Jenis diskontinuitas

Di sini Anda akan mengetahui jenis diskontinuitas yang ada. Selain itu, Anda akan dapat melihat contoh semua jenis diskontinuitas dan Anda akan dapat berlatih dengan latihan yang diselesaikan tentang jenis-jenis diskontinuitas fungsi.

Apa saja jenis diskontinuitas?

Ada tiga jenis diskontinuitas, yaitu:

  • Diskontinuitas yang dapat dihindari : Batas lateral suatu fungsi pada suatu titik tidak berimpit dengan nilai fungsi tersebut.
  • Diskontinuitas loncatan hingga yang tak terhindarkan : Batas lateral suatu fungsi pada suatu titik berbeda-beda.
  • Diskontinuitas lompatan tak terhingga yang tak terelakkan : salah satu batas lateral fungsi memberikan tak terhingga atau tidak ada.

Untuk menyelesaikan pemahaman konsepnya, kami akan menjelaskan masing-masing jenis diskontinuitas secara lebih rinci dan melihat contoh fungsi dengan ketiga jenis diskontinuitas tersebut.

Diskontinuitas yang dapat dihindari

Diskontinuitas yang dapat dihindari adalah jenis diskontinuitas yang mempunyai fungsi pada suatu titik jika batasnya ada pada titik tersebut tetapi tidak berimpit dengan nilai fungsi atau bayangan fungsi tersebut tidak ada.

\displaystyle \exists \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a) \qquad | \qquad \displaystyle \exists\lim_{x \to a} f(x) \text{ y } \ \cancel{\exists} \ f(a)

diskontinuitas suatu fungsi yang dapat dihindari

Batas lateral fungsi ini sama satu sama lain, tetapi berbeda dengan nilai fungsi pada titik tersebut. Oleh karena itu, fungsi tersebut menghadirkan diskontinuitas yang dapat dihindari.

\displaystyle \left. \begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) =b \\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=b \end{array} \right\} \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to a} f(x)=b

\displaystyle  \lim_{x \to a} f(x)=b \qquad f(a)=c

\displaystyle  \exists \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)

diskontinuitas yang dapat dihindari dari suatu fungsi tanpa gambar

Fungsi pada contoh sebelumnya mempunyai diskontinuitas yang dapat dihindari karena batas lateral di x=a mempunyai nilai yang sama, namun bayangan fungsi pada titik tersebut tidak ada.

\displaystyle \left. \begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) =b \\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=b \end{array} \right\} \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to a} f(x)=b

\displaystyle  \lim_{x \to a} f(x)=b \qquad \cancel{\exists} \ f(a)

Lihat: batas lateral suatu fungsi

Diskontinuitas lompatan terbatas yang tak terelakkan


Diskontinuitas lompatan hingga yang tak terhindarkan adalah jenis diskontinuitas yang menampilkan suatu fungsi pada suatu titik ketika batas lateral fungsi pada titik tersebut tidak sama.

\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)

Misalnya, batas lateral dari fungsi terdefinisi sepotong-sepotong berikutnya pada titik perubahan definisi berbeda, sehingga fungsi tersebut mempunyai diskontinuitas lompatan hingga yang tak terelakkan pada titik tersebut.

diskontinuitas yang tak terhindarkan dari lompatan terbatas

\displaystyle  \lim_{x \to a^-} f(x)=b \qquad  \lim_{x \to a^+} f(x)=c

\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)

Jenis diskontinuitas ini umumnya muncul dalam fungsi yang didefinisikan secara sepotong-sepotong (atau sepotong-sepotong).

Lihat: kesinambungan fungsi sepotong-sepotong

Lompatan tak terbatas Diskontinuitas yang tak terelakkan

Diskontinuitas lompatan tak hingga yang tak terelakkan adalah jenis diskontinuitas yang mempunyai fungsi pada saat salah satu batas lateral pada titik tersebut tak terhingga atau tidak ada.

\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)= \pm \infty

Limit kiri fungsi berikut menghasilkan bilangan real, sedangkan limit kanan menghasilkan tak terhingga. Oleh karena itu, fungsi tersebut menghadirkan diskontinuitas lompatan tak terbatas yang tak terelakkan.

diskontinuitas lompatan tak terbatas

\displaystyle  \lim_{x \to a^-} f(x)=b \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty

Di bawah ini Anda dapat melihat grafik fungsi yang kedua batas sisinya memberikan tak terhingga dan oleh karena itu fungsi tersebut memiliki diskontinuitas lompatan tak terhingga yang tak terelakkan.

diskontinuitas yang tak terbatas

\displaystyle  \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty

Diskontinuitas jenis ini biasanya terjadi pada fungsi rasional (atau pecahan) .

Latihan soal jenis diskontinuitas

Latihan 1


Tentukan jenis diskontinuitas fungsi sepotong-sepotong berikut di titik x=3:

Lihat solusinya

Domain elemen pertama dari fungsi tersebut,

-2x+1

, seperti bagian kedua,

4x-5

, semuanya bilangan real karena merupakan fungsi polinomial.

Jadi, satu-satunya titik di mana fungsi tersebut dapat diskontinu adalah titik perhentian fungsi sepotong-sepotong. Oleh karena itu kami akan menghitung batas lateral pada tahap ini:

\displaystyle  \lim_{x \to 3^-} f(x)=\lim_{x \to 3} (-2x+1) = -2\cdot 3+1=-5

\displaystyle  \lim_{x \to 3^+} f(x)=\lim_{x \to 3}(4x-5)=4\cdot 3-5=7

\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)

Dua batas lateral di x=3 memberikan hasil yang berbeda. Oleh karena itu, titik x=3 merupakan diskontinuitas lompatan berhingga yang tidak dapat dihindari.

Latihan 2

Temukan jenis diskontinuitas yang terdapat pada fungsi rasional berikut pada titik-titik yang tidak termasuk dalam domainnya:

f(x)= \cfrac{x^2-4}{x+2}

Latihan 3


Analisislah kontinuitas fungsi rasional berikut:

\displaystyle f(x)= \frac{2}{x-5}

Latihan 4

Tentukan semua diskontinuitas fungsi sepotong-sepotong yang ditunjukkan pada grafik berikut:

latihan menyelesaikan diskontinuitas fungsi

Latihan 5

Temukan semua asimtot dan diskontinuitas fungsi yang ditunjukkan pada grafik berikut:

menyelesaikan latihan tentang jenis-jenis diskontinuitas suatu fungsi


Tinggalkan Komentar

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *