▷ Cara mengalikan polinomial (latihan terselesaikan)

Di halaman ini Anda akan mempelajari cara mengalikan polinomial. Anda juga akan dapat melihat contoh perkalian polinomial dan, sebagai tambahan, latihan yang diselesaikan langkah demi langkah. Terakhir, Anda akan mengetahui apa saja sifat-sifat perkalian polinomial.

Namun untuk memahami konsep perkalian polinomial secara utuh, kita akan beralih dari yang paling dasar ke yang paling rumit, yaitu kita akan mulai dengan cara mengalikan polinomial dengan suatu bilangan, kemudian kita akan melihat cara mengalikan polinomial dengan suatu bilangan. monomial dan, terakhir, kami akan menjelaskan cara mengalikan dua atau lebih polinomial.

Saya menyarankan Anda untuk mengikuti urutan ini, tetapi jika Anda merasa sudah menguasai operasi dengan polinomial sebelumnya, Anda dapat langsung melanjutkan ke perkalian antar polinomial dengan mengklik indeks:

Kalikan polinomial dengan angka

Hasil kali skalar (atau bilangan) dan polinomial cukup mudah diselesaikan, cukup kalikan bilangan tersebut dengan koefisien setiap suku polinomial tersebut .

perkalian suatu bilangan dengan polinomial

Tanda perkalian di depan tanda kurung bisa dihilangkan.

$\begin{array}{l} 2\cdot (5x^4-6x^2) = \\[2ex] =2 (5x^4-6x^2)= \\[2ex] = 10x^4-12x^2 \end{array}$

Mengalikan polinomial dengan monomial

Sebelum melihat cara mengalikan polinomial dengan monomial, kita ingat dulu cara mengalikan monomial satu sama lain, karena Anda perlu mengetahuinya untuk dapat melakukan operasi polinomial jenis ini.

Hasil kali dua monomial terdiri dari mengalikan koefisiennya satu sama lain dan bagian literalnya satu sama lain, yaitu koefisien monomial dikalikan dan eksponen variabel yang mempunyai basis yang sama dijumlahkan. Lihatlah contoh berikut:

$3x^2 \cdot 4x^5 = (3\cdot 4) x^{2+5} = 12x^7$

Sekarang mari kita lihat cara mengalikan monomial dengan polinomial:

Dalam matematika, untuk menyelesaikan perkalian monomial dengan polinomial, monomial dikalikan dengan setiap suku dalam polinomial tersebut.

Seperti sebelumnya, tanda perkalian juga bisa dihilangkan:

$\begin{array}{l} -4x \cdot (2x^3-5x^2)= \\[2ex] =-4x (2x^3-5x^2)=\\[2ex] = -4x\cdot 2x^3 -4x \cdot (-5x^2) = \\[2ex] =-8x^4 +20x^3 \end{array}$

Perhatikan pada contoh sebelumnya bahwa ketika mengalikan monomial atau polinomial, Anda juga harus memperhitungkan aturan tanda. Faktanya, kesalahan yang sangat umum ketika mengalikan monomial dan polinomial adalah kesalahan dalam memberi tanda pada suatu suku.

Pastinya suatu saat, ketika Anda melihat sesuatu yang baru dalam matematika, Anda bertanya pada diri sendiri: untuk apa ? Nah, perkalian jenis ini digunakan untuk mendapatkan faktor persekutuan dari suatu polinomial , sebuah operasi yang memungkinkan Anda menyederhanakan polinomial (sangat berguna). Anda dapat melihat apa itu dan bagaimana faktor persekutuan suatu polinomial dihitung di tautan ini.

Perkalian dua polinomial

Setelah kita mengetahui cara mengalikan polinomial dengan bilangan dan monomial, mari kita lihat apa itu polinomial dan cara mengalikan polinomial dengan polinomial.

Untuk mengalikan polinomial, ikuti langkah-langkah berikut:

Kalikan setiap suku pada polinomial pertama dengan semua suku pada polinomial kedua.
Menjumlahkan (atau mengurangi) monomial yang derajatnya sama (monomial sejenis).

