Rentang array berdasarkan parameter

Di halaman ini, Anda akan melihat cara menghitung peringkat tabel berdasarkan parameter. Anda juga akan menemukan contoh langkah demi langkah dan latihan yang diselesaikan tentang cara mencari rentang matriks berdasarkan satu parameter.

Untuk memahami sepenuhnya tata cara mempelajari pangkat matriks dengan parameter, penting bagi Anda untuk mengetahui cara menghitung pangkat suatu matriks berdasarkan determinan . Jadi kami menyarankan Anda mempelajari dua hal ini terlebih dahulu sebelum melanjutkan membaca.

Cara menghitung rentang array berdasarkan parameter. Contoh:

  • Menentukan rentang matriks A berdasarkan nilai parameter yang berbeda

    \displaystyle a :

\displaystyle A= \begin{pmatrix} a+1 & -1 & a+1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & a \end{pmatrix}

Matriks A paling banyak mempunyai rangking 3, karena merupakan matriks orde 3. Oleh karena itu, hal pertama yang perlu kita lakukan adalah menyelesaikan determinan seluruh matriks 3×3 denganaturan Sarrus , untuk melihat apakah dapat menduduki peringkat 3:

\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} a+1 & -1 & a+1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & a \end{vmatrix} & =-a(a+1)+0+0+a+1-0-0 \\ & =-a^2-a+a+1 \\[1.5ex] & =-a^2+1 \end{aligned}

Hasil determinan merupakan fungsi dari parameter

\displaystyle a

. Oleh karena itu, kami menetapkan hasilnya sama dengan 0 untuk melihat kapan tabel tersebut akan berada di peringkat 2 dan kapan akan berada di peringkat 3:

\displaystyle -a^2+1 = 0

Dan kami menyelesaikan persamaan yang dihasilkan:

\displaystyle a^2 = 1

\displaystyle \sqrt{a^2} = \sqrt{1}

\displaystyle \bm{a = \pm 1}

Oleh karena itu, kapan

\displaystyle a

apakah itu +1 atau -1, determinan 3×3 akan menjadi 0 dan oleh karena itu, rank matriksnya tidak akan menjadi 3. Sebaliknya, ketika

\displaystyle a

berbeda dari +1 dan -1, determinannya akan berbeda dari 0 dan oleh karena itu, matriksnya akan mempunyai rangking 3.

\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq +1,-1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

Sekarang mari kita lihat apa yang terjadi ketika

\displaystyle \bm{a=+1} :

\displaystyle a = +1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}

Seperti yang kita lihat sebelumnya, kapan

\displaystyle a

adalah 1 determinan matriksnya adalah 0. Oleh karena itu, matriks tersebut tidak mungkin berpangkat 3. Sekarang kita coba menghitung determinan 2×2 yang berbeda dengan 0 di dalam matriks, misalnya yang ada di pojok kiri atas:

\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{vmatrix} =-2-0= -2 \neq 0

Penentu orde 2 berbeda dengan 0. Jadi, bila parameternya

\displaystyle a

atau +1, pangkat matriksnya adalah 2:

\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = +1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

Setelah kita melihat rentang matriks kapan

\displaystyle a \neq +1,-1

dan kapan

\displaystyle a=+1

Mari kita lihat apa yang terjadi ketika

\displaystyle \bm{a = -1} :

\displaystyle a = -1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & -1 \end{pmatrix}

Seperti yang kita lihat di awal, kapan

\displaystyle a

es -1 dan determinan matriksnya adalah 0. Oleh karena itu, tidak dapat diset ke rangking 3. Oleh karena itu, kita harus mencoba mencari determinan 2×2 pada matriks yang berbeda dari 0, misalnya matriks yang lebih rendah bagian dari matriks. KIRI:

\displaystyle \begin{vmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & -2 \end{vmatrix} = 0-(-1)= 1\neq 0

Penentu dimensi 2 berbeda dengan 0. Jadi, bila parameternya

\displaystyle a

atau -1, peringkat tabelnya menjadi 2:

\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

Oleh karena itu kami menemukan 3 kasus berbeda di mana peringkat matriks A bergantung pada nilai yang diambil parameternya

\displaystyle a.

Berikut ringkasannya :

\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq +1,-1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = +1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\ & \end{array} }

Sekarang setelah Anda mengetahui cara mendiskusikan rentang matriks yang bergantung pada parameter, Anda dapat berlatih melakukan latihan langkah demi langkah di bawah ini. Untuk mengatasinya, properti determiner pasti akan membantu Anda, jadi jika Anda belum begitu paham tentangnya, saya menyarankan Anda untuk melihat terlebih dahulu halaman tertaut, di mana masing-masingnya dijelaskan dengan contoh.

