Hasil kali penjumlahan dengan selisih (identitas luar biasa)

Di halaman ini Anda akan menemukan rumus hasil kali jumlah dan selisihnya. Selain itu, Anda akan dapat melihat contoh penerapan rumus tipe identitas yang luar biasa ini, dan Anda bahkan dapat berlatih dengan latihan yang diselesaikan langkah demi langkah.

Berapakah hasil penjumlahan dan selisihnya?

Dalam matematika, pengertian hasil kali jumlah dengan selisih mengacu pada salah satu persamaan penting , disebut juga identitas penting atau hasil kali penting.

Lebih tepatnya, ekspresi hasil kali jumlah dengan selisihnya berbentuk (a+b)·(ab) , dengan (a+b) merupakan jumlah dari dua suku yang berbeda, dan (ab) adalah selisihnya dari dua istilah yang sama ini.

Rumus hasil kali jumlah dengan selisih

Sekarang setelah kita mengetahui definisi matematis dari hasil kali jumlah dan selisihnya, mari kita lihat rumus apa yang digunakan untuk menyelesaikan jenis identitas luar biasa ini:

Oleh karena itu, hasil kali jumlah dikalikan selisih dua suku sama dengan selisih kuadrat suku-suku tersebut . Dengan kata lain, mengalikan jumlah dua suku berbeda dengan pengurangan dua suku yang sama sama dengan mengkuadratkan kedua suku tersebut dan mengurangkannya.

Artinya, selisih kuadrat dapat difaktorkan menjadi hasil kali jumlah dan selisihnya. Meskipun sekarang mungkin tampak rumit bagi Anda, pada halaman tertaut kami menjelaskan trik yang memungkinkan Anda memfaktorkan polinomial jenis ini dalam dua langkah sederhana. Klik dan cari tahu cara melakukannya.

Contoh hasil kali penjumlahan dengan selisih

Setelah kita mengetahui rumus hasil perkalian jumlah dan selisihnya, selanjutnya kita akan melihat beberapa contoh penyelesaian sehingga Anda dapat lebih memahami cara penyelesaian jenis persamaan yang luar biasa ini.

Contoh 1

Hitung, dengan menerapkan rumus, hasil kali penjumlahan berikut dengan selisih dua suku berbeda:

$(x+2)\cdot (x-2)$

Rumus hasil kali jumlah dan selisihnya adalah sebagai berikut:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

Jadi hal pertama yang perlu kita lakukan adalah mengidentifikasi nilai parameter

$a$

Dan

$b$

dari rumus tersebut. Pada kasus ini

$a$

sesuai dengan variabelnya

$x$

Dan

$b$

sesuai dengan nomor 2.

$\left. \begin{array}{l} (a+b)\cdot (a-b) \\[2ex] (x+2)\cdot (x-2) \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=2 \end{array}$

Dan sekarang kita tahu nilai apa yang diambil parameternya

$a$

Dan

$b,$

Kita dapat menerapkan rumus perkalian jumlah dengan selisihnya:

Seperti yang Anda lihat, hasil kali suatu jumlah dengan selisih akan selalu menghasilkan suku negatif. Namun, hal ini tidak sama dengan identitas kuadrat pengurangan yang luar biasa. Jika Anda ragu, kami sarankan Anda melihat apa rumus kuadrat selisih , di mana Anda juga akan mengetahui apa perbedaan antara dua identitas luar biasa ini.

Contoh 2

Temukan, dengan menggunakan rumus, hasil kali penjumlahan dengan selisih dua binomial berikut:

$(3x+5)\cdot (3x-5)$

Rumus hasil kali jumlah dan selisihnya adalah sebagai berikut:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

Oleh karena itu, dalam hal ini

$a=3x$

Dan

$b=5$

. Jadi jika kita menerapkan rumus jumlah dengan selisih, kita memperoleh ekspresi aljabar berikut:

$(3x+5)\cdot (3x-5) = (3x)^2-5^2 = 9x^2-25$

Contoh 3

Selesaikan dengan rumus hasil kali penjumlahan dengan selisih dua monomial berikut:

$(4x-2y)\cdot (4x+2y)$

Karena perkalian mempunyai sifat komutatif, mengalikan selisihnya terlebih dahulu lalu menjumlahkan dua besaran sama dengan mengalikan tanda kurung yang sama secara terbalik.

$(4x-2y)\cdot (4x+2y) = (4x+2y)\cdot (4x-2y)$

Oleh karena itu, walaupun dalam hal ini hasil perkaliannya dibalik yaitu sebelum penjumlahan menjadi pengurangan, namun hasilnya tetap sama dengan rumus:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

$(a-b)\cdot (a+b) =a^2-b^2$

Jadi dalam masalah ini

$a=4x$

Dan

$b=2y$

. Dan ketika kita telah mengidentifikasi nilai setiap hal yang tidak diketahui, kita dapat menggunakan rumus untuk menghitung hasil kali penting:

$(4x-2y)\cdot (4x+2y)= (4x)^2-(2y)^2 = 16x^2-4y^2$

Demonstrasi rumus penjumlahan dengan selisih

Rumus selisih kali jumlah yang baru saja kita pelajari dapat dengan mudah didemonstrasikan.

