Jarak antara dua garis yang berpotongan (rumus)

Di halaman ini Anda akan menemukan cara menentukan jarak antara dua garis yang berpotongan (rumus). Selain itu, Anda akan dapat melihat contoh dan latihan dengan latihan penyelesaian jarak antar garis yang berpotongan.

Apa yang dimaksud dengan dua garis yang berpotongan?

Sebelum melihat cara menghitung jarak antara dua garis yang berpotongan, mari kita mengingat kembali secara singkat apa sebenarnya jenis posisi relatif antara dua garis ini:

Dua garis berpotongan, disebut juga garis berpotongan, adalah dua garis berbeda yang arahnya berbeda dan tidak berpotongan di titik mana pun . Oleh karena itu, dua garis yang bersilangan tidak berada pada bidang yang sama.

jarak antara dua garis yang memotong 2 titik

Misalnya pada representasi grafis di atas garis

s

selalu terdepan

r

, jadi mereka tidak akan pernah saling bersentuhan.

Cara menghitung jarak antara dua garis yang berpotongan

Ada beberapa metode untuk menentukan jarak antara dua garis yang berpotongan dalam ruang. Di halaman ini kami hanya akan menjelaskan satu prosedur saja, yang paling mudah, karena dua metode lainnya lebih panjang dan rumit, bahkan jarang digunakan.

Misalkan vektor arah dan titik mana pun pada dua garis yang berpotongan adalah:

\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} \\[2ex] A\end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}} \\[2ex] B\end{cases}

Rumus jarak antara dua garis yang berpotongan adalah:

d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}

Emas

\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|

adalah nilai mutlak hasil kali campuran vektor-vektor tersebut

\vv{\text{u}}, \vv{\text{v}}

dan vektor yang ditentukan oleh titik-titik

A

Dan

B

. Dan di sisi lain,

\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert

adalah besarnya hasil kali vektor vektor-vektor arah kedua garis yang bersilangan.

Oleh karena itu, untuk mencari jarak antara 2 garis yang berpotongan, Anda perlu mengetahui cara menghitung hasil kali tiga titik (atau hasil kali campuran tiga vektor) dan hasil kali vektor (atau hasil kali vektor dua vektor). Anda dapat meninjau bagaimana hal ini dilakukan di tautan sebelumnya, di mana Anda akan menemukan rumus, contoh, dan latihan yang sesuai.

Contoh cara mencari jarak antara dua garis yang berpotongan

Agar Anda dapat mengetahui cara menentukan jarak antara dua garis yang bersilangan, kita akan menyelesaikan soal sebagai contoh:

  • Berapa jarak antara dua garis berpotongan berikutnya?

r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y-2}{4} = \cfrac{z+2}{-1}

s: \ \cfrac{x-3}{1} = \cfrac{y+1}{3} = \cfrac{z-1}{-2}

Pertama, kita perlu mengidentifikasi vektor arah dan titik pada setiap garis. Kedua garis tersebut dinyatakan dalam bentuk persamaan kontinu, oleh karena itu:

\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,4,-1) \\[2ex] A(1,2,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(1,3,-2) \\[2ex] B(3,-1,1)\end{cases}

Dan sekarang kita terapkan rumus jarak antara dua garis yang berpotongan:

d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}

Di satu sisi kami menyelesaikan produk campuran:

\vv{AB} = B - A = (3,-1,1) - (1,2,-2) = (2,-3,3)

\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \\[1.1ex] 2&-3&3 \end{vmatrix}\right| = \left| -13 \right| =13

Dan, sebaliknya, kita mencari besaran perkalian vektor:

\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \end{vmatrix}=-5\vv{i} +3\vv{j}+2\vv{k}

\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{5^2+3^2+2^2} = \sqrt{25+9+4} = \sqrt{38}

Terakhir, kita substitusikan nilai setiap suku ke dalam rumus jarak antara dua garis yang bersilangan:

d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{13}{\sqrt{38}}= \bm{2,11}

Menyelesaikan masalah jarak antara dua garis yang berpotongan

Latihan 1

Tentukan jarak antara dua garis berikut yang berpotongan di suatu titik:

r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y+1}{1} = \cfrac{z+3}{2}

s: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{-1} = \cfrac{z-1}{2}

Pertama, kita perlu mencari vektor arah dan titik pada setiap garis. Kedua garis tersebut didefinisikan dalam bentuk persamaan kontinu, oleh karena itu:

\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,1,2) \\[2ex] A(1,-1,-3) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,-1,2) \\[2ex] B(2,4,1)\end{cases}

Dan sekarang kita menggunakan rumus jarak antara dua garis yang berpotongan:

d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}

Kami menentukan produk campuran:

\vv{AB} = B - A = (2,4,1) - (1,-1,-3) = (1,5,4)

\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \\[1.1ex] 1&5&4 \end{vmatrix}\right| = \left| -6 \right| =6

Selanjutnya kita hitung besar perkalian silangnya:

\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \end{vmatrix}=4\vv{i} +2\vv{j}-5\vv{k}

\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{4^2+2^2+(-5)^2} = \sqrt{16+4+25} = \sqrt{45}

Dan terakhir, kita substitusikan nilai setiap suku ke dalam rumus jarak antara dua garis yang berpotongan:

d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{6}{\sqrt{45}}= \bm{0,89}

Latihan 2

Hitunglah jarak antara dua garis yang berpotongan:

r: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{1} = \cfrac{z+2}{-1}

s: \ \cfrac{x+1}{2} = \cfrac{y+2}{-2} = \cfrac{z-1}{5}

Pertama, kita perlu mengidentifikasi vektor arah dan titik pada setiap garis. Kedua garis tersebut dinyatakan dalam bentuk persamaan kontinu, oleh karena itu:

\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(3,1,-1) \\[2ex] A(2,4,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(2,-2,5) \\[2ex] B(-1,-2,1)\end{cases}

Dan sekarang kita menggunakan rumus jarak antara dua garis yang berpotongan:

d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}

Kami menentukan produk campuran:

\vv{AB} = B - A = (-1,-2,1) - (2,4.-2) = (-3,-6,3)

\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \\[1.1ex] -3&-6&3 \end{vmatrix}\right| = \left| 69 \right| =69

Selanjutnya kita hitung besar perkalian silangnya:

\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \end{vmatrix}=3\vv{i} -17\vv{j}-8\vv{k}

\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{3^2+(-17)^2+(-8)^2} = \sqrt{9+289+64} = \sqrt{362}

Dan terakhir, kita substitusikan nilai masing-masing yang tidak diketahui ke dalam rumus jarak antara dua garis yang bersilangan:

d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{69}{\sqrt{362}}= \bm{3,63}

Latihan 3

Tentukan jarak antara dua garis yang berpotongan:

\displaystyle r: \ \begin{cases} x= -4t \\[1.7ex] y=2+3t \\[1.7ex] z=-1+t \end{cases}

\displaystyle s: \ (x,y,z)=(4,2,1)+t(3,2,-5)

Pertama, kita perlu mencari vektor arah dan titik pada setiap garis. hak

r

berbentuk persamaan parametrik dan garis

s

dalam bentuk persamaan vektor, oleh karena itu:

\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(-4,3,1) \\[2ex] A(0,2,-1) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,2,-5) \\[2ex] B(4,2,1)\end{cases}

Dan sekarang kita menggunakan rumus jarak antara dua garis yang berpotongan:

d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}

Kami menentukan produk tiga skalar:

\vv{AB} = B - A = (4,2,-1) - (0,2,1) = (4,0,-2)

\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \\[1.1ex] 4&0&-2 \end{vmatrix}\right| = \left| -34 \right| =34

Selanjutnya kita hitung besar perkalian silangnya:

\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \end{vmatrix}=-17\vv{i} -17\vv{j}-17\vv{k}

\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{(-17)^2+(-17)^2+(-17)^2} = \sqrt{289+289+289} = \sqrt{867}

Dan terakhir, kita substitusikan nilai setiap suku ke dalam rumus jarak antara dua garis yang berpotongan:

d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{34}{\sqrt{867}}= \bm{1,15}

Tinggalkan Komentar

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

Scroll to Top