Nilai eigen (atau nilai eigen) dan vektor eigen (atau vektor eigen) dari suatu matriks -

Pada halaman ini kami menjelaskan apa itu nilai eigen dan vektor eigen, disebut juga nilai eigen dan vektor eigen. Anda juga akan menemukan contoh cara menghitungnya serta latihan langkah demi langkah untuk dipraktikkan.

Apa yang dimaksud dengan nilai eigen dan vektor eigen?

Walaupun pengertian nilai eigen dan vektor eigen sulit dipahami, namun definisinya adalah sebagai berikut:

Vektor eigen atau vektor eigen adalah vektor bukan nol pada peta linier yang bila ditransformasikan akan menimbulkan kelipatan skalar (tidak berubah arah). Skalar ini adalah nilai eigen atau nilai eigen .

$Av = \lambda v$

Emas

$A$

adalah matriks peta linier,

$v$

adalah vektor eigen dan

$\lambda$

nilai sendiri.

Nilai eigen juga dikenal sebagai nilai karakteristik. Dan bahkan ada ahli matematika yang menggunakan akar kata Jerman “eigen” untuk menunjuk nilai eigen dan vektor eigen: nilai eigen untuk nilai eigen dan vektor eigen untuk vektor eigen.

Bagaimana cara menghitung nilai eigen (atau nilai eigen) dan vektor eigen (atau vektor eigen) suatu matriks?

Untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks, Anda harus mengikuti seluruh prosedur:

Persamaan karakteristik matriks dihitung dengan menyelesaikan determinan berikut:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)$

Kami menemukan akar polinomial karakteristik yang diperoleh pada langkah 1. Akar-akar ini adalah nilai eigen dari matriks.

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)=0 \ \longrightarrow \ \lambda$

Vektor eigen dari setiap nilai eigen dihitung. Untuk melakukan hal ini, sistem persamaan berikut diselesaikan untuk setiap nilai eigen:

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

Ini adalah cara mencari nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks, namun berikut kami juga memberikan beberapa tipsnya: 😉

Tips : kita dapat memanfaatkan sifat-sifat nilai eigen dan vektor eigen untuk menghitungnya dengan lebih mudah:

✓ Jejak matriks (jumlah diagonal utamanya) sama dengan jumlah seluruh nilai eigen.

$\displaystyle tr(A)=\sum_{i=1}^n \lambda_i$

✓ Hasil kali semua nilai eigen sama dengan determinan matriks.

$\displaystyle det(A)=\prod_{i=1}^n \lambda_i$

✓ Jika terdapat kombinasi linier antar baris atau kolom, paling sedikit salah satu nilai eigen matriksnya sama dengan 0.

Mari kita lihat contoh bagaimana vektor eigen dan nilai eigen suatu matriks dihitung untuk lebih memahami metode ini:

Contoh penghitungan nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks:

Temukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks berikut:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}1&0\\[1.1ex] 5&2\end{pmatrix}$

Pertama, kita perlu mencari persamaan karakteristik matriks tersebut. Dan untuk itu determinan berikut harus diselesaikan:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}1- \lambda &0\\[1.1ex] 5&2-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-3\lambda +2$

Sekarang kita menghitung akar-akar polinomial karakteristik, oleh karena itu, kita menyamakan hasil yang diperoleh dengan 0 dan menyelesaikan persamaan:

$\displaystyle \lambda^2-3\lambda +2 = 0$

$\lambda= \cfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1 \cdot 2}}{2\cdot 1} = \cfrac{+3\pm 1}{2}=\begin{cases} \lambda = 1 \\[2ex] \lambda = 2 \end{cases}$

Solusi persamaan tersebut adalah nilai eigen matriks.

Setelah kita mendapatkan nilai eigen, kita menghitung vektor eigennya. Untuk melakukan ini, kita perlu menyelesaikan sistem berikut untuk setiap nilai eigen:

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

Pertama-tama kita akan menghitung vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen 1:

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

$\displaystyle (A-1 I)\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix}0&0\\[1.1ex] 5&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 0x+0y = 0 \\[2ex] 5x+y = 0\end{array}\right\}$

Dari persamaan ini kita memperoleh subruang berikut:

$\displaystyle y=-5x$

Subruang vektor eigen juga disebut ruang eigen.

Sekarang kita harus mencari basis dari ruang bersih ini, jadi kita berikan misalnya nilai 1 pada variabelnya

$x$

dan kami memperoleh vektor eigen berikut:

$\displaystyle x = 1 \ \longrightarrow \ y=-5\cdot 1 = -5$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -5\end{pmatrix}$

Terakhir, setelah vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen 1 ditemukan, kita ulangi proses menghitung vektor eigen untuk nilai eigen 2:

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

$\displaystyle (A-2I)\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-1&0\\[1.1ex] 5&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -x+0y = 0 \\[2ex] 5x+0y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ x=0$

Dalam hal ini, hanya komponen pertama dari vektor yang harus bernilai 0, sehingga kita dapat memberikan nilai apa pun

$y$

. Namun untuk lebih mudahnya lebih baik diberi angka 1:

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

Kesimpulannya, nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut adalah:

$\displaystyle \lambda = 1 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -5 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

Setelah Anda mengetahui cara mencari nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks, Anda mungkin bertanya-tanya… dan untuk apa? Ternyata mereka sangat berguna untuk diagonalisasi matriks , bahkan itu adalah aplikasi utamanya. Untuk mempelajari lebih lanjut, kami sarankan untuk memeriksa cara mendiagonalisasi matriks dengan tautan, yang prosedurnya dijelaskan langkah demi langkah dan terdapat juga contoh serta latihan yang diselesaikan untuk dipraktikkan.

Latihan soal nilai eigen dan vektor eigen (nilai eigen dan vektor eigen)

Latihan 1

Hitung nilai eigen dan vektor eigen matriks persegi orde 2 berikut:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}3&1\\[1.1ex] 2&4\end{pmatrix}$

lihat solusi

Pertama-tama kita hitung determinan matriks dikurangi λ pada diagonal utamanya:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}3- \lambda &1\\[1.1ex] 2&4-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-7\lambda +10$

Sekarang mari kita hitung akar-akar polinomial karakteristik:

$\displaystyle \lambda^2-7\lambda +10=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda = 2 \\[2ex] \lambda = 5 \end{cases}$

Kami menghitung vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen 2:

$\displaystyle (A- 2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}1&1\\[1.1ex] 2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} x+y = 0 \\[2ex] 2x+2y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ x=-y$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix}$

Dan kemudian kita menghitung vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen 5:

$\displaystyle (A-5I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-2&1\\[1.1ex] 2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2x+y = 0 \\[2ex] 2x-y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ y=2x$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

Oleh karena itu, nilai eigen dan vektor eigen matriks A adalah:

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 5 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

Latihan 2

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks persegi 2×2 berikut:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&1\\[1.1ex] 3&0\end{pmatrix}$

lihat solusi

Kita hitung terlebih dahulu determinan matriks dikurangi λ pada diagonal utamanya untuk memperoleh persamaan karakteristik:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}2- \lambda &1\\[1.1ex] 3&-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-2\lambda -3$

Sekarang mari kita hitung akar-akar polinomial karakteristik:

$\displaystyle \lambda^2-2\lambda -3=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda = -1 \\[2ex] \lambda = 3 \end{cases}$

Kami menghitung vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen -1:

$\displaystyle (A-(-1)I)v=0$

$\displaystyle (A+1I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3&1\\[1.1ex] 3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 3x+1y = 0 \\[2ex] 3x+1y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ y=-3x$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -3 \end{pmatrix}$

Dan kemudian kita menghitung vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen 3:

$\displaystyle (A-3I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-1&1\\[1.1ex] 3&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -1x+1y = 0 \\[2ex] 3x-3y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ y=x$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

