Definisi matriks dan jenis matriks

Pada artikel ini kami akan menjelaskan apa itu matriks dan bagaimana dimensi suatu matriks ditentukan. Selain itu, Anda akan melihat contoh matriks. Dan terakhir, Anda akan menemukan jenis matriks yang paling penting.

Apa itu matriks?

matriks perintah

$m \times n$

adalah sekumpulan angka yang disusun

$m$

baris dan

$n$

Kolom:

$\displaystyle A =\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\[1.1ex] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\[1.1ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1.1ex] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)$

contoh matriks

Berikut adalah beberapa contoh matriks yang berbeda:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 8 & 7 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

Dimensi sebuah meja

Dimensi suatu array adalah

$\bm{m \times n}$

. Emas

$m$

sesuai dengan jumlah baris matriks, dan

$n$

ke jumlah kolom.

Contoh:

matriks dimensi

$2 \times 3:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\[1.1ex] -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

matriks dimensi

$2 \times 1 :$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 \\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

Jenis matriks

Di bawah ini kami menjelaskan karakteristik jenis matriks yang paling penting.

matriks baris

Matriks berikut hanya mempunyai satu baris:

$\displaystyle\begin{pmatrix} 3 & 6 & -2 \end{pmatrix}$

matriks kolom

Matriks berikut ini hanya mempunyai satu kolom:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 \\[1.1ex] 4 \end{pmatrix}$

matriks yang ditransposisikan

Matriks transpos atau transposisi adalah matriks yang diperoleh dengan mengubah baris menjadi kolom . Dan direpresentasikan dengan memberi tanda “t” di kanan atas matriks

$\left(A^t \right) .$

Contoh:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -1 & 5 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ A^t= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B= \begin{pmatrix} 1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ B^t= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \\[1.1ex] 4 & 2 \end{pmatrix}$

Matriks Persegi

Matriks persegi adalah matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya.

$(m=n ) .$

Misalnya, matriks persegi berorde 3 adalah:

$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & 6 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & -1 & 2 \end{array} \right)$

Diagonal utama matriks persegi terdiri dari elemen-elemen yang bergerak dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah:

Diagonal sekunder matriks persegi sesuai dengan elemen-elemen yang bergerak dari sudut kiri bawah ke sudut kanan atas:

Kami menyarankan Anda melihat semua properti matriks persegi , karena matriks tersebut mungkin merupakan jenis matriks yang paling banyak digunakan dan, oleh karena itu, sangat penting untuk aljabar linier.

matriks segitiga

Matriks segitiga adalah matriks yang semua elemen di atas atau di bawah diagonal utamanya bernilai 0.

Matriks segitiga dibagi menjadi dua jenis: matriks segitiga atas , yang elemen-elemennya di bawah diagonal utama adalah nol, dan matriks segitiga bawah , yang elemen-elemennya di atas diagonal utama adalah nol. Untuk lebih memahami perbedaan di antara keduanya, Anda dapat melihat contoh matriks segitiga lainnya.

Matriks segitiga atas:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 1 & 7 \\[1.1ex] 0 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

Matriks segitiga bawah:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

matriks diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utamanya bernilai nol. Sifat-sifat dan contoh matriks diagonal lainnya dapat Anda lihat pada tautan ini.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

Meskipun matriks-matriks ini tampak sangat sederhana karena mengandung banyak angka 0, matriks-matriks ini sebenarnya sangat penting dalam matematika. Faktanya, ada seluruh prosedur untuk mendiagonalisasi suatu matriks, sehingga matriks yang dapat didiagonalisasi sangatlah penting.

matriks skalar

Matriks skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya sama. Jika berkenan, Anda dapat melihat contoh matriks skalar lainnya di sini.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

Matriks atau unit identitas

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya sama dengan 1.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Seperti matriks diagonal lainnya, matriks ini terlihat seperti jenis matriks yang sangat sederhana. Namun jangan terkecoh dengan tampilannya, ini adalah matriks yang banyak digunakan karena sifat-sifatnya, misalnya digunakan untuk membalikkan matriks. Kami menyarankan Anda meninjau properti matriks identitas untuk memahami kegunaannya.

matriks nol

Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai 0:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Seperti yang Anda lihat, matriks ini tidak rumit sama sekali. Meskipun kelihatannya tidak seperti itu, namun ada manfaatnya. Anda dapat melihat penerapannya di halaman properti matriks nol .

matriks simetris

Matriks simetris adalah matriks yang diagonal utamanya merupakan sumbu simetri.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 & 9 \\[1.1ex] -1 & 9 & 1 \end{pmatrix}$

Karena sifat-sifat matriks simetris , maka hasil transposisi matriks simetris adalah matriks itu sendiri.

matriks antisimetris

Matriks antisimetri adalah matriks yang diagonal utamanya diisi dengan angka nol dan terlebih lagi merupakan sumbu antisimetri.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\[1.1ex] -4 & 0 & -3 \\[1.1ex] -2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

Di tautan berikut Anda dapat melihat semua properti dan contoh matriks antisimetris lainnya.

Sekarang setelah Anda melihat jenis-jenis tabel, Anda mungkin bertanya-tanya… apa gunanya semua ini? Nah, salah satu aplikasi utamanya adalah operasi matriks, yang terpenting adalah perkalian, yang juga bisa Anda lihat cara kerjanya di halaman perkalian matriks .