Persamaan garis kontinu

Di halaman ini Anda akan menemukan segala sesuatu tentang persamaan garis kontinu: apa artinya, cara menghitung titik dan vektornya, serta cara menentukannya hanya dengan dua titik. Selain itu, Anda akan dapat melihat beberapa contoh dan bahkan berlatih dengan latihan dan masalah yang diselesaikan langkah demi langkah.

Apa persamaan garis kontinu?

Ingatlah bahwa definisi matematis garis adalah sekumpulan titik berurutan yang direpresentasikan dalam arah yang sama tanpa kurva atau sudut.

Jadi, persamaan garis kontinu adalah cara untuk menyatakan garis apa pun secara matematis. Dan untuk itu cukup mengetahui titik yang termasuk dalam garis dan vektor arah garis tersebut.

Bagaimana cara menghitung persamaan garis kontinu?

$\vv{\text{v}}$

adalah vektor arah garis dan

$P$

suatu titik yang berada di sebelah kanan:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

Rumus persamaan garis kontinu adalah:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

Emas:

$x$

Dan

$y$

adalah koordinat Cartesius dari setiap titik pada garis.
$P_1$

Dan

$P_2$

adalah koordinat titik yang diketahui yang merupakan bagian dari garis.
$\text{v}_1$

Dan

$\text{v}_2$

adalah komponen vektor arah garis.

Rumus ini untuk persamaan kontinu garis pada bidang, yaitu bila bekerja dengan titik dan vektor 2 koordinat (dalam R2). Namun jika kita melakukan perhitungan dalam ruang (dalam R3), kita harus menambahkan komponen tambahan pada persamaan garis:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}= \cfrac{z-P_3}{\text{v}_3}$

Di sisi lain, perlu diingat bahwa selain persamaan kontinu, ada cara lain untuk menyatakan garis secara analitis: persamaan vektor, persamaan parametrik, persamaan implisit (atau umum), persamaan eksplisit, dan persamaan titik-kemiringan dari Aline. Anda dapat memeriksa apa itu di situs web kami.

Faktanya, persamaan kontinu suatu garis dapat diperoleh dari persamaan parametriknya. Perhatikan rumus persamaan parametrik pada garis :

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Jika kita menghapus pengaturannya

$t$

dari setiap persamaan parametrik kita memperoleh:

$t =\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}}$

$t =\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}}$

Dengan menyamakan kedua persamaan yang dihasilkan, kita memperoleh persamaan garis kontinu:

$t= t$

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

Contoh cara mencari persamaan garis kontinu

Mari kita lihat bagaimana persamaan garis kontinu ditentukan dengan menggunakan contoh:

Tuliskan persamaan kontinu garis yang melalui titik tersebut
$P$

dan memiliki

$\vv{\text{v}}$

sebagai vektor pemandu:

$\vv{\text{v}}= (4,-2) \qquad P(-1,3)$

Untuk mencari persamaan garis kontinu, cukup terapkan rumusnya:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-(-1)}{4}=\cfrac{y-3}{-2}$

$\cfrac{x+1}{4}=\cfrac{y-3}{-2}$

Cara mencari persamaan garis kontinu dari dua titik

Masalah umum pada persamaan kontinu adalah persamaan tersebut memberi kita 2 titik yang termasuk dalam garis dan dari titik tersebut kita perlu menghitung persamaan kontinu. Mari kita lihat bagaimana penyelesaiannya melalui sebuah contoh:

Tentukan persamaan garis kontinu yang melalui dua titik berikut:

$A(1,5) \qquad B(3,-4)$

Seperti yang kita lihat pada bagian di atas, untuk menghitung persamaan kontinu suatu garis, kita perlu mengetahui vektor arahnya dan sebuah titik di atasnya. Kita sudah mempunyai sebuah titik di sebelah kanan, namun kita kehilangan vektor arahnya. Oleh karena itu, pertama-tama kita harus menghitung vektor arah garis dan kemudian persamaan kontinunya .

