Garis yang kebetulan

Di sini Anda akan menemukan segala hal tentang garis-garis yang berhimpitan: apa maksudnya, cara menentukan apakah dua garis berhimpitan, sifat-sifatnya, dll. Selain itu, Anda akan dapat melihat contoh dan menyelesaikan latihan garis yang berhimpitan.

Apa yang dimaksud dengan dua garis yang berhimpitan?

Dua garis berhimpitan adalah dua garis yang semua titiknya mempunyai titik yang sama. Oleh karena itu, dua garis yang berhimpitan adalah benar-benar identik.

Misalnya, di bawah ini Anda memiliki dua garis yang berhimpitan, yang terjadi adalah Anda hanya melihat satu karena keduanya tumpang tindih (sama).

Dua garis yang berhimpitan selalu mempunyai arah yang sama, sehingga secara geometris membentuk sudut 0º.

Sebaliknya, perlu diingat bahwa pada bidang terdapat 4 kemungkinan dalam konsep kedudukan relatif antara dua garis: dua garis dapat berhimpitan, sejajar , garis potong, dan tegak lurus . Jika mau, Anda bisa melihat arti setiap jenis garis dan perbedaannya di 3 link ini.

Bagaimana cara mengetahui dua garis berhimpitan?

Mengetahui kapan dua garis berhimpitan bergantung pada apakah Anda bekerja dengan dua koordinat (di R2) atau dengan tiga koordinat (di R3).

Tentukan dua garis yang berhimpitan pada bidang tersebut

Ketika kita beroperasi dalam ruang dua dimensi (2D), sangat mudah untuk melihat kapan dua garis berhimpitan dan tidak muncul dari persamaan implisit atau persamaan garis eksplisit .

Selain kedua cara tersebut, kita juga dapat memeriksa apakah dua garis berhimpitan dengan menyelesaikan sistem persamaan yang dibentuk oleh persamaan kedua garis tersebut (jika sistem memberikan solusi tak terhingga, berarti keduanya berhimpitan). Namun prosedur ini lebih rumit dan memakan waktu, sehingga kami tidak akan menjelaskannya secara detail karena lebih baik dilakukan dari koefisien persamaan implisit atau persamaan eksplisit.

Dari persamaan garis implisit (atau umum).

Salah satu cara untuk mengetahui apakah dua garis berhimpitan adalah dengan menggunakan persamaan implisit garis tersebut, yang juga dikenal sebagai persamaan umum atau persamaan Cartesian.

Persamaan garis implisit sesuai dengan ekspresi berikut:

$Ax+By+C=0$

Nah , jika dua garis mempunyai tiga koefisien proporsional (A, B dan C) , berarti keduanya berhimpitan.

$r: \ Ax+By+C=0 \qquad \qquad s: \ A'x+B'y+C'=0$

$\cfrac{A}{A'} = \cfrac{B}{B'}= \cfrac{C}{C'} \quad \longrightarrow \quad \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Misalnya, dua baris berikut cocok:

$r: \ 4x+6y-2=0 \qquad \qquad s: \ 2x+3y-1=0$

Dan keduanya bertepatan karena parameter A, B dan C sebanding satu sama lain:

$\cfrac{4}{2} = \cfrac{6}{3}= \cfrac{-2}{-1}= 2$

Dari persamaan garis eksplisit

Cara lain untuk mengetahui apakah dua garis benar-benar berhimpitan adalah dengan menggunakan persamaan garis yang eksplisit. Ingatlah bahwa persamaan garis yang eksplisit adalah sebagai berikut:

$y=mx+n$

Jika dua garis mempunyai kemiringan yang sama (koefisien m) dan ordinat yang sama di titik asal (koefisien n), maka keduanya merupakan gabungan dua garis.

$r: \ y=m_rx+n_r \qquad \qquad s: \ y=m_sx+n_s$

$\left.\begin{array}{c} m_r = m_s \\[2ex] n_r=n_s \end{array} \right\} \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Misalnya, dua garis berikut ini sama karena awalnya mempunyai kemiringan dan ordinat yang setara:

$r: \ y=3x-1 \qquad \qquad s: \ y=3x-1$

Perlu dicatat bahwa jika garis-garis tersebut mempunyai kemiringan yang sama tetapi letaknya berbeda pada titik asal, maka garis-garis tersebut akan sejajar dan bukan garis-garis yang berhimpitan.

Terakhir, seperti yang Anda lihat pada contoh, dua garis yang berhimpitan memiliki persamaan eksplisit yang sama. Hal ini berlaku untuk semua jenis persamaan garis: jika dua garis berhimpitan dalam persamaannya, ini berarti kedua garis tersebut berhimpitan.

temukan dua garis yang berimpit dalam ruang

Mengidentifikasi dua garis yang berimpit pada ruang (di R3) berbeda dengan pada bidang Kartesius (di R2), karena perhitungan harus dilakukan dengan satu koordinat lagi. Jadi, mari kita lihat cara melakukannya:

Diketahui persamaan dua garis berbeda dalam ruang:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[2ex]A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} A_1'x+B_1'y+C_1'z+D_1'=0 \\[2ex]A_2'x+B_2'y+C_2'z+D_2'=0 \end{cases}$

Misalkan M dan M’ adalah matriks-matriks yang dibentuk oleh koefisien-koefisien garis:

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1\\[1.1ex]A_2&B_2&C_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2' \end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1&D_1 \\[1.1ex]A_2&B_2&C_2&D_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'&D_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2'&D_2' \end{pmatrix}$

Jadi, jika pangkat matriks M dan M’ sama dengan 2, maka kedua garis tersebut berimpit.

$rg(M)=rg(M') = 2 \ \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Mari kita lihat contoh garis-garis yang berhimpitan dalam ruang melalui latihan yang diselesaikan langkah demi langkah:

Tentukan apakah dua baris berikut cocok atau tidak:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x+2y+z+3=0 \\[2ex]3x+4y+z+8=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} x-z+2=0 \\[2ex]2y+2z+1=0 \end{cases}$

Matriks M dan matriks perluasan M’ dari koefisien-koefisien garisnya adalah:

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} 1&2&1 \\[1.1ex]3&4&1 \\[1.1ex]1&0&-1\\[1.1ex]0&2&2\end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} 1&2&1&3 \\[1.1ex]3&4&1&8 \\[1.1ex]1&0&-1&2\\[1.1ex]0&2&2&1\end{pmatrix}$

Setelah kita membuat kedua matriks, kita perlu menghitung rentang masing-masing matriks:

$rg(M)=2 \qquad \qquad rg(M') = 2$

Pangkat kedua matriks tersebut ekuivalen dan bernilai 2. Oleh karena itu, kedua garis tersebut tertukar.