Diferensiabilitas suatu fungsi

September 17, 2023

Pada artikel ini Anda akan mempelajari cara mempelajari diferensiabilitas suatu fungsi, yaitu apakah suatu fungsi dapat terdiferensiasi atau tidak. Selain itu, kita akan melihat hubungan antara diferensiasi dan kontinuitas suatu fungsi. Dan terakhir, kita akan mempelajari diferensiasi fungsi sepotong-sepotong.

Diferensiabilitas dan kontinuitas suatu fungsi

Kontinuitas dan diferensiabilitas suatu fungsi pada suatu titik berhubungan sebagai berikut:

Jika suatu fungsi terdiferensiasi di suatu titik, maka fungsi tersebut kontinu di titik tersebut.
Jika suatu fungsi tidak kontinu di suatu titik, maka fungsi tersebut juga tidak terdiferensiasi di titik tersebut.

Namun kebalikan dari teorema ini salah: hanya karena suatu fungsi kontinu di suatu titik tidak berarti fungsi tersebut selalu terdiferensiasi di titik tersebut.

Anda juga dapat melihat apakah suatu fungsi dapat terdiferensiasi pada suatu titik dari representasi grafisnya:

Jika titik tersebut mulus, maka fungsinya terdiferensiasi pada titik tersebut.
Jika suatu titik bersudut, maka fungsinya kontinu tetapi tidak terdiferensiasi pada titik tersebut.

Titik pemulusan di x=0:
fungsi kontinu dan terdiferensiasi pada tahap ini.

Titik sudut di x=2:
berfungsi kontinu tetapi tidak terdiferensiasi pada tahap ini.

Diferensiabilitas fungsi sepotong-sepotong

Setelah kita mengetahui hubungan antara kontinuitas dan diferensiabilitas suatu fungsi, kita akan mempelajari cara mempelajari diferensiabilitas suatu fungsi terdefinisi sedikit demi sedikit.

Anda dapat mengetahui apakah suatu fungsi sepotong-sepotong dapat terdiferensiasi di suatu titik dengan menghitung turunan lateral di titik tersebut:

Jika turunan lateral di suatu titik tidak sama, maka fungsi tersebut tidak terdiferensiasi di titik tersebut:

$f'(x_o^-) \neq f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Itu tidak dapat dikurangkan

$x_o$

Jika turunan lateral di suatu titik berimpit, maka fungsi tersebut terdiferensiasi di titik tersebut:

$f'(x_o^-) = f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Ya, itu bisa dibedakan

$x_o$

Catatan: Agar suatu fungsi dapat terdiferensiasi di suatu titik, maka fungsi tersebut harus kontinu di titik tersebut. Oleh karena itu, sebelum menghitung turunan lateral, kita perlu memastikan bahwa fungsinya kontinu pada titik tersebut. Jika Anda belum mengetahui bagaimana kontinuitas dipelajari pada suatu titik, Anda dapat melihat caranya di tautan berikut:

➤ Lihat: kontinuitas suatu fungsi di suatu titik

Sekarang mari kita lihat contoh cara menghitung turunan suatu fungsi yang didefinisikan sepotong-sepotong di suatu titik:

Pelajari kontinuitas dan diferensiasi fungsi berikut yang didefinisikan sepotong demi sepotong di titik x=2:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-6x & \text{si} & x<2 \\[2ex] 6\ln (x-1) & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Fungsi kedua bagian tersebut kontinu pada intervalnya masing-masing, namun perlu diketahui apakah fungsi tersebut kontinu pada titik kritis x=2. Untuk melakukan ini, kita menyelesaikan batas lateral fungsi di titik:

$\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} \bigl(3x^2-6x\bigr) = 3\cdot2^2-6\cdot2=12-12=\bm{0}$

$\lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} 6\ln (x-1) = 6\ln (2-1)=6 \ln 1=6 \cdot 0= \bm{0}$

Batas lateral pada titik kritis memberikan hasil yang sama, sehingga fungsinya kontinu di titik x=2.