Agar Anda dapat melihat dengan tepat apa metode ini, kami akan menyelesaikan perkalian polinomial berikut selangkah demi selangkah:

Pertama-tama, kita harus mengalikan setiap elemen dari polinomial perkalian pertama dengan setiap suku dari polinomial kedua:

perkalian polinomial langkah demi langkah

Sekarang kita lakukan semua perkalian monomial:

Setelah kita mengalikan polinomialnya, kita tinggal mengelompokkan suku-suku yang serupa, yaitu suku-suku yang memiliki huruf dan pangkat yang sama:

Oleh karena itu, hasil perkalian polinomialnya adalah:

Dan dengan cara ini kita telah menghitung perkalian polinomial. Mungkin ini tampak sangat sulit bagi Anda sekarang, namun Anda akan melihat bahwa ketika Anda berlatih dengan dua atau tiga perangkat latihan, hal itu akan jauh lebih mudah.

Sekarang setelah Anda melihat cara menyelesaikan perkalian antara dua polinomial, Anda mungkin tertarik untuk mengetahui cara membagi polinomial . Faktanya, membagi polinomial jauh lebih rumit daripada mengalikannya, oleh karena itu kami telah menjelaskan prosedur (dan tips😉) langkah demi langkah agar Anda dapat memahaminya sepenuhnya. Jika Anda tertarik, klik tautan ini untuk melihat cara pembagian polinomial.

Perkalian polinomial vertikal

Kita baru saja melihat cara mengalikan polinomial dengan polinomial lain secara horizontal, tetapi ini juga dapat dilakukan dengan cara yang lebih klasik: mengalikan polinomial secara vertikal. Mari kita lihat bagaimana metode ini digunakan dengan menyelesaikan contoh perkalian polinomial.

Jika kita ingin mengalikan dua polinomial berikut secara vertikal:

$(5x^2+3x-4) \cdot (2x^2-x)$

Hal pertama yang perlu kita lakukan adalah menempatkan satu polinomial di bawah polinomial lainnya, sebagai perkalian aljabar dari polinomial:

Kedua, kita mengalikan setiap suku polinomial di bawah dengan setiap suku polinomial di atas, dan kita mengurutkan hasilnya berdasarkan kolom dari derajat tertinggi hingga derajat terendah:

Dan terakhir, kami menambahkan istilah yang disejajarkan secara vertikal:

Sekarang setelah Anda melihat 2 metode yang ada untuk menyelesaikan perkalian polinomial, tahukah Anda bahwa Anda juga bisa mengalikan pecahan dengan polinomial ? Dan tidak hanya perkalian, semua jenis operasi dapat dilakukan dengan jenis pecahan ini. Klik link ini dan cari tahu apa itu pecahan aljabar .

Sifat-sifat perkalian polinomial

Perkalian polinomial mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:

Sifat komutatif : urutan perkalian polinomial tidak mengubah hasil perkaliannya.

$P(x)\cdot Q(x) = Q(x) \cdot P(x)$

Sifat asosiatif : Jika tiga polinomial atau lebih dikalikan, hasil perkaliannya tetap sama, apa pun cara pengelompokannya:

$\bigl(P(x) \cdot Q(x)\bigr) \cdot R(x) =P(x) \cdot \bigl(Q(x) \cdot R(x)\bigr)$

Sifat distributif : jumlah dua polinomial dikalikan sepertiga sama dengan jumlah setiap penjumlahan dikalikan polinomial ketiga.

$P(x)\cdot \bigl(Q(x)+ R(x)\bigr) = P(x)\cdot Q(x) + P(x) \cdot R(x)$

Derajat polinomial hasil perkalian dua polinomial sama dengan jumlah derajat kedua polinomial yang dikalikan tersebut.

Latihan soal perkalian polinomial

Agar Anda dapat berlatih, saya tinggalkan beberapa latihan yang telah diselesaikan tentang perkalian polinomial. Anda dapat mencoba menyelesaikannya sendiri dan memeriksa hasil Anda dengan solusi yang diusulkan. Anda kemudian dapat menanyakan semua pertanyaan Anda kepada kami di komentar, kami akan dengan senang hati membantu Anda.

Latihan 1

Hitung hasil kali antara polinomial dan skalar berikut:

$\text{A)} \ 4\cdot (2x^3-4x)$

$\text{B)} \ -3 \cdot (-5x^2+9x)$

$\text{C)} \ 5\cdot(3x^2+4x-7)$

$\text{D)} \ -6\cdot(4x^5-6x^3+8x^2-7)$

Lihat solusinya

Untuk menghitung perkalian suatu polinomial dengan suatu bilangan, Anda harus mengalikan bilangan tersebut dengan koefisien setiap elemen polinomial tersebut. JADI:

$\text{A)} \ 4\cdot (2x^3-4x) =4 \cdot 2x^3 -4\cdot 4x = \bm{8x^3-16x}$

$\text{B)} \ -3 \cdot (-5x^2+9x) = -3 \cdot (-5x^2)-3\cdot 9x = \bm{15x^2-27x}$

$\text{C)} \ 5\cdot(3x^2+4x-7) = \bm{15x^2+20x-35}$

$\text{D)} \ -6\cdot(4x^5-6x^3+8x^2-7) = \bm{-24x^5+36x^3-48x^2+42}$

Latihan 2

Selesaikan perkalian antara polinomial dan monomial berikut:

$\text{A)} \ 2x \cdot (5x^2+3)$

$\text{B)} \ -4x^2 \cdot (6x^4-9x^2)$

$\text{C)} \ -5x^3\cdot (-2x^3+2x^2-5)$

$\text{D)} \ 3x^2\cdot(7x^6-4x^5-x^3-3x)$

Lihat solusinya

Untuk menyelesaikan perkalian polinomial dengan monomial, Anda harus mengalikan monomial tersebut dengan setiap suku polinomial tersebut. JADI:

$\text{A)} \ 2x \cdot (5x^2+3) = 2x \cdot 5x^2+2x\cdot 3 = \bm{10x^3+6x}$

$\text{B)} \ -4x^2 \cdot (6x^4-9x^2)= -4x^2 \cdot 6x^4 - 4x^2 \cdot (-9x^2) = \bm{-24x^6+36x^4}$

$\text{C)} \ -5x^3\cdot (-2x^3+2x^2-5) = \bm{10x^6-10x^5+25x^3}$

$\text{D)} \ 3x^2\cdot(7x^6-4x^5-x^3-3x) = \bm{21x^8-12x^7-3x^5-9x^3}$

Latihan 3

Tentukan hasil perkalian antar polinomial berikut:

$\text{A)} \ (4x^2 + 1) \cdot (3x^2-2)$

$\text{B)} \ (-3x^4+2x) \cdot (5x^4-x)$

$\text{C)} \ (2x^3-5x^2)\cdot (4x-7)$

Lihat solusinya

Untuk menghitung perkalian dua polinomial, kita perlu mengalikan setiap elemen polinomial pertama dengan setiap elemen polinomial kedua dan kemudian mengelompokkan suku-suku sejenisnya. JADI:

$\color{blue} \mathbf{A}\bm{)} \color{black} \ \begin{array}{l} (4x^2 + 1) \cdot (3x^2-2) = \\[2ex] =4x^2 \cdot 3x^2 +4x^2\cdot (-2) +1 \cdot 3x^2 +1 \cdot (-2) = \\[2ex] = 12x^4-8x^2+3x^2 -2 = \\[2ex] = \bm{12x^4-5x^2-2} \end{array}$

$\color{blue} \mathbf{B}\bm{)} \color{black} \ \begin{array}{l} (-3x^4+2x) \cdot (5x^4-x) = \\[2ex] =-3x^4\cdot 5x^4 -3x^4\cdot (-x) +2x \cdot 5x^4 +2x \cdot (-x) = \\[2ex] = -15x^8+3x^5+10x^5-2x^2 = \\[2ex] = \bm{-15x^8+13x^5-2x^2} \end{array}$

$\color{blue} \mathbf{C}\bm{)} \color{black} \ \begin{array}{l} (2x^3-5x^2)\cdot (4x-7) = \\[2ex] =2x^3\cdot 4x +2x^3\cdot (-7) -5x^2 \cdot 4x -5x^2\cdot (-7) = \\[2ex] = 8x^4-14x^3-20x^3+35x^2 = \\[2ex] = \bm{8x^4-34x^3+35x^2} \end{array}$