Oleh karena itu, nilai eigen dan vektor eigen matriks A adalah:

$\displaystyle \lambda = -1 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

Latihan 3

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks orde 3 berikut:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}1&2&0\\[1.1ex] 2&1&0\\[1.1ex] 0&1&2\end{pmatrix}$

lihat solusi

Pertama-tama kita harus menyelesaikan determinan matriks A dikurangi matriks identitas dikalikan lambda untuk memperoleh persamaan karakteristik:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}1-\lambda&2&0\\[1.1ex] 2&1-\lambda&0\\[1.1ex] 0&1&2-\lambda\end{vmatrix}$

Dalam hal ini, kolom terakhir determinan memiliki dua angka nol, jadi kita akan memanfaatkan kolom ini untuk menghitung determinan berdasarkan kofaktor (atau komplemen) melalui kolom ini:

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix}1-\lambda&2&0\\[1.1ex] 2&1-\lambda&0\\[1.1ex] 0&1&2-\lambda\end{vmatrix}& = (2-\lambda)\cdot \begin{vmatrix}1-\lambda&2\\[1.1ex] 2&1-\lambda \end{vmatrix} \\[3ex] & = (2-\lambda)[\lambda^2 -2\lambda -3] \end{aligned}$

Sekarang kita perlu menghitung akar-akar polinomial karakteristik. Sebaiknya jangan mengalikan tanda kurung karena dengan begitu kita akan memperoleh polinomial derajat ketiga, sebaliknya jika kedua faktor diselesaikan secara terpisah akan lebih mudah untuk mendapatkan nilai eigennya:

$\displaystyle (2-\lambda)[\lambda^2 -2\lambda -3]=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} 2-\lambda=0 \ \longrightarrow \ \lambda = 2 \\[2ex] \lambda^2 -2\lambda -3=0 \ \longrightarrow \begin{cases}\lambda = -1 \\[2ex] \lambda = 3 \end{cases} \end{cases}$

Kami menghitung vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen 2:

$\displaystyle (A-2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -1&2&0\\[1.1ex] 2&-1&0\\[1.1ex] 0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -x+2y = 0 \\[2ex] 2x-y = 0\\[2ex] y=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=0 \\[2ex] x=y=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Kami menghitung vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen -1:

$\displaystyle (A+I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2&2&0\\[1.1ex] 2&2&0\\[1.1ex] 0&1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2x+2y = 0 \\[2ex] 2x+2y = 0\\[2ex] y+3z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=-y \\[2ex] y=-3z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}3 \\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Kami menghitung vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen 3:

$\displaystyle (A-3I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2&2&0\\[1.1ex] 2&-2&0\\[1.1ex] 0&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2x+2y = 0 \\[2ex] 2x-2y = 0\\[2ex] y-z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=y \\[2ex] y=z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Oleh karena itu, nilai eigen dan vektor eigen matriks A adalah:

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = -1 \qquad v = \begin{pmatrix}3 \\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Latihan 4

Hitung nilai eigen dan vektor eigen matriks persegi 3×3 berikut:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&1&3\\[1.1ex]-1&1&1\\[1.1ex] 1&2&4\end{pmatrix}$

lihat solusi

Pertama-tama kita selesaikan determinan matriks dikurangi λ pada diagonal utamanya untuk mendapatkan persamaan karakteristik:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}2-\lambda&1&3\\[1.1ex]-1&1-\lambda&1\\[1.1ex] 1&2&4-\lambda\end{vmatrix}=-\lambda^3+7\lambda^2-10\lambda$

Kami mengekstrak faktor persekutuan dari polinomial karakteristik dan menyelesaikan λ dari setiap persamaan:

$\displaystyle \lambda(-\lambda^2+7\lambda-10)=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda=0\\[2ex] -\lambda^2+7\lambda-10=0 \ \longrightarrow \begin{cases}\lambda = 2 \\[2ex] \lambda = 5 \end{cases} \end{cases}$

Kami menghitung vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen 0:

$\displaystyle (A-0I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2&1&3\\[1.1ex]-1&1&1\\[1.1ex] 1&2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2x+y+3z= 0 \\[2ex] -x+y+z= 0\\[2ex] x+2y+4z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=-\cfrac{2z}{3} \\[4ex] y=-\cfrac{5z}{3} \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}-2 \\[1.1ex] -5\\[1.1ex] 3\end{pmatrix}$

Kami menghitung vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen 2:

$\displaystyle (A-2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0&1&3\\[1.1ex]-1&-1&1\\[1.1ex] 1&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} y+3z = 0 \\[2ex] -x-y+z= 0\\[2ex] x+2y+2z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=-3z \\[2ex] x=4z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}4\\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Kami menghitung vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen 5:

$\displaystyle (A-5I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -3&1&3\\[1.1ex]-1&-4&1\\[1.1ex] 1&2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -3x+y+3z = 0 \\[2ex] -x-4y+z = 0\\[2ex] x+2y-z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=z \\[2ex] y=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Oleh karena itu, nilai eigen dan vektor eigen matriks A adalah:

$\displaystyle \lambda = 0 \qquad v = \begin{pmatrix}-2 \\[1.1ex] -5 \\[1.1ex] 3\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}4 \\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 5 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Latihan 5

Hitung nilai eigen dan vektor eigen matriks 3×3 berikut:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&2&2\\[1.1ex] 1&2&0\\[1.1ex] 0&1&3\end{pmatrix}$

lihat solusi

Pertama-tama kita selesaikan determinan matriks dikurangi λ pada diagonal utamanya untuk mendapatkan persamaan karakteristik:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}2-\lambda&2&2\\[1.1ex] 1&2-\lambda&0\\[1.1ex] 0&1&3-\lambda\end{vmatrix}=-\lambda^3+7\lambda^2-14\lambda+8$

Kita mencari akar polinomial karakteristik atau polinomial minimum menggunakan aturan Ruffini:

$\displaystyle \begin{array}{r|rrrr} & -1&7&-14&8 \\[2ex] 1 & & -1&6&-8 \\ \hline &-1\vphantom{\Bigl)}&6&-8&0 \end{array}$

Dan kemudian kita menemukan akar polinomial yang diperoleh:

$\displaystyle -\lambda^2+6\lambda -8=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda =2 \\[2ex] \lambda = 4 \end{cases}$

Jadi nilai eigen matriksnya adalah:

$\lambda=1 \qquad \lambda =2 \qquad \lambda = 4$

Kami menghitung vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen 1:

$\displaystyle (A-1I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1&2&2\\[1.1ex] 1&1&0\\[1.1ex] 0&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} x+2y+2z= 0 \\[2ex] x+y= 0\\[2ex] y+2z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=-y \\[2ex] y=-2z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] -2\\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Kami menghitung vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen 2:

$\displaystyle (A-2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0&2&2\\[1.1ex] 1&0&0\\[1.1ex] 0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2y+2z = 0 \\[2ex] x= 0\\[2ex] y+z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=-z \\[2ex] x=0\end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0\\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Kami menghitung vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen 4:

$\displaystyle (A-4I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2&2&2\\[1.1ex] 1&-2&0\\[1.1ex] 0&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2x+2y+2z = 0 \\[2ex] x-2y = 0\\[2ex] y-z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=2y \\[2ex] y=z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Oleh karena itu, nilai eigen dan vektor eigen matriks A adalah:

$\displaystyle \lambda = 1 \qquad v = \begin{pmatrix}2\\[1.1ex] -2 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 4 \qquad v = \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Latihan 6

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks 4×4 berikut:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2&0\\[1.1ex] 0&0&0&3\end{pmatrix}$

lihat solusi

Pertama-tama kita harus menyelesaikan determinan matriks dikurangi λ pada diagonal utamanya untuk mendapatkan persamaan karakteristik:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}1-\lambda&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1-\lambda&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2-\lambda&0\\[1.1ex] 0&0&0&3-\lambda\end{vmatrix}$