Setelah kita mengetahui bahwa suatu fungsi kontinu di x=2, kita akan mempelajari diferensiasi fungsi tersebut di titik tersebut. Untuk melakukan ini, kita menghitung turunan lateral dari fungsi yang didefinisikan dalam potongan:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 6x-6 & \text{si} & x<2 \\[2ex] \cfrac{6}{x-1} & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Kami sekarang mengevaluasi setiap turunan lateral pada titik kritis:

$f'(2^-)=6\cdot2-6=12-6 = \bm{6}$

$f'(2^+)=\cfrac{6}{2-1} = \cfrac{6}{1} = \bm{6}$

Kedua turunan lateralnya memberikan hasil yang sama, sehingga fungsinya terdiferensiasi di x=2 dan nilai turunannya adalah 6:

$f'(2^-) = f'(2^+) = 6 \ \longrightarrow \ \bm{f'(2) = 6}$

Sebaliknya, jika turunan lateral memberikan hasil yang berbeda, berarti fungsi tersebut tidak terdiferensiasi pada x=2. Dengan kata lain, turunannya tidak akan ada pada saat ini.

Terakhir, ingatlah bahwa prosedur ini juga berlaku untuk mempelajari diferensiasi suatu fungsi nilai absolut, karena fungsi nilai absolut juga dapat didefinisikan secara sepotong-sepotong. Anda dapat melihat cara mengonversi fungsi nilai absolut menjadi potongan di sini:

➤ Lihat: cara mendefinisikan fungsi dengan nilai absolut sedikit demi sedikit

Latihan yang diselesaikan tentang diferensiasi suatu fungsi

Latihan 1

Pelajarilah kontinuitas dan diferensiasi fungsi sepotong-sepotong berikut:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x^3-4x^2 + 5 & \text{si} & x<1 \\[2ex] -x^2+3x & \text{si} & x\geq 1 \end{array} \right.$

Lihat solusinya

Fungsi kedua bagian tersebut kontinu, tetapi kita harus melihat apakah fungsi tersebut kontinu pada titik kritis x=1. Untuk melakukan ini, kita menyelesaikan batas lateral fungsi di titik tersebut:

$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^-} \bigl(x^3-4x^2 + 5\bigr)=1^3-4\cdot 1^2 + 5=2$

$\lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^+} \bigl( -x^2+3x \bigr)=-1^2+3\cdot 1=2$

Kedua batas lateral pada titik kritis memberikan hasil yang sama, sehingga fungsinya kontinu di x=1.

Setelah kita mengetahui bahwa fungsi tersebut kontinu pada titik kritisnya, kita akan mempelajari apakah fungsi tersebut terdiferensiasi pada titik yang sama. Oleh karena itu kami menghitung turunan lateral:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-8x & \text{si} & x<1 \\[2ex] -2x+3 & \text{si} & x\geq 1 \end{array} \right.$

Dan kami mengevaluasi dua turunan lateral di x=1;

$f'(1^-)=3\cdot1^2-8\cdot 1=3-8=-5$

$f'(1^+)=-2\cdot 1+3=-2+3 =1$

Turunan lateralnya tidak berimpit di titik x=1 sehingga fungsinya tidak terdiferensiasi di titik tersebut.

$f'(1^-) \neq f'(1^+) \ \longrightarrow \ \cancel{\exists} \ f'(1)$

Latihan 2

Analisislah diferensiasi dan kontinuitas fungsi berikut yang didefinisikan dalam beberapa bagian:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} \sqrt{4x} & \text{si} & x\leq 1 \\[2ex] 2+\ln x & \text{si} & x> 1 \end{array} \right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”65″ width=”226″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <div class=$

Lihat solusinya

Fungsi kedua bagian tersebut kontinu pada intervalnya, namun perlu juga diketahui apakah fungsi tersebut kontinu pada titik kritis perubahan definisi x=1. Oleh karena itu kami mendefinisikan batas lateral fungsi pada titik ini:

$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^-} \sqrt{4x} = \sqrt{4\cdot 1} = \sqrt{4}=2$

$\lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^+} \bigl( 2+\ln x \bigr) = 2 + \ln (1) = 2+0 =2$

Kedua batas lateral pada titik kritis memberikan hasil yang sama, sehingga fungsinya kontinu di x=1.

Dan sekarang kita mempelajari apakah fungsi tersebut terdiferensiasi pada titik ini dengan menghitung turunan lateral:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} \cfrac{4}{2\sqrt{4x}} & \text{si} & x<1 \\[4ex] \cfrac{1}{x} & \text{si} & x\geq 1 \end{array} \right.$

Kami mengevaluasi dua turunan lateral di x=1:

$f'(1^-)=\cfrac{4}{2\sqrt{4\cdot1}}=\cfrac{4}{2\sqrt{4}}=\cfrac{4}{2\cdot 2}=\cfrac{4}{4}=1$

$f'(1^+)=\cfrac{1}{1}=1$

Turunan lateralnya sama, sehingga fungsinya terdiferensiasi di x=1 dan nilai turunannya adalah 1.