Memperbaiki masalah rentang matriks berbasis parameter

Latihan 1

Pelajari rentang tabel berikut berdasarkan nilai parameternya

\displaystyle a :

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & a \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Matriks A paling banyak mempunyai rangking 3, karena matriksnya berukuran 3×3. Oleh karena itu, hal pertama yang perlu kita lakukan adalah menyelesaikan determinan seluruh matriks (dengan aturan Sarrus), untuk melihat apakah matriks tersebut dapat menduduki peringkat 3:

\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 1 & a \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} =0-8+2a-4a+12-0 =-2a+4

Kami menetapkan hasilnya sama dengan 0 untuk melihat kapan array akan berada di peringkat 2 dan kapan peringkat 3:

\displaystyle -2a+4=0

\displaystyle -2a=-4

\displaystyle a=\cfrac{-4}{-2} = 2

Oleh karena itu, kapan

\displaystyle a

berbeda dengan 2, determinan 3×3 akan berbeda dengan 0 sehingga rank matriksnya adalah 3.

\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq 2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

Sekarang mari kita lihat apa yang terjadi ketika

\displaystyle a=2 :

\displaystyle a = 2 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}= 0

\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 2 & 2 \end{vmatrix} = 6-2 = 4 \neq 0

\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = 2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

Oleh karena itu kami menemukan 2 kasus di mana rentang matriks A bervariasi dengan nilai yang diambil parameternya:

\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq 2 \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = 2\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\ & \end{array} }

Latihan 2

Temukan rentang tabel berikut berdasarkan nilai parameter

\displaystyle a :

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] a & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & a \end{pmatrix}

Matriks A paling banyak mempunyai rangking 3, karena matriksnya berukuran 3×3. Oleh karena itu, hal pertama yang perlu kita lakukan adalah menyelesaikan determinan seluruh matriks (dengan aturan Sarrus), untuk melihat apakah matriks tersebut dapat menduduki peringkat 3:

\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] a & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & a \end{vmatrix} & =2a-12-2a+2+12-2a^2 \\ &=2-2a^2\end{aligned}

Kami menetapkan hasilnya sama dengan 0 untuk melihat kapan array akan berada di peringkat 2 dan kapan peringkat 3:

\displaystyle 2-2a^2=0

\displaystyle -2a^2=-2

\displaystyle a^2=\cfrac{-2}{-2}

\displaystyle a^2=1

\displaystyle a=\pm 1

Oleh karena itu, kapan

\displaystyle a

berbeda dengan +1 dan -1, determinan 3×3 akan berbeda dengan 0 sehingga rank matriksnya adalah 3.

\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq +1, -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

Sekarang mari kita lihat apa yang terjadi ketika

\displaystyle a=+1 :

\displaystyle a = +1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & 1 \end{vmatrix}= 0

\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{vmatrix} = 6-1 = 5 \neq 0

\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = +1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

Sekarang mari kita lihat apa yang terjadi ketika

\displaystyle a=-1 :

\displaystyle a = -1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \end{pmatrix}

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \end{vmatrix}= 0

\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{vmatrix} =2-(-2) = 4 \neq 0

\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

Oleh karena itu kami menemukan 3 kasus di mana rentang matriks A bervariasi bergantung pada nilai yang diambil parameternya:

\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq +1,-1 \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = +1\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -1\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\ & \end{array} }

Latihan 3

Menghitung rentang tabel berikut berdasarkan nilai parameter

\displaystyle a :

\displaystyle A=\begin{pmatrix} a+1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & a-3 \end{pmatrix}

Matriks A paling banyak mempunyai rangking 3, karena matriksnya berukuran 3×3. Oleh karena itu, hal pertama yang perlu kita lakukan adalah menyelesaikan determinan seluruh matriks (dengan aturan Sarrus), untuk melihat apakah matriks tersebut dapat menduduki peringkat 3:

\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} a+1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & a-3 \end{vmatrix} & =(a+1)(a-3) +2+0-5+6(a+1)-0 \\ & = a^2-3a+a-3 +2-5+6a+6 \\[1.5ex] & =a^2+4a\end{aligned}

Kami menetapkan hasilnya sama dengan 0 untuk melihat kapan array akan berada di peringkat 2 dan kapan peringkat 3:

\displaystyle a^2+4a=0

Ini adalah persamaan kuadrat tidak lengkap, jadi kita ekstrak faktor persekutuannya:

\displaystyle a(a+4)=0

Dan kami menetapkan setiap suku sama dengan 0:

\displaystyle a(a+4)=0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{a = 0} \\[2ex] a+4=0 \ \longrightarrow \ \bm{a=-4}\end{cases}

Kami memperoleh 0 dan -4 sebagai solusi. Oleh karena itu, kapan

\displaystyle a

berbeda dari 0 dan -4, determinan 3×3 akan berbeda dari 0 sehingga rank matriksnya adalah 3.