Latihan 4

Temukan hasil perkalian antar polinomial berikut:

$\text{A)} \ (4x^2-6x+2) \cdot (5x^3-x^2)$

$\text{B)} \ (3x^3-2x+7) \cdot (-4x^3+5x)$

$\text{C)} \ (9x^4-4x^3+x^2)\cdot (2x^5-4x^4-5x^3)$

Lihat solusinya

Untuk menghitung perkalian dua polinomial, kita perlu mengalikan setiap elemen polinomial pertama dengan setiap elemen polinomial kedua, lalu menjumlahkan suku-suku sejenisnya. JADI:

$\color{blue} \mathbf{A}\bm{)} \color{black} \ \begin{array}{l} (4x^2-6x+2) \cdot (5x^3-x^2) = \\[2ex] =4x^2 \cdot 5x^3 +4x^2\cdot (-x^2) -6x \cdot 5x^3 -6x \cdot (-x^2) + 2 \cdot 5x^3 +2 \cdot (-x^2) = \\[2ex] = 20x^5-4x^4-30x^4+6x^3+10x^3-2x^2 = \\[2ex] = \bm{20x^5-34x^4+16x^3-2x^2} \end{array}$

$\color{blue} \mathbf{B}\bm{)} \color{black} \ \begin{array}{l} (3x^3-2x+7) \cdot (-4x^3+5x) = \\[2ex] =3x^3 \cdot (-4x^3) +3x^3\cdot 5x -2x \cdot (-4x^3) -2x \cdot 5x + 7 \cdot (-4x^3) +7 \cdot 5x = \\[2ex] =-12x^6+15x^4+8x^4-10x^2-28x^3+35x = \\[2ex] = \bm{-12x^6+23x^4-28x^3-10x^2+35x} \end{array}$

$\color{blue} \mathbf{C}\bm{)} \color{black} \ \begin{array}{l} (9x^4-4x^3+x^2)\cdot (2x^5-4x^4-5x^3) = \\[2ex] = 18x^9-36x^8-45x^7-8x^8+16x^7+20x^6+2x^7-4x^6-5x^5 = \\[2ex] = \bm{18x^9-44x^8-27x^7+16x^6-5x^5} \end{array}$

Latihan 5

Hitung perkalian polinomial berikut:

$\text{A)} \ (2x^4+3x^3-6x^2+5x-1) \cdot (4x^2-6x)$

$\text{B)} \ (x^2-4x+7) \cdot (-x^3-5x^2+2x+9)$

$\text{C)} \ (2x^7+6x^5+3x^4-5x^2)\cdot (4x^6-8x^3-x^2+8)$

Lihat solusinya

Untuk membuat hasil kali 2 polinomial, Anda harus mengalikan setiap suku polinomial pertama dengan setiap suku polinomial kedua, lalu mengelompokkan monomial serupa yang diperoleh. Belum:

$\color{blue} \mathbf{A}\bm{)} \color{black} \ \begin{array}{l}(2x^4+3x^3-6x^2+5x-1) \cdot (4x^2-6x)= \\[2ex] = 8x^6-12x^5+12x^5-18x^4-24x^4+36x^3+20x^3-30x^2-4x^2+6x = \\[2ex] = \bm{8x^6-42x^4+56x^3-34x^2+6x} \end{array}$

$\color{blue} \mathbf{B}\bm{)} \color{black} \ \begin{array}{l} (x^2-4x+7) \cdot (-x^3-5x^2+2x+9)= \\[2ex] =-x^5-5x^4+2x^3+9x^2+4x^4+20x^3-8x^2-36x-7x^3-35x^2+14x+63 = \\[2ex] = \bm{-x^5-x^4+15x^3-34x^2-22x+63} \end{array}$

$\color{blue} \mathbf{C}\bm{)} \color{black} \ \begin{array}{l} (2x^7+6x^5+3x^4-5x^2)\cdot (4x^6-8x^3-x^2+8) = \\[2ex] = 8x^{13}-16x^{10}-2x^9+16x^7+24x^{11}-48x^8-6x^7+48x^5+ \\[2ex] + \ 12x^{10}-24x^7-3x^6+24x^4-20x^8+40x^5+5x^4-40x^2 = \\[2ex] = \bm{8x^{13}+24x^{11}-4x^{10}-2x^9-68x^8-14x^7-3x^6+} \\[2ex] \bm{+ \ 88x^5+29x^4-40x^2} \end{array}$

Latihan 6

Selesaikan perkalian 3 polinomial berikut:

$(2x^2-3) \cdot (-5x^4+3x^2-6) \cdot (9x^3-6x)$

Lihat solusinya

Pengoperasian soal terdiri dari 2 perkalian polinomial, lebih tepatnya terdiri dari dua binomial dan satu trinomial. Jadi, pertama-tama kita perlu menyelesaikan suatu hasil kali, lalu mengalikan hasilnya dengan polinomial yang tersisa.

Oleh karena itu kami menghitung perkalian pertama:

$\begin{array}{l} (2x^2-3) \cdot (-5x^4+3x^2-6) \cdot (9x^3-6x) = \\[2ex] = \bigl[-10x^6+6x^4-12x^2+15x^4-9x^2+18 \bigr]\cdot (9x^3-6x) = \\[2ex] = (-10x^6+21x^4-21x^2+18)\cdot (9x^3-6x)\end{array}$

Dan sekarang kita selesaikan perkalian yang tersisa:

$\begin{array}{l} (-10x^6+21x^4-21x^2+18)\cdot (9x^3-6x)= \\[2ex] = -90x^9+60x^7+189x^7-126x^5-189x^5+126x^3+162x^3-108x \\[2ex] =\bm{-90x^9+249x^7-315x^5+288x^3-108x} \end{array}$

Latihan 7

Kalikan polinomial berikut dengan koefisien rasional (dengan pecahan):

$\displaystyle \left( \frac{1}{3}x^2- 4x \right) \cdot \left( 5x- \frac{2}{7} \right)$

Lihat solusinya

Meskipun polinomial memiliki pecahan, namun tetap merupakan perkalian antara dua polinomial. Oleh karena itu, penyelesaiannya harus sama seperti perkalian polinomial lainnya: kalikan semua elemen, lalu kelompokkan monomial serupa.

Oleh karena itu, kami mengalikan polinomialnya:

$\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle\left( \frac{1}{3}x^2- 4x \right) \cdot \left( 5x- \frac{2}{7} \right) = \\[4ex] = \displaystyle\frac{1}{3}x^2 \cdot 5x +\frac{1}{3}x^2\cdot \left(- \frac{2}{7} \right) -4x \cdot 5x - 4x \cdot \left(- \frac{2}{7} \right) = \\[4ex] =\displaystyle \frac{5}{3}x^3 -\frac{2}{21}x^2 -20x^2+\frac{8}{7} x\end{array}$

Dan terakhir, kita tambahkan (atau kurangi) suku-suku yang bagian literalnya identik:

$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{5}{3}x^3 -\frac{2}{21}x^2 -20x^2+\frac{8}{7} x= \\[4ex] \displaystyle= \frac{5}{3}x^3 -\frac{2}{21}x^2 -\frac{420}{21}x^2+\frac{8}{7} x \\[4ex] \displaystyle=\mathbf{\frac{5}{3}}\bm{x^3} -\mathbf{\frac{422}{20}}\bm{x^2}+\mathbf{\frac{8}{7}} \bm{x} \end{array}$

Agar berhasil menyelesaikan latihan ini, penting bagi Anda untuk menguasai operasi pecahan. Namun jika Anda memiliki pertanyaan tentang langkah apa pun, Anda dapat menanyakannya di komentar dan kami akan menjawabnya secepat mungkin.

Perkalian (atau perkalian) polinomial

Kalikan polinomial dengan angka

Mengalikan polinomial dengan monomial

Perkalian dua polinomial

Perkalian polinomial vertikal

Sifat-sifat perkalian polinomial

Latihan soal perkalian polinomial

Latihan 1

Latihan 2

Latihan 3

Latihan 4

Latihan 5

Latihan 6

Latihan 7

Tinggalkan Komentar Batalkan Balasan