Persamaan garis implisit atau umum (atau Cartesian)

Di halaman ini Anda akan menemukan cara menghitung persamaan garis implisit, yang juga disebut persamaan garis umum atau Cartesian. Selain itu, Anda akan dapat melihat berbagai contoh dan bahkan dapat berlatih dengan latihan garis lurus yang diselesaikan langkah demi langkah.

Apa persamaan garis implisit, umum atau Cartesian?

Ingatlah bahwa definisi matematis garis adalah sekumpulan titik berurutan yang direpresentasikan dalam arah yang sama tanpa kurva atau sudut.

Jadi, persamaan garis implisit , juga dikenal sebagai persamaan umum atau persamaan Cartesian , adalah cara untuk menyatakan garis apa pun secara matematis. Untuk melakukan ini, yang Anda perlukan hanyalah vektor arah garis dan titik yang termasuk dalam garis tersebut.

Rumus persamaan garis implisit, umum, atau kartesius

$\vv{\text{v}}$

adalah vektor arah garis dan

$P$

suatu titik yang berada di sebelah kanan:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

Rumus persamaan garis implisit, umum atau kartesius adalah:

$Ax+By+C=0$

Emas:

$x$

Dan

$y$

adalah koordinat Cartesius dari setiap titik pada garis.
koefisien
$A$

adalah komponen kedua dari vektor arah:

$A=\text{v}_2}$
koefisien
$B$

adalah komponen pertama dari tanda perubahan vektor arah:

$B=-\text{v}_1}$
koefisien
$C$

dihitung dengan mengganti titik yang diketahui

$P$

dalam persamaan garis.

persamaan implisit umum atau Cartesian dari garis dalam ruang (dalam R3)

Di sisi lain, perlu diingat bahwa selain persamaan implisit (atau umum), ada cara lain untuk menyatakan garis secara analitis: persamaan vektor, persamaan parametrik, persamaan kontinu, persamaan eksplisit, dan persamaan titik-kemiringan dari Aline. Anda dapat memeriksa masing-masingnya di situs web kami.

Contoh penghitungan persamaan garis implisit, umum atau kartesius

Hanya dengan melihat rumusnya saja, sepertinya persamaan garis seperti ini agak sulit ditemukan. Namun agar Anda dapat melihat bahwa yang terjadi justru sebaliknya, kita akan melihat cara mencari persamaan garis umum (atau implisit) melalui sebuah contoh:

Temukan persamaan implisit garis yang melalui titik tersebut
$P$

dan memiliki

$\vv{\text{v}}$

sebagai vektor pemandu:

$\vv{\text{v}}= (2,3) \qquad P(5,-1)$

Seperti yang kita lihat pada bagian di atas, rumus persamaan garis implisit adalah:

$Ax+By+C=0$

Oleh karena itu kita harus mencari koefisien A, B dan C. Yang tidak diketahui A dan B diperoleh dari koordinat vektor arah garis, karena persamaan berikut selalu diverifikasi:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

Oleh karena itu, koefisien A adalah koordinat kedua vektor, dan koefisien B adalah koordinat pertama vektor yang diubah tandanya:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (2,3) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=3 \\[2ex] B=-2 \end{array}$

Oleh karena itu, persamaan garis implisitnya adalah sebagai berikut:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=3 \ ; \ B=-2} \ 3x-2y+C=0$

Oleh karena itu, kita hanya perlu mencari koefisien C. Untuk melakukannya, kita harus mensubstitusikan titik yang kita ketahui termasuk dalam garis ke dalam persamaannya:

$P(5,-1)$

$3x-2y+C=0 \ \xrightarrow{x=5 \ ; \ y=-1} \ 3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

Dan sekarang kita selesaikan persamaan yang dihasilkan:

$3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

$15+2+C=0$

$17+C=0$

$C=-17$

Jadi persamaan garis implisit, umum atau kartesius adalah:

$\bm{3x-2y-17=0}$

Temukan persamaan implisit (umum atau Cartesian) dari persamaan kontinu

Kita baru saja melihat cara mencari persamaan umum suatu garis. Namun ada metode lain yaitu dari persamaan kontinunya. Mari kita lihat bagaimana hal ini dilakukan dengan sebuah contoh:

Hitung persamaan umum (atau implisit) dari garis berikut yang ditentukan oleh persamaan kontinunya:

$\cfrac{x-1}{-2}=\cfrac{y+4}{6}$

Pertama, kita mengalikan pecahan:

$(x-1)\cdot 6 = (y+4) \cdot (-2)$

Kedua, kita menyelesaikan tanda kurung menggunakan sifat distributif:

$6x-6=-2y-8$

Selanjutnya, kita pindahkan semua suku ke ruas kiri persamaan:

$6x-6+2y+8=0$

Dan terakhir, kita mengelompokkan suku-sukunya dan memperoleh persamaan garis umum:

$\bm{6x+2y+2=0}$

Memecahkan masalah persamaan implisit atau umum (atau Cartesian).

