Pada artikel ini kami menjelaskan cara menghitung ketidakterbatasan antara ketidakterbatasan (∞/∞). Anda akan menemukan contoh ketidakpastian ini dengan semua jenis fungsi: fungsi polinomial, radikal, eksponensial, dll. Selain itu, Anda akan dapat berlatih dengan latihan yang diselesaikan selangkah demi selangkah dari batasan yang memberikan ketidakpastian tak terhingga di antara ketidakterbatasan.
Bagaimana mengatasi ketidakpastian yang tak terbatas antara yang tak terbatas
Jika limit suatu fungsi menghasilkan tak terhingga dibagi tak terhingga, maka itu berarti tak tentu (atau bentuk tak tentu). Untuk menyelesaikan limit suatu fungsi yang memberikan ketidakterbatasan antara tak terhingga, derajat polinomial pembilangnya harus dibandingkan dengan derajat polinomial penyebutnya.
Hasil dari ketidakterbatasan tak terhingga dibagi tak terhingga bergantung pada derajat pembilang dan derajat penyebut pecahan:
- Jika derajat polinomial pembilangnya lebih kecil dari derajat polinomial penyebutnya, maka ketidakterbatasan dibagi tak terhingga sama dengan nol.
- Jika derajat polinomial pembilangnya sama dengan derajat polinomial penyebutnya, maka ketidakpastian tak terhingga terhadap tak terhingga adalah hasil bagi koefisien utama kedua polinomial tersebut.
- Jika derajat polinomial pembilangnya lebih besar dari derajat polinomial penyebutnya, maka ketidakterbatasan tak terhingga antara tak terhingga menghasilkan lebih atau kurang tak terhingga (tandanya bergantung pada suku utama kedua polinomial tersebut).
Contoh ketidakpastian tak terhingga antara tak terhingga
Mari kita lihat bagaimana bentuk tak terhingga tak terhingga antar tak terhingga diselesaikan dengan melihat beberapa contoh dari setiap kasus:
derajat pembilangnya lebih kecil dari derajat penyebutnya
Seperti yang kita lihat di atas, jika derajat polinomial pembilangnya lebih kecil dari derajat polinomial penyebutnya, maka limit tak tentu tak terhingga antara tak terhingga selalu menghasilkan 0.
Contoh 1:
Polinomial pembilangnya berderajat dua, sedangkan penyebutnya berderajat tiga, sehingga penyelesaian limitnya adalah 0.
Contoh 2:
Fungsi polinomial pembilangnya berderajat satu, tetapi fungsi penyebutnya berderajat empat, sehingga limit negatif tak terhingga adalah 0.
derajat pembilangnya sama dengan derajat penyebutnya
Bila derajat polinomial pembilangnya sama dengan derajat polinomial penyebutnya, batas tak tentu tak terhingga dengan tak terhingga dihitung dengan membagi koefisien terdepan (koefisien suku derajat lebih tinggi) dari kedua polinomial tersebut.
Contoh 3:
Dalam hal ini, kedua polinomial tersebut berderajat kedua, oleh karena itu koefisien suku-suku yang berderajat lebih tinggi perlu dibagi untuk mencari limit pada tak terhingga positif.
Contoh 4:
Meskipun limitnya adalah ketika x cenderung minus tak terhingga, ketidakpastian tak terhingga antara tak terhingga diselesaikan dengan cara yang sama.
Derajat pembilangnya lebih besar dari derajat penyebutnya
Jika derajat polinomial pembilangnya lebih besar daripada derajat polinomial penyebutnya, maka bentuk tak terhingga antara tak terhingga akan selalu menghasilkan tak terhingga, dan tanda tak terhingga ditentukan oleh suku-suku derajat yang lebih tinggi dari kedua polinomial tersebut.
Contoh 5:
Fungsi pembilangnya mempunyai derajat yang lebih tinggi dari pada penyebutnya, sehingga ketidakpastian tak hingga pada tak terhingga menghasilkan tak terhingga. Selain itu, dalam hal ini pembilang dan penyebutnya bernilai positif tak terhingga, sehingga hasil limitnya juga harus positif.
