Fungsi tangen - Mathority

Di halaman ini Anda akan menemukan segala sesuatu tentang fungsi tangen: apa itu fungsi, apa rumusnya, cara merepresentasikannya dalam grafik, ciri-ciri fungsi, periodenya, dll. Selain itu, Anda akan dapat melihat contoh fungsi tangen untuk memahami konsepnya sepenuhnya. Ia bahkan menjelaskan teorema tangen dan hubungan fungsi tangen dengan hubungan trigonometri lainnya.

Rumus fungsi tangen

Fungsi singgung sudut α merupakan fungsi trigonometri yang rumusnya didefinisikan sebagai perbandingan antara cabang yang berhadapan dengan cabang yang bersebelahan (atau berdekatan) pada suatu segitiga siku-siku (segitiga dengan sudut siku-siku).

Fungsi matematika jenis ini disebut juga fungsi tangentoid, tangenoid, atau tangensial. Dan bisa diungkapkan dengan singkatan “tg” atau bahkan “tan”.

Fungsi tangen adalah salah satu dari tiga perbandingan trigonometri yang paling terkenal, bersama dengan sinus dan kosinus suatu sudut.

Nilai karakteristik fungsi tangen

Ada sudut-sudut tertentu yang sering diulang dan oleh karena itu, akan lebih mudah untuk mengetahui nilai fungsi tangen pada sudut-sudut ini:

Sebaliknya, fungsi tangen dapat dihubungkan dengan fungsi sinus dan kosinus melalui identitas trigonometri dasar berikut:

$\text{tg } \alpha = \cfrac{\text{sen }\alpha}{\text{cos }\alpha}$

Jadi, tanda fungsi tangen bergantung pada kuadran di mana sudut tersebut berada:

Jika sudut tersebut termasuk kuadran pertama, maka garis singgungnya positif, karena pada kuadran ini sinus dan kosinusnya juga positif.
Jika sudut berada di kuadran kedua maka garis singgungnya negatif, karena pada kuadran ini sinusnya positif tetapi kosinusnya negatif.
Jika sudutnya berada di kuadran ketiga maka tangennya positif, karena pada kuadran ini sinus dan cosinusnya negatif.
Jika sudutnya berada di kuadran keempat, maka garis singgungnya akan negatif, karena di kuadran ini sinusnya negatif dan kosinusnya positif.

Representasi grafis dari fungsi tangen

Dengan tabel nilai yang kita lihat di bagian sebelumnya, kita dapat membuat grafik fungsi tangen. Dan dengan menggambarkan grafik fungsi tangen, kita peroleh:

Terlihat dari grafik, nilai bayangan fungsi tangen tidak dibatasi, berbeda dengan fungsi sinus dan kosinus. Selain itu, nilainya diulang setiap 180 derajat (π radian), sehingga merupakan fungsi periodik yang periodenya 180º.

Sebaliknya pada grafik ini terlihat bahwa fungsi tangennya ganjil , karena unsur-unsur yang berhadapan dengan bayangannya berlawanan, atau dengan kata lain simetris terhadap titik asal (0,0). Misalnya, garis singgung 45° bernilai 1 dan -45° bernilai -1.

Terakhir, kita juga dapat melihat bahwa fungsi tangen mempunyai asimtot vertikal . Misalnya, ia sangat dekat dengan garis x=90º tetapi tidak pernah menyentuhnya, dan hal yang sama terjadi setiap 180 derajat. Artinya limit fungsi pada titik-titik tersebut cenderung tak terhingga.

Sifat-sifat fungsi tangen

Fungsi tangen mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:

Daerah asal fungsi tangen adalah semua bilangan real kecuali titik yang mempunyai asimtot vertikal:

$\displaystyle \text{Dom } f = \mathbb{R} - \left\{(2k+1)\cdot \frac{\pi}{2} \right\} \qquad k \in \mathbb{Z}$

$\displaystyle \text{Dom } f = \mathbb{R} - \left\{\ldots \ , \ -\frac{\pi}{2} \ , \ \frac{\pi}{2} \ , \ \frac{3\pi}{2} \ , \ \ldots \right\}$

Range atau rentang fungsi tangen semuanya merupakan bilangan real.

$\text{Im } f= \mathbb{R}$

Ini adalah fungsi kontinu dan ganjil dengan periodisitas π.

$\displaystyle \text{tg}(-x) =- \text{tg }x$

Fungsi trigonometri jenis ini memiliki satu titik potong dengan sumbu y (sumbu Y) di titik (0,0).

$(0,0)$

Sebaliknya, ia secara berkala memotong absis (sumbu X) pada beberapa koordinat pi.

$\displaystyle (k\pi ,0) \qquad k \in \mathbb{Z}$

Fungsinya meningkat secara ketat di seluruh domain, sehingga tidak memiliki nilai maksimum maupun minimum.

Turunan dari garis singgung adalah:

$f(x)=\text{tg } x \ \longrightarrow \ f'(x)= 1+\text{tg}^2 x=\cfrac{1}{\text{cos}^2 x} =\text{sec}^2 x$

Akhirnya, integral dari fungsi tangen adalah:

$\displaystyle \int \text{tg } x \ dx= -\ln \lvert \text{cos }x \rvert + C$

Periode fungsi tangen

Berbeda dengan fungsi trigonometri lainnya seperti sinus dan kosinus, fungsi tangen tidak memiliki besaran karena tidak memiliki nilai maksimum maupun minimum. Namun, ini adalah fungsi periodik, artinya nilainya berulang dengan frekuensi seperti yang kita lihat pada grafiknya.

$\displaystyle f(x)= \text{tg}(wx)$

Periode fungsi tangen adalah jarak antara dua titik di mana grafik tersebut berulang, dan dihitung dengan rumus berikut:

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{\pi}{w}$

teorema tangen

Meskipun rumus tangen biasanya digunakan pada segitiga siku-siku, ada juga teorema yang dapat diterapkan pada semua jenis segitiga: teorema tangen.

Teorema tangen menghubungkan sisi dan sudut suatu segitiga sebagai berikut:

$\displaystyle \cfrac{a+b}{a-b} = \cfrac{ \text{tg}\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}$

$\displaystyle \cfrac{a+c}{a-c} = \cfrac{ \text{tg}\left(\frac{\alpha+\gamma \vphantom{\beta}}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\alpha-\gamma\vphantom{\beta}}{2}\right)}$

$\displaystyle \cfrac{b+c}{b-c} = \cfrac{ \text{tg}\left(\frac{\beta+\gamma}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\beta-\gamma}{2}\right)}$

Hubungan fungsi tangen dengan perbandingan trigonometri lainnya

Di bawah ini Anda memiliki hubungan garis singgung dengan rasio trigonometri trigonometri yang paling penting.

Hubungan dengan payudara

Garis singgung dan sinus suatu sudut berhubungan sebagai berikut:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm \cfrac{\text{sen }\alpha }{\sqrt{1-\text{sen}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$

Rasio kosinus

Demikian pula, garis singgung dan kosinus suatu sudut berhubungan dengan persamaan berikut:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm \cfrac{\sqrt{1-\text{cos}^2\alpha \vphantom{\bigl( }} }{\text{cos }\alpha}$

Hubungan dengan kosekan

Walaupun sulit dibuktikan, garis singgungnya dapat diselesaikan sehingga hanya bergantung pada kosekan saja:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm \cfrac{1}{\sqrt{\text{csc}^2\alpha -1 \vphantom{\bigl( }}}$

Hubungan dengan garis potong

Garis singgung dan garis potong suatu sudut dihubungkan dengan persamaan berikut:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm\sqrt{\text{sec}^2\alpha -1$

Hubungan dengan kotangen

Tangen dan kotangen merupakan kebalikan perkalian:

$\displaystyle \text{tg }\alpha =\pm \cfrac{1}{\text{cot }\alpha}$