Hitung pangkat suatu matriks berdasarkan determinannya

Di halaman ini Anda akan melihat apa itu dan bagaimana menghitung rentang suatu matriks berdasarkan determinan. Selain itu, Anda akan menemukan contoh dan latihan yang diselesaikan untuk mempelajari cara mencari luas suatu matriks dengan mudah. Selain itu, Anda juga akan melihat properti rentang suatu matriks.

Berapakah rank suatu matriks?

Definisi jangkauan suatu matriks adalah:

Pangkat suatu matriks adalah ordo submatriks persegi terbesar yang determinannya berbeda dengan 0.

Pada halaman ini kita akan mempelajari tentang jangkauan suatu matriks dengan metode determinan, namun jangkauan suatu matriks juga dapat ditentukan dengan metode Gaussian, meskipun lebih lambat dan rumit.

Setelah kita mengetahui rentang suatu matriks, kita akan melihat cara mencari rentang suatu matriks berdasarkan determinannya. Namun perlu diingat bahwa untuk menyelesaikan luas suatu matriks, Anda harus mengetahui cara menghitungdeterminan 3×3 terlebih dahulu.

Bagaimana cara mengetahui luas suatu matriks? Contoh:

  • Hitung luas matriks berdimensi 3×4 berikut:

\displaystyle A= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{array} \right)

Kita akan selalu memulai dengan mencoba melihat apakah matriks mempunyai rank maksimum dengan menyelesaikan determinan orde terbesar. Dan, jika determinan orde ini sama dengan 0, kita akan terus menguji determinan orde rendah hingga kita menemukan determinan selain 0.

Dalam hal ini adalah matriks berdimensi 3×4. Oleh karena itu, paling banyak akan berada pada peringkat 3 , karena kita tidak dapat membuat determinan orde 4. Jadi kita ambil submatriks 3×3 apa saja dan kita lihat apakah determinannya adalah 0. Misalnya, kita selesaikan determinan dari 3 kolom pertama dengan aturan Sarrus:

\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & 2 \end{tabular} \right)

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 \end{vmatrix} = 14 + 9 + 0 - 24 + 1 - 0 = \bm{0}

Penentu kolom 1, 2 dan 3 adalah 0. Sekarang kita harus mencoba determinan lain, misalnya kolom 1, 2 dan 4:

\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & 4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}& & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 & 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 4 -9 + 0 + 6-1 - 0 = \bm{0}

Ini juga memberi kita 0. Oleh karena itu, kita terus menguji determinan berorde 3 untuk melihat apakah ada selain 0. Sekarang kita menguji determinan yang dibentuk oleh kolom 1, 3 dan 4:

\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 2 -12+0 +3 +7- 0 = \bm{0}

Dari determinan orde 3, coba saja determinan yang terdiri dari kolom 2, 3 dan 4:

\left( \begin{tabular}{cccc}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)

\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] -1 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 6+4-14-1+21-16 = \bm{0}

Kita telah mencoba semua kemungkinan determinan 3×3 dari matriks A, dan karena tidak ada satupun yang berbeda dari 0, maka matriks tersebut tidak berpangkat 3 . Oleh karena itu, paling banyak akan menjadi peringkat 2.

\displaystyle rg(A) < 3

Sekarang kita akan melihat apakah matriksnya berpangkat 2. Untuk melakukannya, kita harus mencari submatriks persegi berorde 2 yang determinannya berbeda dari 0. Kita akan mencoba submatriks 2×2 di pojok kiri atas:

\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & 4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & -1 & & & \\[-2ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{tabular} \right)

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 0 & 2 \end{vmatrix} = 2-0 = 2 \bm{ \neq 0}

Kami menemukan determinan orde 2 yang berbeda dari 0 di dalam matriks. Akibatnya, matriks tersebut memiliki peringkat 2:

\displaystyle \bm{rg(A)=2}

Memecahkan Masalah Lingkup Matriks

Latihan 1

Tentukan rank matriks 2×2 berikut:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix}

Pertama-tama kita menghitung determinan seluruh matriks:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{vmatrix} = 18-5 = 13 \bm{\neq 0}

Kami menemukan determinan orde 2 yang berbeda dari 0. Oleh karena itu, matriks tersebut memiliki peringkat 2.

\displaystyle \bm{rg(A)=2}

Latihan 2

Tentukan luas matriks berdimensi 2×2 berikut:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{pmatrix}

Pertama, kita selesaikan determinan seluruh matriks:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{vmatrix} = 12-12 \bm{=0}

Satu-satunya determinan 2×2 yang mungkin menghasilkan 0, sehingga matriksnya tidak berpangkat 2.

Namun di dalam matriks tersebut terdapat determinan 1×1 selain 0, contoh:

\displaystyle \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 2 \bm{\neq 0}

Oleh karena itu, matriks tersebut berada pada peringkat 1.

\displaystyle \bm{rg(A)=1}

Latihan 3

Berapa luas matriks persegi 3×3 berikut?

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}

Pertama, determinan seluruh matriks dihitung dengan aturan Sarrus:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 2-12+16-2-16+12 \bm{=0}

Satu-satunya determinan 3×3 yang mungkin menghasilkan 0, sehingga matriksnya tidak berpangkat 3.

Namun di dalam matriks tersebut terdapat determinan berorde 2 selain 0, misalnya:

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 +6 = 7 \bm{\neq 0}

Oleh karena itu, matriks tersebut mempunyai rangking 2 .