Latihan 1

Tuliskan persamaan umum garis yang melalui titik tersebut

$P$

dan memiliki

$\vv{\text{v}}$

sebagai vektor pemandu:

$\vv{\text{v}}= (-1,2) \qquad P(4,0)$

lihat solusi

Rumus persamaan umum garis adalah:

$Ax+By+C=0$

Oleh karena itu kita harus mencari A, B dan C. Variabel A dan B diperoleh dari koordinat vektor arah garis, karena persamaan berikut selalu dibuktikan:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

Oleh karena itu, koefisien A adalah koordinat kedua vektor, dan koefisien B adalah koordinat pertama vektor yang diubah tandanya:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-1,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=1 \end{array}$

Oleh karena itu, persamaan garis implisitnya adalah sebagai berikut:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=2 \ ; \ B=1} \ 2x+y+C=0$

Oleh karena itu, kita hanya perlu mencari koefisien C. Untuk melakukannya, kita perlu mensubstitusikan titik yang kita ketahui termasuk dalam garis ke dalam persamaan garis dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan:

$P(4,0)$

$2x+y+C=0 \ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=0} \ 2\cdot 4+0+C=0$

$8+C=0$

$C=-8$

Singkatnya, persamaan garis implisit, umum atau Cartesian adalah:

$\bm{2x+y-8=0}$

Latihan 2

Hitung persamaan kartesius dari garis berikut:

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

lihat solusi

Persamaan tersebut dinyatakan sebagai persamaan kontinu, jadi untuk menemukan persamaan tersiratnya kita perlu mencoret pecahan tersebut dan memasukkan semua suku ke dalam satu sisi persamaan:

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

$(x+3)\cdot 5 = (y-2) \cdot 4$

$5x+15=4y-8$

$5x+15-4y+8=0$

$\bm{5x-4y+23=0}$

Latihan 3

Tentukan suatu titik pada garis berikut dan vektor arahnya. Garis tersebut dinyatakan dengan persamaan umumnya:

$-x-3y+6= 0$

lihat solusi

Komponen vektor arah garis dapat diperoleh dari koefisien A dan B persamaan umum garis: komponen vektor pertama sama dengan tanda perubahan koefisien B dan komponen vektor kedua sama dengan koefisien A. JADI:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\mathbf{v}}=\bm{(3,-1)}$

Di sisi lain, untuk menghitung titik pada garis, Anda harus memberikan nilai pada variabel. Misalnya, kita melakukannya

$x=0$

dan kami memecahkan persamaan yang dihasilkan:

$-x-3y+6= 0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0 -3y+6=0$

$-3y +6 =0$

$-3y =-6$

$y =\cfrac{-6}{-3}$

$y =2$

Jadi inti dari garis tersebut adalah:

$\bm{P(0,2)}$

Anda mungkin mendapat pendapat berbeda karena bergantung pada nilai apa yang Anda berikan pada variabel X (atau variabel Y), tetapi jika Anda mengikuti prosedur yang sama, itu juga benar. Sebaliknya, vektor arah garis harus sama dengan yang dihitung.

Latihan 4

Tentukan persamaan implisit garis yang melalui dua titik berikut:

$A(4,-1) \qquad B(-2,3)$

lihat solusi

Dalam hal ini, kita tidak mengetahui vektor arah garis, jadi kita perlu mencari vektor arahnya terlebih dahulu, lalu persamaan garisnya.

Untuk mencari vektor arah garis, cukup hitung vektor yang ditentukan oleh dua titik berikut:

$\vv{AB}=B-A= (-2,3)- (4,-1) = (-6,4)$

Dan setelah kita mengetahui vektor arah garis, sekarang kita dapat menentukan persamaan implisitnya (atau persamaan umum atau Cartesian) dari rumusnya:

$Ax+By+C=0$

Yang tidak diketahui A dan B diperoleh dari koordinat vektor arah garis, karena koefisien A adalah koordinat kedua vektor, dan koefisien B adalah koordinat pertama vektor yang berubah tanda:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-6,4) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=4 \\[2ex] B=6 \end{array}$

Oleh karena itu, persamaan garis implisitnya adalah sebagai berikut:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=4 \ ; \ B=6} \ 4x+6y+C=0$

Oleh karena itu, cukup mencari koefisien C. Untuk melakukannya, kita harus mensubstitusikan ke dalam persamaan garis sebuah titik yang kita tahu termasuk dalam garis tersebut dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan:

$A(4,-1)$

$4x+6y+C=0\ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=-1} \ 4\cdot 4+6\cdot (-1)+C=0$

$16-6+C=0$

$10+C=0$

$C=-10$

Terakhir, persamaan garis implisit, umum atau Cartesian adalah:

$\bm{4x+6y-10=0}$

Latihan 5

Temukan persamaan implisit garis yang tegak lurus garis tersebut

$r$

dan apa yang terjadi di titik tersebut

$P(2,2).$

$r: \; 3x-2y+4=0$

lihat solusi

Dua garis yang tegak lurus mempunyai vektor arah yang saling ortogonal, sehingga kita perlu mencari vektor arah garis tersebut

$r$

maka sebuah vektor yang tegak lurus terhadapnya.

Komponen vektor arah garis

$r$

Mereka dapat diperoleh dari koefisien A dan B persamaan garis umum: komponen pertama vektor sama dengan koefisien B yang berubah tandanya dan komponen kedua vektor sama dengan koefisien A.

$r: \; 3x-2y+4=0$

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\text{v}}_r=(2,3)$

Sekarang kita perlu mencari vektor yang tegak lurus. Untuk melakukan ini, cukup masukkan koordinat vektor dan ubah tanda salah satunya:

$\vv{\text{v}}_\perp=(-3,2)$

Oleh karena itu, ini akan menjadi vektor arah garis yang tegak lurus

$r.$

Dan setelah kita mengetahui vektor arah garis, sekarang kita dapat menentukan persamaan implisitnya (atau persamaan umum atau Cartesian) dari rumusnya:

$Ax+By+C=0$

Yang tidak diketahui A dan B diperoleh dari koordinat vektor arah garis, karena koefisien A adalah koordinat kedua vektor, dan koefisien B adalah koordinat pertama vektor yang berubah tanda:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}_\perp= (-3,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=3 \end{array}$