Contoh 6:
Dalam soal ini, bilangan tak terhingga positif diperoleh dari pembilangnya karena setiap suku kuadrat adalah positif, sebaliknya, bilangan tak terhingga negatif diperoleh dari penyebutnya. Oleh karena itu, batas yang dihasilkan adalah negatif karena positif dibagi negatif sama dengan negatif.
Ketidakpastian tak terhingga antara tak terhingga dengan akar
Kita baru saja melihat cara menghitung ketidakpastian tak terhingga antara tak terhingga jika kita mempunyai fungsi polinomial. Tapi… berapa bilangan tak terhingga dibagi tak terhingga jika kita mempunyai akar?
Derajat suatu fungsi irasional (fungsi yang mempunyai akar) adalah hasil bagi antara derajat suku pokok dan indeks akarnya.
Oleh karena itu, jika limit suatu fungsi yang memiliki akar memberikan ketidakpastian antara tak terhingga , kita harus menerapkan aturan yang sama seperti yang dijelaskan di atas untuk derajat pembilang dan penyebutnya, tetapi dengan mempertimbangkan bahwa derajat polinomial dengan akar dihitung secara berbeda.
Perhatikan contoh limit hingga tak terhingga suatu fungsi dengan radikal berikut ini:
Pangkat pembilangnya adalah 2 dan pangkatnya adalah 4 (8/2=4), maka limitnya adalah 0 karena pangkat pembilangnya lebih kecil dari pangkat penyebutnya.
Sebaliknya, jika pangkat pembilang dan penyebutnya sama, maka untuk menghitung limit tak tentu, kita harus mengambil koefisien utama dengan akarnya:
Ketidakpastian tak terhingga antara tak terhingga dengan fungsi eksponensial
Terakhir, kita hanya perlu mempelajari kasus hasil bagi tak terhingga dari tak terhingga: seberapa besar ketidakterbatasan tak terhingga antara fungsi tak terhingga dan fungsi eksponensial.
Pertumbuhan fungsi eksponensial jauh lebih besar daripada pertumbuhan fungsi polinomial, jadi kita harus memperhitungkan bahwa derajat fungsi eksponensial lebih besar daripada derajat fungsi polinomial.
Dalam hal ini penyebutnya dibentuk oleh fungsi eksponensial, sehingga ordenya lebih tinggi dari pembilangnya. Oleh karena itu, bentuk tak terhingga antara tak terhingga lenyap.
Menyelesaikan latihan ketidakpastian tak terhingga antara tak terhingga
Latihan 1
Hitung limit fungsi rasional berikut:
Latihan 2
Selesaikan limit tak tentu berikut ini:
Latihan 3
Selesaikan limit berikut pada tak terhingga:
Latihan 4
Selesaikan limit tak tentu berikut ini:
Latihan 5
Hitung batas berikut setidaknya hingga tak terhingga:
Latihan 6
Selesaikan limit tak tentu suatu fungsi berikut dengan akar-akarnya:
Latihan 7
Tentukan limit hingga tak terhingga dari fungsi berikut dengan pecahan:
Latihan 8
Tentukan limit paling sedikit hingga tak terhingga dari fungsi berikut:
Latihan 9
Selesaikan limit tak terhingga dari fungsi berikut:
Latihan 10
Selesaikan limit berikut dengan ketidakpastian tak terhingga antara tak terhingga:
Latihan 11
Hitung limit berikut:
Latihan 12
Selesaikan limit fungsi berikut ketika x mendekati tak terhingga:
Latihan 13
Hitung limit hingga tak terhingga dari fungsi berikut dengan akar pangkat tiga:
Latihan 14
Selesaikan limit hingga tak terhingga dari fungsi berikut dengan dua radikal:
Latihan 15
Hitung limit berikut: