persamaan parametrik garis, cukup terapkan rumusnya:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=0+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5-t \\[1.7ex] y=-2t \end{cases}$

Latihan 2

Hitung dua titik berbeda pada garis berikut yang ditentukan oleh persamaan parametrik:

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5t \\[1.7ex] y=-4-3t \end{cases}$

lihat solusi

Untuk memperoleh titik dari suatu garis yang dinyatakan dengan persamaan parametrik, nilai parameter harus diberikan

$t.$

Oleh karena itu, untuk menghitung titik pertama, kita mengganti titik yang tidak diketahui

$t$

misalnya oleh

$t=0:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 0 = 1 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 0 = -4 \end{cases}$

$\bm{A(1,-4)}$

Dan untuk mencari titik kedua pada garis tersebut kami berikan

$t$

misalnya nilai

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 1 = 6 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 1 = -7 \end{cases}$

$\bm{B(6,-7)}$

Anda mungkin mendapatkan poin yang berbeda-beda, karena bergantung pada nilai yang Anda berikan pada parameternya

$t.$

Namun jika Anda mengikuti prosedur yang sama, semuanya baik-baik saja.

Latihan 3

Mengingat hal berikut:

$P(3,-1)$

Tentukan apakah titik ini termasuk dalam garis berikut atau tidak:

$\displaystyle \begin{cases} x=-3+2t \\[1.7ex] y=1+2t \end{cases}$

lihat solusi

Untuk memeriksa apakah suatu titik termasuk dalam garis, Anda harus memasukkan koordinatnya ke dalam persamaan garis dan melihat apakah dalam setiap persamaan kita menemukan nilai parameter yang sama.

$t.$

Dalam kasus seperti ini, berarti titik tersebut merupakan bagian dari garis, jika tidak maka berarti garis tidak melalui titik tersebut.

Jadi, kita substitusikan koordinat titik ke dalam persamaan parametrik garis:

$\displaystyle \begin{cases} 3=-3+2t \\[1.7ex] -1=1+2t \end{cases}$

Dan kami menyelesaikan dua persamaan yang dihasilkan:

koordinat X

$3 = -3 +2t$

$3+3 = 2t$

$6=2t$

$\cfrac{6}{2}=t$

$3=t$

koordinat Y

$-1 = 1 +2t$

$-1-1 = 2t$

$-2=2t$

$\cfrac{-2}{2}=t$

$-1=t$

Kami memperoleh dua nilai

$t$

berbeda, jadi intinya tidak dipertaruhkan.

Latihan 4

Hitung persamaan parametrik garis yang melalui dua titik berikut:

$A(-1,4) \qquad B(-2,4)$

lihat solusi

Untuk menghitung persamaan parametrik suatu garis, kita perlu mengetahui vektor arahnya dan salah satu titiknya. Dalam kasus ini, kita sudah mempunyai sebuah titik pada garis, namun kita kehilangan vektor arahnya. Oleh karena itu, pertama-tama kita harus menghitung vektor arah garis, kemudian persamaan parametriknya.

Untuk mencari vektor arah garis, cukup hitung vektor yang ditentukan oleh dua titik yang diberikan dalam persamaan:

$\vv{AB} = B - A = (-2,4) - (-1,4) = (-1,0)$

Dan setelah kita mengetahui vektor arah garis, untuk mencari persamaan parametriknya kita cukup menerapkan rumus:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=4+t\cdot 0 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

Dalam hal ini kita telah memilih titik A untuk mendefinisikan persamaan parametrik, tetapi juga sah untuk menuliskannya dengan titik lain yang diberikan pada pernyataan tersebut:

$\displaystyle \begin{cases} x=-2-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

Penerapan persamaan parametrik

Jelasnya, kegunaan utama persamaan parametrik adalah untuk mendefinisikan garis, seperti yang telah kita lihat. Namun, persamaan parametrik juga digunakan untuk mendeskripsikan jenis elemen geometris lainnya.

Misalnya, keliling apa pun dapat dinyatakan dengan persamaan parametrik. Ya

$r$

adalah jari-jari lingkaran dan

$C(x_0,y_0)$

adalah koordinat pusatnya, parameterisasi lingkaran adalah:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+r\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+r\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

Demikian pula, elips juga dapat dikonfigurasi. Ya

$C(x_0,y_0)$

adalah koordinat pusat elips,

$a$

radius horizontalnya dan

$b$

radius vertikalnya, persamaan parametrik elips adalah:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+a\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+b\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

Demikian pula representasi parametrik kurva lain dapat dibuat, seperti parabola atau bahkan hiperbola. Meskipun kami tidak menampilkannya di artikel ini karena jauh lebih rumit.

Akhirnya, suatu rencana juga dapat didefinisikan dengan ekspresi parametrik. Faktanya, persamaan parametrik sebuah bidang adalah:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+\lambda\cdot \text{u}_1 + \mu \cdot \text{v}_1 \\[1.7ex] y=y_0+\lambda\cdot \text{u}_2 + \mu \cdot \text{v}_2 \\[1.7ex] z=z_0+\lambda\cdot \text{u}_3 + \mu \cdot \text{v}_3 \end{cases}$