Jarak antara dua bidang (rumus)

Di halaman ini Anda akan menemukan cara mencari jarak antara dua bidang. Anda akan melihat khususnya dua metode yang ada dan kapan lebih baik menggunakan salah satu metode tersebut. Selain itu, Anda juga memiliki contoh dan penyelesaian latihan jarak antara dua bidang sehingga Anda dapat memahaminya dengan baik.

Bagaimana cara menghitung jarak antara dua bidang?

Jarak antara dua bidang di ruang angkasa bergantung pada posisi relatif antara kedua bidang tersebut:

Jika kedua bidang berpotongan atau berimpit maka jarak keduanya adalah nol karena berpotongan di suatu titik.
Jika kedua bidang sejajar , jarak antara kedua bidang dihitung dengan mengambil sebuah titik pada salah satu bidang dan menghitung jarak antara titik tersebut dengan bidang lainnya.

Ingatlah bahwa bidang yang tegak lurus merupakan jenis bidang yang berpotongan, sehingga jarak antara dua bidang yang tegak lurus juga sama dengan nol.

Jadi, untuk menghitung jarak antara dua bidang, Anda harus terlebih dahulu menentukan posisi relatif antara keduanya dan oleh karena itu, penting bagi Anda untuk mengetahui cara mencari posisi relatif dua bidang . Jika Anda tidak sepenuhnya paham tentang cara melakukannya, kami sarankan Anda melihat tautannya, di mana Anda akan menemukan penjelasan yang sangat rinci serta contoh dan latihan yang diselesaikan.

Cara menghitung jarak antara dua bidang sejajar

Dua bidang sejajar selalu berjarak sama satu sama lain. Oleh karena itu, untuk mencari jarak antara dua bidang sejajar, kita dapat mengambil sebuah titik pada salah satu bidang tersebut dan menghitung jarak dari titik tersebut ke bidang lainnya.

Jadi rumus menghitung jarak antara dua bidang sejajar adalah:

Pertimbangkan dua bidang sejajar, diberi sebuah titik pada salah satu bidang dan persamaan umum (atau implisit) dari bidang lainnya:

$P(x_0,y_0,z_0) \qquad \qquad \pi: \ Ax+By+Cz+D=0$

Rumus mencari jarak antara dua bidang sejajar yang melalui titik pada bidang yang satu dan persamaan umum bidang yang lain adalah:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Ini adalah rumus yang digunakan untuk mencari jarak antara dua bidang sejajar. Namun, terkadang kita dapat menggunakan metode lain yang lebih sederhana:

Koefisien A, B dan C dari persamaan implisit (atau umum) dari dua bidang harus proporsional. Nah, jika dalam suatu soal kita menemukan dua bidang yang koefisien A, B, dan Cnya sama persis, kita bisa menggunakan rumus lain tanpa perlu mengetahui titik mana pun pada bidang mana pun:

Perhatikan persamaan umum (atau implisit) dari dua bidang sejajar dengan koefisien identik A, B dan C :

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D_1=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ Ax+By+Cz+D_2=0$

Rumus mencari jarak dua bidang sejajar dari persamaan umum kedua bidang adalah:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Pada akhirnya, ada dua cara untuk mencari jarak antara dua bidang sejajar. Yang pertama lebih berguna ketika kita mengetahui suatu titik pada salah satu dari dua bidang. Namun jika kita mengetahui persamaan umum kedua bidang tersebut, ada baiknya menghitung jarak dengan rumus kedua.

Contoh penghitungan jarak antara dua bidang sejajar

Sebagai contoh, kita akan menghitung jarak antara dua bidang berikut:

$\pi_1 : \ 4x-2y-4z+7=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 8x-4y-8z+2=0$

Pertama-tama kita harus memverifikasi bahwa kita berhadapan dengan dua bidang paralel. Jadi, semua koefisien persamaan bidang adalah proporsional kecuali suku-suku bebasnya, sehingga keduanya merupakan dua bidang sejajar.

$\cfrac{4}{8}=\cfrac{-2}{-4}=\cfrac{-4}{-8}\neq \cfrac{7}{2} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

Dalam hal ini, suku A, B, dan C persamaan kedua bidang tidak berhimpitan, tetapi kita dapat mencapainya dengan membagi seluruh persamaan bidang kedua dengan dua:

$\pi_2 : \ \cfrac{8x-4y-8z+2}{2}=\cfrac{0}{2}$

$\pi_2 : \ 4x-2y-4z+1=0$

Jadi persamaan kedua bidang tersebut sekarang sudah mempunyai koefisien A, B dan C yang sama. Oleh karena itu, kita dapat dengan mudah menghitung jarak kedua bidang tersebut dengan rumus jarak antara 2 bidang sejajar berikut ini:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Kami mengganti nilainya dan menyelesaikan operasi:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 1-7\rvert}{\sqrt{4^2+(-2)^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert -6\rvert}{\sqrt{36}} = \cfrac{6}{6} = \bm{1}$

Sehingga jarak antara satu bidang dengan bidang lainnya sama dengan satu kesatuan.

Memecahkan masalah jarak antara dua bidang

Latihan 1

Tentukan jarak antara dua bidang berikut:

$\pi_1 : \ 2x-y+5z-3=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 2x-y+5z-7=0$

lihat solusi

Pertama-tama kita harus memverifikasi bahwa kita berhadapan dengan dua bidang paralel. Semua koefisien persamaan kedua bidang adalah proporsional, kecuali suku-suku bebasnya, jadi kedua bidang tersebut memang sejajar.

$\cfrac{2}{2}=\cfrac{-1}{-1}=\cfrac{5}{5} \neq \cfrac{-3}{-7} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

Dalam hal ini, kita akan menghitung jarak antara dua bidang dengan rumus garis lurus, karena koefisien A, B dan C sama:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Jadi, kami mengganti nilainya ke dalam rumus dan melakukan operasi:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert -7-3\rvert}{\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}}= \cfrac{\lvert -10\rvert}{\sqrt{30}} = \cfrac{\bm{10}}{\bm{\sqrt{30}}}$

Latihan 2

Hitunglah jarak antara dua bidang berikut:

$\pi_1 : \ 3x-2y+6z+4=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 6x-4y+3z+1=0$

lihat solusi

Pertama-tama, kita harus memverifikasi bahwa keduanya adalah dua bidang sejajar untuk menentukan jarak yang memisahkan keduanya. Untuk melakukan ini, kami memeriksa proporsionalitas antara koefisien kedua bidang:

$\cfrac{3}{6}=\cfrac{-2}{-4}\neq\cfrac{6}{3} \neq \cfrac{4}{1} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \ \cancel{\parallel} \ \pi_2$

Namun koefisien A, B, dan C kedua bidang tersebut tidak sebanding, hanya parameter A dan B. Oleh karena itu, kedua bidang tersebut tidak sejajar melainkan berpotongan sehingga jarak antara keduanya sama dengan 0:

$\bm{d(\pi_1,\pi_2)=0}$

Latihan 3

Tentukan jarak antara dua bidang sejajar berikut:

$\pi_1 : \ \begin{cases} x=3+4\lambda-2 \mu \\[1.7ex]y=-2+\lambda+6 \mu \\[1.7ex]z=5-\lambda+3 \mu \end{cases}\qquad \qquad \pi_2 : \ 3x+2y-2z-9=0$

lihat solusi

Bidang latar depan didefinisikan dalam bentuk persamaan parametrik, sehingga untuk menerapkan rumus garis lurus jarak antara dua bidang sejajar terlebih dahulu kita perlu mengubahnya ke dalam bentuk persamaan umum dan ini memerlukan banyak perhitungan dan waktu. Oleh karena itu, akan lebih cepat jika kita mengambil suatu titik pada bidang tersebut dan menghitung jarak dari titik tersebut ke bidang lainnya.

Jadi, koordinat suatu titik yang termasuk dalam bidang π ₁ sesuai dengan suku-suku independen dari setiap persamaan parametrik:

$P(3,-2,5)$