Untuk menentukan vektor arah garis, cukup hitung vektor yang ditentukan oleh dua titik yang diberikan dalam persamaan:

$\vv{AB} = B - A = (3,-4) - (1,5) = (2,-9)$

Dan setelah kita mengetahui vektor arah garis, maka untuk mencari persamaan kontinuitas garis kita tinggal menerapkan rumus:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-1}{2}=\cfrac{y-5}{-9}$

Dalam hal ini kita mengambil titik A untuk mendefinisikan persamaan garis kontinu, tetapi juga benar untuk menuliskannya dengan titik lain yang diberikan kepada kita dalam pernyataan:

$\cfrac{x-3}{2}=\cfrac{y+4}{-9}$

Menyelesaikan masalah persamaan garis kontinu

Latihan 1

Temukan persamaan kontinu garis yang vektor arahnya adalah

$\vv{\text{v}}$

dan melewati titik tersebut

$P:$

$\vv{\text{v}}= (5,-4) \qquad P(2,-1)$

lihat solusi

Untuk mencari persamaan garis kontinu, cukup terapkan rumusnya:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-2}{5}=\cfrac{y-(-1)}{-4}$

$\cfrac{x-2}{5}=\cfrac{y+1}{-4}$

Latihan 2

Tentukan vektor arah dan titik pada garis berikut:

$\cfrac{x-1}{6}=\cfrac{y+4}{-5}$

lihat solusi

Garis pada pernyataan dinyatakan dalam bentuk persamaan kontinu yang rumusnya adalah:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

Sehingga komponen vektor arah garis sesuai dengan penyebut pecahan:

$\vv{\text{v}} = (6,-5)$

Dan koordinat Kartesius suatu titik pada garis tersebut adalah banyaknya pembilang yang tandanya diubah :

$P(1,-4)$

Latihan 3

Tentukan persamaan garis kontinu yang melalui dua titik berikut:

$A(2,-2) \qquad B(8,3)$

lihat solusi

Untuk menghitung persamaan kontinu suatu garis, kita perlu mengetahui vektor arahnya dan salah satu titiknya. Dalam kasus ini, kita sudah mempunyai sebuah titik pada garis, namun kita kehilangan vektor arahnya. Oleh karena itu, pertama-tama kita harus menghitung vektor arah garis dan kemudian persamaan lanjutannya.

Untuk mencari vektor arah garis, cukup hitung vektor yang ditentukan oleh dua titik yang diberikan dalam persamaan:

$\vv{AB} = B - A = (8,3) - (2,-2) = (6,5)$

Dan setelah kita mengetahui vektor arah garis tersebut, untuk mencari persamaan kontinunya kita cukup menerapkan rumus:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-2}{6}=\cfrac{y+2}{5}$

Dalam hal ini kita telah memilih titik A untuk mendefinisikan persamaan kontinu, tetapi juga sah untuk menuliskannya dengan titik lain yang diberikan dalam pernyataan:

$\cfrac{x-8}{6}=\cfrac{y-3}{5}$

Latihan 4

Mengingat hal berikut:

$P(0,3)$

Tentukan apakah garis tersebut termasuk dalam garis yang ditentukan oleh persamaan kontinu berikut:

$\cfrac{x+2}{2}=\cfrac{y-3}{-4}$

lihat solusi

Untuk memeriksa apakah suatu titik termasuk dalam garis, Anda harus memasukkan koordinat titik tersebut ke dalam persamaan garis. Jika suatu titik memenuhi persamaan berarti titik tersebut benar-benar termasuk dalam garis, sebaliknya jika persamaan tidak memenuhi berarti titik tersebut bukan merupakan bagian dari garis.

Oleh karena itu, kita substitusikan koordinat titik tersebut ke dalam persamaan garis yang diberikan:

$\cfrac{0+2}{2}=\cfrac{3-3}{-4}$