Dalam hal ini, kolom terakhir determinan hanya berisi nol kecuali satu elemen, oleh karena itu kita akan memanfaatkan kolom ini untuk menghitung determinan berdasarkan kofaktor melalui kolom ini:

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix}1-\lambda&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1-\lambda&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2-\lambda&0\\[1.1ex] 0&0&0&3-\lambda\end{vmatrix}& = (3-\lambda)\cdot \begin{vmatrix}1-\lambda&0&-1\\[1.1ex] 2&-1-\lambda&-3\\[1.1ex] -2&0&2-\lambda\end{vmatrix} \\[3ex] & = (3-\lambda)[-\lambda^3 +2\lambda^2 +3\lambda] \end{aligned}$

Sekarang kita harus menghitung akar-akar polinomial karakteristik. Sebaiknya jangan mengalikan tanda kurung karena dengan begitu kita akan memperoleh polinomial derajat keempat, sebaliknya jika kedua faktor diselesaikan secara terpisah akan lebih mudah untuk menghitung nilai eigennya:

$\displaystyle (3-\lambda)[-\lambda^3 +2\lambda^2 +3\lambda]=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} 3-\lambda=0 \ \longrightarrow \ \lambda = 3 \\[2ex] -\lambda^3 +2\lambda^2 +3\lambda =0 \ \longrightarrow \ \lambda(-\lambda^2 +2\lambda +3) =0 \end{cases}$

$\displaystyle \lambda(-\lambda^2 +2\lambda +3)=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda=0 \\[2ex] -\lambda^2 +2\lambda +3=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda=-1 \\[2ex] \lambda = 3 \end{cases}\end{cases}$

Kami menghitung vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen 0:

$\displaystyle (A-0I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2&0\\[1.1ex] 0&0&0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} w-y = 0 \\[2ex] 2w-x-3y = 0\\[2ex] -2w+2y=0 \\[2ex] 3z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} w=y \\[2ex] x=-w \\[2ex]z=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

Kami menghitung vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen -1:

$\displaystyle (A+1I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2&0&-1&0\\[1.1ex] 2&0&-3&0\\[1.1ex] -2&0&3&0\\[1.1ex] 0&0&0&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2w-y = 0 \\[2ex] 2w-3y = 0\\[2ex] -2w+3y=0 \\[2ex] 4z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=w=0 \\[2ex]z=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

Kami menghitung vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen 3:

$\displaystyle (A-3I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-4&-3&0\\[1.1ex] -2&0&-1&0\\[1.1ex] 0&0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2w-y = 0 \\[2ex] 2w-4x-3y = 0\\[2ex] -2w-y=0 \\[2ex] 0=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=-2w \\[2ex] x=2w \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 2 \\[1.1ex] -2 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

Nilai eigen 3 mempunyai multiplisitas sama dengan 2, karena diulang dua kali. Oleh karena itu kita harus mencari vektor eigen lain yang memenuhi persamaan yang sama:

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]1 \end{pmatrix}$

Oleh karena itu, nilai eigen dan vektor eigen matriks A adalah:

$\displaystyle \lambda = 0 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex]0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = -1 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 2 \\[1.1ex] -2 \\[1.1ex]0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]1\end{pmatrix}$

Apa yang dimaksud dengan nilai eigen dan vektor eigen?

Bagaimana cara menghitung nilai eigen (atau nilai eigen) dan vektor eigen (atau vektor eigen) suatu matriks?

Contoh penghitungan nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks:

Latihan soal nilai eigen dan vektor eigen (nilai eigen dan vektor eigen)

Latihan 1

Latihan 2

Latihan 3

Latihan 4

Latihan 5

Latihan 6

Tinggalkan Komentar Batalkan Balasan