Cara menghitung determinan matriks 4×4 dengan komplemen atau kofaktor

Pada halaman ini kita akan melihat cara menyelesaikan determinan dengan penjumlahan atau kofaktor dan juga cara menghitung determinan matriks berdimensi 4×4 . Namun untuk menyelesaikan determinan matriks berorde 4, Anda harus mengetahui terlebih dahulu cara menghitung determinan menggunakan adjoint suatu baris atau kolom. Oleh karena itu, pertama-tama kita akan melihat cara mencari determinan berdasarkan adjoint atau kofaktor, lalu cara membuat determinan orde 4 .

Bagaimana cara menghitung determinan dengan penjumlahan atau kofaktor?

Penentu dapat dihitung dengan menjumlahkan hasil kali elemen-elemen pada baris atau kolom mana pun dengan komplemen (atau kofaktor) masing-masing.

Cara ini disebut penyelesaian determinan dengan adjoint atau kofaktor, atau bahkan ada ahli matematika yang juga memberi tahu Anda aturan Laplace (atau teorema Laplace).

Contoh penyelesaian determinan oleh deputi:

Mari kita lihat contoh praktis penyelesaiandeterminan matriks 3 × 3 dengan adjoint. Mari kita jadikan determinan berikut:

\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix}

Pertama, kita perlu memilih kolom atau baris determinannya. Dalam hal ini, kita memilih kolom pertama , karena memiliki 0 dan karena itu akan lebih mudah untuk diselesaikan.

Sekarang kita harus mengalikan elemen kolom pertama dengan wakilnya masing-masing :

\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} \displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}

Komplemen 0 tidak perlu dihitung, karena mengalikannya dengan 0 akan menghilangkannya. Oleh karena itu, kami dapat menyederhanakan:

\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}

\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}

Kami sekarang melanjutkan untuk menghitung komplemen :

\displaystyle = 2\cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 5 \\[1.1ex] 7 & -4 \end{vmatrix} + 3 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & 5 \end{vmatrix}

Ingatlah bahwa untuk menghitung wakil

a_{ij}

, yaitu item baris

i

dan kolom

j

, rumus berikut harus diterapkan:

\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}

di mana minor komplementer dari

a_{ij}

adalah determinan matriks dengan menghilangkan barisnya

i

dan kolom

j

.

Kami memecahkan kekuatan dan faktor penentu:

= 2 \cdot 1 \cdot (8-35) + 3 \cdot 1 \cdot \bigl(15-(-2)\bigr)

= 2 \cdot 1 \cdot (-27) + 3 \cdot 1 \cdot 17

Dan kami beroperasi dengan kalkulator:

= -54 + 51

= \bm{-3}

Jadi, hasil determinannya adalah -3.

Perhatikan bahwa jika kita menghitung determinan dengan aturan Sarrus, kita memperoleh hasil yang sama:

\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} & = 2 \cdot (-2) \cdot (-4) + 3 \cdot 5 \cdot 3 + 0 \cdot 7 \cdot 1 - 3 \cdot (-2) \cdot 1 - 7 \cdot 5 \cdot 2- 0 \cdot 3 \cdot (-4) \\ & = 16 +45 + 0 +6 - 70 -0 \\[2ex] & = \bm{-3} \end{aligned}

Setelah kita mengetahui cara menghitung determinan oleh deputi, sekarang kita dapat melihat cara mencari hasil determinan orde 4:

Bagaimana cara menghitung determinan 4×4?

Untuk menyelesaikan determinan matriks berorde 4 , kita harus menerapkan prosedur yang baru saja kita lihat untuk para deputi. Artinya, kita memilih baris atau kolom mana saja, dan kita menjumlahkan hasil kali elemen-elemennya dengan komplemennya masing-masing.

Namun, dengan menggunakan prosedur dengan determinan 4 × 4 ini, banyak determinan 3 × 3 yang harus dihitung, dan ini cenderung memakan waktu lama. Oleh karena itu, sebelum menghitung adjoint , transformasi dilakukan pada garis , mirip dengan metode Gaussian. Karena suatu baris determinan dapat diganti dengan jumlah baris yang sama ditambah baris lainnya dikalikan suatu bilangan.

Oleh karena itu, untuk menghitung determinan orde 4 oleh para deputi, harus memilih kolom yang mengandung angka nol paling banyak , karena akan memudahkan perhitungannya. Dan kemudian kita melakukan operasi internal pada baris, sehingga semua elemen di kolom adalah nol kecuali satu.

Mari kita lihat cara pembuatan determinan 4×4 dengan contoh:

Contoh penyelesaian determinan 4×4:

Kita akan menyelesaikan determinan matriks persegi 4×4 berikut ini:

\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}

Dalam hal ini, kolom dengan angka nol terbanyak adalah kolom pertama. Oleh karena itu, kami memilih kolom pertama.

Dan memanfaatkan fakta bahwa ada 1 di kolom ini, kita akan mengonversi semua elemen lain di kolom pertama menjadi 0. Karena lebih mudah melakukan perhitungan dengan baris yang memiliki 1.

Oleh karena itu, untuk mengubah semua elemen lain dalam kolom menjadi 0, kita menambahkan baris pertama ke baris kedua , dan kita mengurangi baris pertama dikalikan 2 dari baris keempat . Baris ketiga tidak perlu diubah, karena sudah ada angka 0 pada kolom pertama.

\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 + f_1} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 2f_1} \end{matrix} \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}

Setelah kita mengonversi semua kecuali satu elemen di kolom yang dipilih menjadi 0, kita menghitung determinannya berdasarkan deputi. Artinya , kita menjumlahkan hasil kali elemen kolom dengan wakilnya masing-masing:

\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix} \displaystyle = 1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Suku dikalikan 0 batal, jadi kita sederhanakan:

=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}

=\text{Adj(1)}

Oleh karena itu cukup menghitung adjoint dari 1:

\displaystyle = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}

Kami menghitung determinan dengan aturan Sarrus dan pangkat:

\inlinestyle = 1 \cdot \bigl[ 3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0 \bigr]

=3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0

Dan akhirnya kami menyelesaikan operasi dengan kalkulator:

\displaystyle =0+140-105 +147 - 84 - 0

\displaystyle =\bm{98}

Soal latihan determinan 4×4

Latihan 1

Selesaikan determinan orde 4 berikut:

\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}

Kita akan mencari hasil determinan 4×4 dengan metode kofaktor. Tapi pertama-tama kita melakukan operasi dengan baris untuk mengatur semua elemen kolom ke nol kecuali satu:

\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_3 + f_2} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}

Dan sekarang kita selesaikan determinan 4×4 dengan adjoint dengan kolom terakhir:

\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Kami menyederhanakan persyaratannya:

= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

Kami menghitung adjoin dari 1:

\displaystyle = (-1)^{2+4} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex]4 & 1 & 2 \end{vmatrix}

Dan terakhir, kita menghitung determinan 3×3 dengan aturan Sarrus:

\displaystyle = (-1)^{6} \cdot \bigl[16+24-2+16-4-12 \bigr]

\displaystyle = 1 \cdot \bigl[38 \bigr]

\displaystyle = \bm{38}

Latihan 2

Hitung determinan orde 4 berikut:

\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}

Kita akan menghitung determinan 4×4 dengan kofaktor. Namun untuk melakukan ini, pertama-tama kita melakukan operasi dengan baris untuk menyetel semua elemen kolom ke nol kecuali satu:

\begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 - 3f_3} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + f_3} \end{matrix} \begin{vmatrix}-2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4 \end{vmatrix}

Sekarang kita selesaikan determinan 4×4 dengan adjoint dengan kolom kedua:

\begin{vmatrix} -2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4\end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Kami menyederhanakan persyaratannya:

= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

Kami menghitung adjoin dari 1:

\displaystyle = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix}-2 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & 4\end{vmatrix}

Dan terakhir, kita menghitung determinan 3×3 dengan aturan Sarrus dan kalkulator:

\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[-8-192-70+42+40+64 \bigr]

\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-124 \bigr]

\displaystyle = \bm{124}

Latihan 3

Tentukan hasil determinan orde 4 berikut:

\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{pmatrix}

Kita akan menyelesaikan determinan 4×4 dengan deputi. Meskipun pertama-tama kita melakukan operasi dengan baris untuk mengubah semua kecuali satu elemen dalam kolom menjadi nol:

\begin{vmatrix}2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + f_2} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + 4f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix}

Sekarang kita selesaikan determinan 4×4 dengan deputi dengan kolom ketiga:

\begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Kami menyederhanakan persyaratannya:

= \cancel{0\bm{\cdot}+ \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

Kami menghitung adjoin dari 1:

\displaystyle = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix}6 & 1 & 1 \\[1.1ex] -5 & -1 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & -3\end{vmatrix}

Dan terakhir, kita menyelesaikan determinan 3×3 dengan aturan Sarrus dan kalkulator:

\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[18+19-50+19-60-15\bigr]

\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-69 \bigr]

\displaystyle = \bm{69}

Latihan 4

Hitung hasil determinan orde 4 berikut:

\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}

Kita akan menyelesaikan determinan 4×4 menggunakan aturan Laplace. Namun Anda harus terlebih dahulu melakukan operasi dengan baris untuk menyetel semua elemen dalam kolom ke nol kecuali satu:

\begin{vmatrix}3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + 3f_4} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 +2f_4} \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - 3f_4} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix}

Sekarang kita selesaikan dengan mendeputi determinan 4×4 dengan kolom pertama:

\begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}

Kami menyederhanakan persyaratannya:

= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}

=- \text{Adj(-1)}

Kami menghitung adjoin -1:

\displaystyle =- (-1)^{4+1} \begin{vmatrix} -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]-6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 11 & 5 & -3 \end{vmatrix}

Dan terakhir, kita menyelesaikan determinan 3×3 dengan aturan Sarrus dan kalkulator:

\displaystyle = -(-1)^{5} \cdot \bigl[18-55-240-264+10+90\bigr]

\displaystyle = -(-1) \cdot \bigl[-441 \bigr]

\displaystyle = - \bigl[+441 \bigr]

\displaystyle = \bm{-441}

Dengan semua latihan ini, Anda mungkin sudah mengetahui cara menyelesaikan determinan 4×4. Fantastis! Kami berharap dengan semua latihan ini Anda sekarang dapat menghitung rentang matriks berdimensi 4×4 yang menghabiskan banyak biaya.

Tinggalkan Komentar

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

Scroll to Top