\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq 0, -4 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

Sekarang mari kita lihat apa yang terjadi ketika

\displaystyle a=0 :

\displaystyle a = 0 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -3 \end{pmatrix}

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -3 \end{vmatrix}= 0

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 1 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{vmatrix} = 1-0 = 1 \neq 0

\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = 0 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

Sekarang mari kita lihat apa yang terjadi ketika

\displaystyle a=-4 :

\displaystyle a = -4 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} -3 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -7 \end{pmatrix}

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -3 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -7 \end{vmatrix}= 0

\displaystyle \begin{vmatrix} -3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 1\end{vmatrix} =-3-0 = -3 \neq 0

\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -4 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

Oleh karena itu kami menemukan 3 kasus di mana rentang matriks A bervariasi bergantung pada nilai yang diambil parameternya:

\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq 0,-4 \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = 0\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -4\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\ & \end{array} }

Latihan 4

Tentukan luas matriks berdimensi 3×4 berikut sesuai dengan nilai parameternya

\displaystyle a :

\displaystyle A=\begin{pmatrix} -1&-3&-2&1\\[1.1ex] 4&12&8&-4\\[1.1ex] 2&6&4&a \end{pmatrix}

Matriks A paling banyak berada pada peringkat 3, karena kita tidak dapat menghitung determinan 4×4 apa pun. Oleh karena itu, hal pertama yang perlu kita lakukan adalah menyelesaikan semua kemungkinan determinan orde 3 (dengan aturan Sarrus), untuk melihat apakah determinan tersebut dapat berorde 3:

\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -1&-3&-2\\[1.1ex] 4&12&8\\[1.1ex] 2&6&4 \end{vmatrix} & =-48-48-48+48+48+48 =\bm{0}\end{aligned}

\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -1&-3&1\\[1.1ex] 4&12&-4\\[1.1ex] 2&6&a \end{vmatrix} & =-12a+24+24-24-24+12a=\bm{0}\end{aligned}

\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -1&-2&1\\[1.1ex] 4&8&-4\\[1.1ex] 2&4&a \end{vmatrix} & =-8a+16+16-16-16+8a=\bm{0}\end{aligned}

\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -3&-2&1\\[1.1ex] 12&8&-4\\[1.1ex] 6&4&a \end{vmatrix} & =-24a+48+48-48-48+24a=\bm{0}\end{aligned}

Hasil semua kemungkinan determinan orde 3 adalah 0, berapa pun nilainya

\displaystyle a

. Jadi matriksnya tidak akan pernah berada pada peringkat 3, karena tidak peduli berapa pun nilainya

\displaystyle a

bahwa tidak akan pernah ada determinan 3×3 selain 0.

Jadi sekarang kita coba determinan berdimensi 2 × 2. Namun semua determinan berorde 2 juga menghasilkan 0 kecuali yang berikut:

\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} 8&-4\\[1.1ex] 4&a \end{vmatrix} & =8a+16 \end{aligned}

Sekarang kita atur hasilnya sama dengan 0 dan selesaikan persamaannya:

\displaystyle 8a+16=0

\displaystyle 8a=-16

\displaystyle a=\cfrac{-16}{8} =-2

Oleh karena itu, kapan

\displaystyle a

berbeda dengan -2, determinan 2×2 akan berbeda dengan 0 sehingga rank matriksnya adalah 2.

\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq -2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

Sekarang mari kita lihat apa yang terjadi ketika

\displaystyle a=-2 :

\displaystyle a = -2 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} -1&-3&-2&1\\[1.1ex] 4&12&8&-4\\[1.1ex] 2&6&4&-2 \end{pmatrix}

Seperti yang kita lihat sebelumnya, kapan

\displaystyle a

adalah -2, semua determinan berorde 2 adalah 0. Oleh karena itu, tidak mungkin ada rank 2. Dan karena terdapat paling sedikit satu determinan 1×1 yang berbeda dari 0, maka rank matriksnya adalah 1:

\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=1} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

Oleh karena itu kami menemukan 2 kasus di mana rentang matriks A bervariasi dengan nilai yang diambil parameternya:

\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq -2 \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -2\ \longrightarrow \ Rg(A)=1} \\ & \end{array} }

Tinggalkan Komentar

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

Scroll to Top