Posisi relatif dua bidang dalam ruang

Di halaman ini Anda akan menemukan semua kemungkinan posisi relatif dua bidang (bidang kering, sejajar, atau berhimpitan). Anda juga akan menemukan bagaimana posisi relatif antara dua bidang dihitung dan, sebagai tambahan, Anda akan dapat melihat contoh dan berlatih dengan latihan yang diselesaikan.

Berapakah posisi relatif dua bidang?

Dalam geometri analitik, hanya ada tiga kemungkinan posisi relatif antara dua bidang: bidang potong, bidang sejajar, dan bidang berimpit.

Bidang berpotongan : Dua bidang berpotongan jika hanya berpotongan pada satu garis.
Bidang sejajar : Dua bidang sejajar jika tidak berpotongan di titik mana pun.
Bidang-bidang yang bersinggungan : Dua bidang dikatakan berhimpitan jika kedua bidang tersebut mempunyai titik-titik yang sama.

pesawat yang berpotongan

posisi relatif dua bidang yang berpotongan

bidang paralel

pesawat yang kebetulan

kedudukan relatif dua bidang yang berhimpitan

Ada dua metode untuk mencari posisi relatif antara dua bidang: satu dari koefisien persamaan umum dua bidang dan yang lainnya dengan menghitung pangkat dua matriks. Berikut penjelasan masing-masing prosedurnya.

Cara menentukan posisi relatif dua bidang berdasarkan koefisien

Salah satu cara untuk mengetahui posisi relatif antara dua bidang adalah dengan menggunakan koefisien persamaan umum (atau implisit).

Pertimbangkan persamaan umum (atau implisit) dari dua bidang berbeda:

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D=0$

$\pi_2 : \ A'x+B'y+C'z+D'=0$

Posisi relatif antara dua bidang dalam ruang tiga dimensi (dalam R3) bergantung pada proporsionalitas koefisien atau parameternya:

posisi relatif dua bidang dengan parameter

Oleh karena itu, kedua bidang akan berpotongan jika salah satu koefisien A, B, atau C tidak sebanding dengan koefisien lainnya. Sebaliknya, kedua bidang akan sejajar jika hanya suku-suku independennya saja yang tidak proporsional. Dan terakhir, rencana tersebut akan bertepatan jika semua koefisien dari kedua persamaan tersebut sebanding.

Misalnya, mari kita hitung posisi relatif dua bidang berikut:

$\pi_1 : \ 6x-2y+4z+5=0$

$\pi_2 : \ -3x+y-2z+4=0$

Untuk mengetahui jenis pesawatnya, Anda perlu memeriksa koefisien mana yang sebanding:

$\cfrac{6}{-3} = \cfrac{-2}{1} =\cfrac{4}{-2} \neq \cfrac{5}{4}$

Koefisien A, B, dan C sebanding satu sama lain tetapi tidak sebanding dengan koefisien D, sehingga kedua bidang tersebut sejajar .

Cara menghitung posisi relatif dua bidang berdasarkan jarak

Cara lain untuk mengetahui posisi relatif dua bidang tertentu adalah dengan menghitung jangkauan dua matriks yang dibentuk oleh koefisien bidang tersebut.

Jadi, mari kita buat persamaan umum (atau implisit) dari dua bidang berbeda:

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D=0$

$\pi_2 : \ A'x+B'y+C'z+D'=0$

Kita menyebut A sebagai matriks yang terdiri dari koefisien A, B, dan C dari dua persamaan:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} A&B&C\\[1.1ex] A&B&C\end{pmatrix}$

Dan misalkan matriks A’ adalah matriks yang diperluas dengan semua koefisien kedua persamaan:

$\displaystyle A' =\begin{pmatrix} A&B&C&D\\[1.1ex] A&B&C&D'\end{pmatrix}$

Posisi relatif kedua bidang dapat diketahui berdasarkan rentang kedua matriks sebelumnya:

Bahwa posisi relatif bergantung pada pangkat kedua matriks ini dapat ditunjukkan dari toerem Rouche-Frobenius (teorema yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier). Namun pada halaman ini kami tidak akan melakukan demonstrasi karena tidak perlu diketahui dan juga tidak memberikan banyak manfaat.

Agar Anda dapat melihat cara melakukannya, kami akan menghitung posisi relatif antara dua bidang berikut:

$\pi_1 : \ 2x+3y-z+1=0$

$\pi_2 : \ 3x-4y+2=0$

Hal pertama yang harus dilakukan adalah membuat matriks A dan matriks perluasan A’ dengan koefisien persamaan kedua bidang:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} 2&3&-1\\[1.1ex] 3&-4&0\end{pmatrix} \qquad \qquad A' =\begin{pmatrix} 2&3&-1&1\\[1.1ex] 3&-4&0&2\end{pmatrix}$

Dan sekarang kita perlu menghitung rank masing-masing matriks. Pertama-tama kita mencari luas matriks A dengan determinannya:

$rg(A) = \ ?$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 3&-4\end{vmatrix} =-17\neq 0$

$rg(A) = 2$

Matriks A memuat submatriks berukuran 2×2 yang determinannya berbeda dengan nol, sehingga merupakan matriks berpangkat 2.

Di sisi lain, perlu juga menghitung rank matriks A’. Dan pangkat matriks A’ yang diperluas setidak-tidaknya akan selalu sama dengan pangkat matriks A, oleh karena itu, dalam kasus khusus ini pangkat matriks A’ juga sama dengan 2.

$rg(A') = 2$

Sehingga luasan kedua matriks tersebut ekuivalen dan bernilai 2, maka kedua bidang tersebut berpotongan .

Memecahkan masalah posisi relatif dua bidang

Latihan 1

Pelajari posisi relatif dua bidang berikut:

$\pi_1 : \ x+3y-2z-1=0$

$\pi_2 : \ 3x+9y-6z-3=0$

lihat solusi

Untuk menghitung posisi relatif antara dua bidang, kita akan melihat apakah koefisien persamaan kedua bidang sebanding:

$\cfrac{1}{3}= \cfrac{3}{9} =\cfrac{-2}{-6} = \cfrac{-1}{-3}$

Semua koefisien persamaan implisit kedua bidang tersebut sebanding satu sama lain, oleh karena itu keduanya merupakan dua bidang yang berhimpitan .

Latihan 2

Tentukan posisi relatif dua bidang berikut:

$\pi_1 : \ x+3y-z+6=0$

$\pi_2 : \ 2x+3y-2z+8=0$

lihat solusi

Untuk menentukan posisi relatif antara dua bidang, kita akan menganalisis proporsionalitas koefisien persamaannya:

$\cfrac{1}{2} \neq \cfrac{3}{3} \neq \cfrac{-1}{-2}$

Koefisien A dan C persamaan implisit kedua bidang sebanding satu sama lain, tetapi tidak sebanding dengan koefisien B. Oleh karena itu, keduanya merupakan dua bidang garis potong .

Latihan 3

Tentukan posisi relatif dari 2 bidang berikut:

$\pi_1 : \ 6x-3y-12z+7=0$

$\pi_2 : \ -2x+y+4z-5=0$

lihat solusi

Untuk menentukan posisi relatif antara dua bidang, perlu diperiksa apakah koefisien persamaan kedua bidang tersebut sebanding:

$\cfrac{6}{-2} = \cfrac{-3}{1} =\cfrac{-12}{4} \neq \cfrac{7}{-5}$

Tiga parameter pertama (A, B dan C) dari persamaan kedua bidang tersebut sebanding satu sama lain tetapi tidak terhadap parameter D, oleh karena itu kedua bidang tersebut sejajar .