Jika kita memulai dari hasil perkalian suatu penjumlahan dengan pengurangan dua suku apa pun:

$(a+b)\cdot (a-b)$

Cukup kalikan tanda kurung pertama dengan tanda kurung kedua menggunakan sifat distributif:

$\begin{array}{l}(a+b)\cdot (a-b)= \\[2ex] = a\cdot a +a\cdot (-b) +b \cdot a +b\cdot (-b) =\\[2ex] = a^2 -ab+ba-b^2\end{array}$

Dan dengan mengelompokkan istilah-istilah serupa, kita sampai pada ungkapan berikut:

$a^2 -ab+ba-b^2=a^2-b^2$

Oleh karena itu, rumus untuk hasil perkalian jumlah-per-selisih yang terkenal diturunkan:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

Soal latihan untuk hasil kali penjumlahan dengan selisih

Di bawah ini kami telah menyiapkan beberapa latihan penjumlahan demi perbedaan yang diselesaikan selangkah demi selangkah sehingga Anda dapat berlatih. Latihan diurutkan dari yang paling sulit hingga yang paling sulit, jadi kami sarankan memulai dengan 1, dilanjutkan dengan 2, dan terakhir melakukan 3, mana yang paling sulit.

⬇⬇Juga jangan lupa bahwa Anda dapat meninggalkan kami pertanyaan apa pun yang muncul di komentar!⬇⬇

Latihan 1

Selesaikan perkalian penjumlahan dengan selisih berikut:

$\text{A)} \ (x+5)(x-5)$

$\text{B)} \ (2x+6)(2x-6)$

$\text{C)} \ (x+7)(x-7)$

$\text{D)} \ (x-4y)(x+4y)$

lihat solusi

$\text{A)} \ \begin{array}{l}(x+5)(x-5) = \\[2ex] =x^2-5^2=\\[2ex] = \bm{x^2-25}\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}(2x+6)(2x-6) = \\[2ex] =(2x)^2-6^2=\\[2ex] = \bm{4x^2-36}\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}(x+7)(x-7) = \\[2ex] =x^2-7^2=\\[2ex] = \bm{x^2-49}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l}(x-4y)(x+4y) = \\[2ex] =(x+4y)(x-4y) =\\[2ex] =x^2-(4y)^2=\\[2ex] = \bm{x^2-16y^2}\end{array}$

Latihan 2

Nyatakan perkalian berikut sebagai selisih kuadrat:

$\text{A)} \ \left(x^2+10\right)\left(x^2-10\right)$

$\text{B)} \ \left(4x-5\right)\left(4x+5\right)$

$\text{C)} \ \left(8x^3+y^2\right)\left(8x^3-y^2\right)$

$\text{D)} \ \left(2x^3y+x^4y^2\right)\left(2x^3y-x^4y^2\right)$

lihat solusi

$\text{A)} \ \begin{array}{l}\left(x^2+10\right)\left(x^2-10\right) = \\[2ex] =\left(x^2\right)^2-10^2=\\[2ex] = \bm{x^4-100}\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\left(4x-5\right)\left(4x+5\right) = \\[2ex] =(4x)^2-5^2=\\[2ex] = \bm{16x^2-25}\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(8x^3+y^2\right)\left(8x^3-y^2\right) = \\[2ex] =\left(8x^3\right)^2-\left(y^2\right)^2=\\[2ex] = \bm{64x^6-y^4}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l}\left(2x^3y+x^4y^2\right)\left(2x^3y-x^4y^2\right) = \\[2ex] =\left(2x^3y\right)^2-\left(x^4y^2\right)^2 =\\[2ex] = \bm{4x^6y^2-x^8y^4}\end{array}$

Latihan 3

Selesaikan identitas penting berikut:

$\text{A)} \ \left(9x^3+\sqrt{5x}\right)\left(9x^3-\sqrt{5x}\right)$

$\text{B)} \ \displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{3}x\right)\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{3}x\right)$

$\text{C)} \ \left(6x^4+x^2+1\right)\left(6x^4-x^2-1\right)$

lihat solusi

Untuk menyelesaikan persamaan penting pertama, Anda harus ingat bahwa akar kuadrat disederhanakan:

$\text{A)} \ \begin{array}{l}\left(9x^3+\sqrt{5x}\right)\left(9x^3-\sqrt{5x}\right) = \\[2ex] =\left(9x^3\right)^2-\left(\sqrt{5x}\right)^2=\\[2ex] = \bm{81x^6-5x}\end{array}$

2 monomial yang dijumlahkan kedua dengan selisih memiliki koefisien pecahan, jadi kita harus menyelesaikan latihan ini menggunakan sifat-sifat pecahan:

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{3}x\right)\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{3}x\right) = \\[4ex] \displaystyle =\left(\frac{1}{2}x^2\right)^2-\left(\frac{5}{3}x\right)^2=\\[4ex] \displaystyle =\frac{1^2}{2^2}x^4-\frac{5^2}{3^2}x^2=\\[4ex]\displaystyle = \mathbf{\frac{1}{4}}\bm{x^4-}\mathbf{\frac{25}{9}}\bm{x^2} \end{array}$

Terakhir, persamaan terakhir yang penting agak istimewa karena di dalamnya terdapat hasil kali penting lainnya (kuadrat dari jumlah):

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(6x^4+x^2+1\right)\left(6x^4-x^2-1\right) = \\[2ex] = \left(6x^4+\left(x^2+1\right)\right)\left(6x^4-\left(x^2+1\right)\right)=\\[2ex]=\left(6x^4\right)^2-\left(x^2+1\right)^2=\\[2ex] =36x^8 - \left(x^4+2x^2+1\right)=\\[2ex] = \bm{36x^8 - x^4-2x^2-1}\end{array}$

Hasil kali jumlah dengan selisihnya (identitas luar biasa)

Berapakah hasil penjumlahan dan selisihnya?

Rumus hasil kali jumlah dengan selisih

Contoh hasil kali penjumlahan dengan selisih

Contoh 1

Contoh 2

Contoh 3

Demonstrasi rumus penjumlahan dengan selisih

Soal latihan untuk hasil kali penjumlahan dengan selisih

Latihan 1

Latihan 2

Latihan 3

Tinggalkan Komentar Batalkan Balasan