\displaystyle \bm{rg(A)=2}

Latihan 4

Hitung rank matriks orde 3 berikut:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}

Pertama, determinan seluruh matriks diselesaikan dengan aturan Sarrus:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{vmatrix} = -12-6+20+4-45+8 = -31\bm{ \neq0}

Penentu seluruh matriks bernilai selain 0. Oleh karena itu, matriks tersebut mempunyai rangking maksimum, yaitu rangking 3.

\displaystyle \bm{rg(A)=3}

Latihan 5

Berapa rank matriks orde 3 berikut ini?

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{pmatrix}

Pertama, determinan seluruh matriks dihitung dengan aturan Sarrus:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{vmatrix} =20-100-9-10+24+75 \bm{= 0}

Satu-satunya determinan 3×3 yang mungkin menghasilkan 0, sehingga matriksnya tidak berpangkat 3.

Namun di dalam matriks tersebut terdapat determinan 2×2 selain 0, seperti:

\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 3 & -2 \end{vmatrix} = -4-15 = -19\bm{\neq 0}

Oleh karena itu, matriksnya berada pada peringkat 2 .

\displaystyle \bm{rg(A)=2}

Latihan 6

Tentukan luas matriks 3×4 berikut:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 & 3 \end{pmatrix}

Matriksnya tidak boleh berpangkat 4, karena kita tidak bisa membuat determinan 4×4. Jadi mari kita lihat apakah ia menduduki peringkat 3 dengan menghitung determinan 3×3:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}3 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 \end{vmatrix} =42-30+0-40-0+28 \bm{= 0}

Penentu 3 kolom pertama menghasilkan 0. Namun, determinan 3 kolom terakhir menghasilkan selain 0:

\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 0 & -7 & 3 \end{vmatrix} = -18+0+14-0+70-24 = 42 \bm{\neq 0}

Jadi, karena di dalamnya terdapat submatriks berorde 3 yang determinannya berbeda dengan 0, maka matriks tersebut berpangkat 3 .

\displaystyle \bm{rg(A)=3}

Latihan 7

Hitung rentang matriks 4×3 berikut:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{pmatrix}

Matriksnya tidak boleh mempunyai peringkat 4, karena kita tidak dapat menyelesaikan determinan 4×4 apa pun. Jadi mari kita lihat apakah ia berada di peringkat 3 dengan melakukan semua kemungkinan determinan 3×3:

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}

Karena semua determinan 3×3 yang mungkin menghasilkan 0, matriksnya juga tidak berperingkat 3. Kami sekarang mencoba determinan 2×2:

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} =13 \bm{\neq 0}

Karena di dalam matriks A terdapat submatriks berorde 2 yang determinannya berbeda dengan 0, maka matriks tersebut berpangkat 2 .

\displaystyle \bm{rg(A)=2}

Latihan 8

Tentukan range matriks 4×4 berikut:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4\end{pmatrix}

Kita harus menyelesaikan determinan seluruh matriks untuk melihat apakah matriks tersebut mempunyai rangking 4.

Dan untuk menyelesaikan determinan 4×4, Anda harus terlebih dahulu melakukan operasi dengan baris untuk mengubah semua kecuali satu elemen dalam kolom menjadi nol:

\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 + 2f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 3f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}

Kami sekarang menghitung determinan berdasarkan deputi:

\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} \displaystyle = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Kami menyederhanakan persyaratannya:

=\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}+1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

Kami menghitung adjoin dari 1:

\displaystyle = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix}2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & -1 & -1\end{vmatrix}

Dan terakhir, kita menghitung determinan 3×3 dengan aturan Sarrus dan kalkulator:

\displaystyle = (-1)^{4} \cdot \bigl[-2-10+10-10+2+10 \bigr]

\displaystyle = 1 \cdot \bigl[0 \bigr]

\displaystyle = \bm{0}

Penentu 4×4 dari keseluruhan matriks menghasilkan 0, sehingga matriks A tidak mempunyai rangking 4. Jadi sekarang mari kita lihat apakah matriks tersebut mempunyai determinan 3×3 selain 0 di dalamnya:

\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 \end{vmatrix} = -2+0-6-4+4-0=8 \bm{\neq 0}

Oleh karena itu, matriks A berada pada peringkat 3:

\displaystyle \bm{rg(A)=3}

Properti Rentang Matriks

  • Rentang tersebut tidak diubah jika kita menghapus baris yang diisi dengan nol, baik kolom, atau baris yang diisi dengan 0.
  • Kisaran suatu matriks tidak berubah jika kita mengubah urutan dua baris sejajar, baik baris maupun kolom.
  • Pangkat suatu matriks sama dengan pangkat transposnya.
  • Jika baris atau kolom dikalikan dengan angka selain 0, maka pangkat matriks tidak berubah.
  • Kisaran rona tidak berubah ketika kita menghilangkan suatu garis (baris atau kolom) yang merupakan kombinasi linier dari garis-garis lain yang sejajar dengannya.
  • Kisaran suatu matriks tidak berubah jika kita menjumlahkan baris-baris lain yang sejajar dengan salah satu baris (baris atau kolom) dikalikan dengan bilangan berapa pun. Inilah sebabnya mengapa rank suatu matriks juga dapat dihitung dengan metode Gaussian.

Tinggalkan Komentar

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

Scroll to Top