Hitung perkalian titik dua vektor -

Di halaman ini Anda akan melihat apa itu dan bagaimana menghitung perkalian titik dua vektor. Anda juga akan mempelajari cara mencari sudut antara dua vektor menggunakan perkalian titik dan, sebagai tambahan, semua properti perkalian titik. Terakhir, Anda akan dapat berlatih dengan contoh dan latihan yang diselesaikan langkah demi langkah.

Cara menghitung perkalian titik antara dua vektor

Dalam matematika, perkalian titik adalah operasi vektor yang mengalikan dua vektor dan mengubahnya menjadi bilangan real. Jadi, ada dua cara untuk menghitung perkalian titik dua vektor:

Jika kita mengetahui koordinat dua vektor, kita dapat mencari perkalian titiknya dengan mengalikan komponen X dan Y lalu menjumlahkan hasilnya. Dengan kata lain, jika kita mempunyai dua vektor:

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y) \qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

Produk skalar di antara keduanya adalah:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \text{u}_x\cdot \text{v}_x + \text{u}_y\cdot \text{v}_y$

Misalnya, hasil kali titik antara dua vektor berikut adalah:

$\vv{\text{u}} = (1,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,3)$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}&=(1,2)\cdot (-1,3) \\[1.5ex]&=1\cdot (-1) + 2 \cdot 3 \\[1.5ex] & = -1+6 \\[1.5ex] & =\bm{5} \end{aligned}$

Ini adalah cara mencari perkalian titik antara dua vektor. Namun, ada juga cara lain:

Sebaliknya, jika kita mengetahui modulus dan sudut antara dua vektor, hasil kali skalar antara kedua vektor tersebut dapat ditentukan dengan menghitung hasil kali modul keduanya dengan kosinus sudut yang dibentuknya:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

Emas

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

Dan

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

adalah modul dari vektor

$\vv{\text{u}}$

Dan

$\vv{\text{v}}$

masing-masing dan

$\alpha$

sudut yang mereka buat.

Ingatlah bahwa besar suatu vektor adalah akar kuadrat komponen-komponennya:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ \text{u}_x^2+\text{u}_y^2}$

Sebagai contoh, kita akan menyelesaikan perkalian skalar dua buah vektor yang modulusnya dan sudut antara keduanya adalah:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =3 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 4 \qquad \alpha=60º$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 3 \cdot 4 \cdot \cos(60º)\\[1.5ex] & = 3 \cdot 4 \cdot 0,5 \\[1.5ex] &= \bm{6} \end{aligned}$

Di sisi lain, perkalian titik disebut juga perkalian titik, perkalian skalar, atau perkalian titik.

Catatan: Jangan bingung membedakan perkalian titik dengan perkalian silang karena walaupun namanya mirip, keduanya merupakan konsep yang berbeda.

Temukan sudut antara dua vektor menggunakan perkalian titik

Setelah kita melihat definisi perkalian titik, Anda mungkin bertanya-tanya apa tujuan mengalikan dua vektor? Nah, salah satu penerapan perkalian titik adalah untuk menghitung sudut yang dibentuk oleh dua buah vektor.

Dengan menyelesaikan kosinus rumus perkalian titik, kita memperoleh:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}\newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}\end{empheq}$

Mari kita lihat bagaimana hal ini dilakukan melalui sebuah contoh:

Tentukan sudut antara dua vektor berikut:

$\vv{\text{u}} = (4,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,5)$

Pertama kita perlu mencari besar kedua vektor tersebut:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 4^2+2^2}= \sqrt{20}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

Sekarang kita gunakan rumus untuk menghitung kosinus sudut antara dua vektor:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot (-1) + 2\cdot 5}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{6}{\sqrt{520}} = 0,26$

Terakhir, kita mencari sudut yang bersesuaian dengan melakukan invers cosinus menggunakan kalkulator:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,26) = \bm{74,93º}$

Jadi vektor-vektor tersebut membentuk sudut 74,93º.

Sifat-sifat perkalian titik dua vektor

Perkalian titik mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:

Sifat komutatif : Urutan perkalian vektor tidak menjadi masalah.

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}$

Sifat distributif : Perkalian titik bersifat distributif terhadap penjumlahan dan pengurangan vektor:

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}+ \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}+ \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}- \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}- \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

Properti asosiatif : Kita dapat mengalikan perkalian titik dengan konstanta sebelum atau sesudah melakukan operasi, karena hasilnya setara:

$\displaystyle k\cdot (\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}) = (k\cdot\vv{\text{u}}) \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{u}} \cdot (k\cdot\vv{\text{v}})$

Jika dua vektor ortogonal (atau tegak lurus), maka hasil kali titiknya adalah nol. Sifat ini dapat dengan mudah ditunjukkan karena dua vektor yang tegak lurus membentuk sudut 90º, dan kosinus 90º sama dengan 0:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(90º ) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 0 \\[1.5ex] &= 0 \end{aligned}$

Sebaliknya, jika dua vektor sejajar maka hasil kali skalarnya sama dengan hasil kali modulnya. Sifat ini juga dapat dengan mudah diverifikasi karena dua vektor yang arahnya sama membentuk sudut 0º, yang kosinusnya sama dengan 1:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(0º) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 1 \\[1.5ex] &= \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \end{aligned}$

Akhirnya, perkalian titik suatu vektor dengan dirinya sendiri setara dengan kuadrat besarnya:

$\displaystyle\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{u}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert ^2$

Menyelesaikan masalah hasil kali skalar antara dua vektor

Latihan 1

Hitung perkalian titik pada bidang dua vektor berikut:

$\vv{\text{u}} = (4,-3) \qquad \vv{\text{v}} = (5,2)$

lihat solusi

Untuk menghitung perkalian titik dua vektor, kita perlu mengalikan koordinat X dan koordinat Y, lalu menjumlahkan hasilnya:

$\displaystyle \begin{aligned}\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = (4,-3)\cdot (5,2) \\[1.5ex] & = 4\cdot 5 + (-3) \cdot 2 \\[1.5ex] & = 20-6\\[1.5ex] & =\bm{14} \end{aligned}$

Latihan 2

Tentukan hasil kali skalar dua buah vektor yang modulusnya dan sudut yang dibentuknya adalah:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =6 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 3 \qquad \alpha=45º$

lihat solusi

Karena kita mengetahui modulnya dan sudut antar modulnya, kita dapat langsung menerapkan rumus perkalian titik:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 6 \cdot 3 \cdot \cos(45º)\\[1.5ex] & = 6 \cdot 3 \cdot 0,71 \\[1.5ex] &= \bm{12,73} \end{aligned}$

Latihan 3

Berapakah sudut antara dua vektor berikut?

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(3,8) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,1)$

lihat solusi

Pertama, kita perlu menghitung besar kedua vektor:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 3^2+8^2}= \sqrt{73}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-4)^2+1^2}= \sqrt{17}$

Kami menggunakan rumus untuk menghitung kosinus sudut yang dibentuk oleh vektor:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 3\cdot (-4) + 8\cdot 1}{\sqrt{73}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{-4}{\sqrt{1241}} = -0,11$

Dan terakhir, kita mencari sudut yang bersesuaian dengan melakukan invers kosinus menggunakan kalkulator:

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,11) = \bm{96,52º}$

Latihan 4

Perhatikan dua vektor berikut:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,2) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,6)$

Hitung operasi berikut:

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

lihat solusi

Pertama-tama kita perlu menyelesaikan perkalian titik di dalam tanda kurung, kemudian melakukan perkalian dengan perkalian titik di luar:

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

$4 \bigl((5,2) \cdot (-1,6) \bigr)$

$4 \bigl(5 \cdot (-1) + 2 \cdot 6 \bigr)$

$4 \bigl(-5 + 12 \bigr)$

$4 \cdot 7$

$\bm{28}$

Latihan 5

Diketahui tiga vektor dua dimensi berikut:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,6) \qquad \vv{\text{v}} =(4,-3)\qquad \vv{\text{w}} =(-1,2)$

Hitung operasi berikut:

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

lihat solusi

Pertama, kita mengalikan vektor dengan skalar di dalam tanda kurung:

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( 5 (-2,6)- 2(4,-3)\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( (-10,30)- (8,-6)\bigr)$

Sekarang kita melakukan pengurangan vektor:

$(-1,2) \cdot (-10 -8,30-(-6))$

$(-1,2) \cdot (-18,36)$

Dan terakhir, kita menyelesaikan perkalian skalar:

$(-1)\cdot (-18) + 2 \cdot 36$

$18 + 72$

$\bm{90}$

Latihan 6

Hitung nilai dari

$k$

sehingga vektor-vektor berikut tegak lurus:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-3) \qquad \vv{\text{v}} =(k,6)$

lihat solusi

Dua buah vektor tegak lurus membentuk sudut 90º. Jadi kosinus sudutnya harus nol, karena cos(90º)=0. Belum:

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

Penyebut pecahan membagi seluruh ruas kanan persamaan, sehingga kita dapat meneruskannya dengan mengalikannya di ruas lainnya:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Kami sekarang menyelesaikan produk skalar:

$\displaystyle 0 =(-2,-3) \cdot (k,6)$

$\displaystyle 0 =-2 \cdot k + (-3)\cdot 6$

$\displaystyle 0 =-2 k -18$

Dan, akhirnya, kami mengklarifikasi hal yang tidak diketahui:

$\displaystyle 2k =-18$

$\displaystyle k =\cfrac{-18}{2}$

$\displaystyle \bm{k =-9}$

Latihan 7

Hitung sudut

$\alpha , \beta$

Dan

$\gamma$

yang membentuk sisi-sisi segitiga berikut:

latihan dan soal diselesaikan selangkah demi selangkah dari perkalian skalar dua vektor

lihat solusi

Titik-titik sudut yang membentuk segitiga adalah titik-titik berikut:

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

Untuk menghitung sudut dalam suatu segitiga, kita dapat menghitung vektor masing-masing sisinya, lalu mencari sudut yang dibentuknya menggunakan rumus perkalian titik.

Misalnya untuk mencari sudut

$\alpha$

Kami menghitung vektor sisi-sisinya:

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

Dan kita mencari sudut yang dibentuk oleh dua vektor menggunakan rumus perkalian titik:

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

Sekarang kita ulangi prosedur yang sama untuk menentukan sudut

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

Terakhir, untuk mencari sudut terakhir, kita bisa mengulangi prosedur yang sama. Namun, semua sudut dalam segitiga harus berjumlah 180 derajat, jadi:

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

Cara menghitung perkalian titik antara dua vektor

Temukan sudut antara dua vektor menggunakan perkalian titik

Sifat-sifat perkalian titik dua vektor

Menyelesaikan masalah hasil kali skalar antara dua vektor

Latihan 1

Latihan 2

Latihan 3

Latihan 4

Latihan 5

Latihan 6

Latihan 7

Tinggalkan Komentar Batalkan Balasan