$f'(1^-) = f'(1^+) = 1 \ \longrightarrow \ \bm{f'(1) = 1}$

Latihan 3

Tentukan apakah fungsi sepotong-sepotong berikut ini kontinu dan terdiferensiasi pada seluruh domainnya:

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x^2+2x+1 & \text{si} & x\leq -1 \\[2ex] 2x+2 & \text{ si} & -1<div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF" role="button" tabindex="0" aria- expanded="false" data-otfm-spc="#E6F9EF" style="text-align:center"><div class="otfm-sp__title"> <strong>View solution</strong></div>< /div> The functions of all three parts are continuous, but we still need to check if the function is continuous at critical points. We therefore first check the continuity of the function at the point x=-1 by solving the lateral limits at this point:

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \displaystyle
Missing { inserted.
leading text: ...="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__
Missing { inserted.
leading text: ...ox-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__
Missing { inserted.
leading text: ...m-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__
Missing { inserted.
leading text: ...fm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__
You can't use `macro parameter character #' in math mode.
leading text: ...="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#
Missing { inserted.
leading text: ...e="text-align:center"><div class="otfm-sp__
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...g></div></div> The functions of the three parts
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...are continuous, but we still need to see

\lim\limits_{x\to -1^-} f(x) = \lim\limits_{x\to -1^-} \bigl(x^2+2x+1\bigr) = (-1)^ 2+2(-1)+1 =0 \lim\limits_{x\to -1^+} f(x) = \lim\limits_{x\to -1^+} \bigl(2x+2\bigr ) = 2(-1)+2=0

$Les deux limites latérales au point x=-1 donnent le même résultat, donc la fonction est continue en x=-1. Nous allons maintenant vérifier si la fonction est continue ou non au point x=2 :$

\lim\limits_{x\ke 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\ke 2^-} \bigl(2x+2\bigr) = 2\cdot 2+2=4+2= 6 \lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} \bigl( -x^2+8x\bigr) = -2^2+8\ cdot 2 = -4+16=12

$En revanche, les limites latérales au point x=2 ne donnent pas le même résultat, donc la fonction n'est pas continue en x=2. De plus, comme il n'est pas continu à ce stade, il ne sera pas non plus dérivable à x=2. Une fois que l'on a étudié la continuité de la fonction, on passe à la différentiabilité. On calcule donc les dérivées latérales :$

\displaystyle f'(x)= \kiri\{ \begin{array}{lcl} 2x+2 & \text{si} & x\leq -1 \\[2ex] 2 & \text{si} & -1

Kita sudah mengetahui bahwa fungsi tersebut tidak terdiferensiasi pada x=2, jadi kita tinggal mempelajari apakah fungsi tersebut terdiferensiasi pada x=-1. Untuk melakukannya, kita evaluasi dua turunan lateral di titik:

$f'(-1^-)=2(-1)+2 = -2+2=0$

$f'(-1^+)=2$

Turunan lateralnya tidak berimpit di titik x=-1, sehingga fungsinya tidak terdiferensiasi di titik tersebut.

$f'(-1^-) \neq f'(-1^+) \ \longrightarrow \ \cancel{\exists} \ f'(-1)$

Latihan 4

Hitung nilai parameter a dan b sehingga fungsi sepotong-sepotong berikut ini kontinu dan terdiferensiasi di seluruh domainnya:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 2e^{x-3} + a & \text{si} & x< 3 \\[2ex](x-b)^2 & \text{si} & x\geq 3 \end{array} \right.$

Lihat solusinya

Berapa pun nilai yang tidak diketahui, fungsi tersebut kontinu dan terdiferensiasi di semua titik kecuali pada x=3, yang kontinuitas dan diferensiasinya harus diperiksa.

Agar suatu fungsi kontinu di suatu titik, kedua batas lateral pada titik tersebut harus berimpit. Oleh karena itu, kami memperkirakan batas lateral pada titik kritis:

$\lim\limits_{x\to 3^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 3^-} \bigl(2e^{x-3}+a\bigr) = 2e^{3-3}+a = 2 \cdot e^0+a =2\cdot 1 +a = 2+a$

$\lim\limits_{x\to 3^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 3^+} (x-b)^2 = (3-b)^2$

Oleh karena itu, kedua nilai yang diperoleh dari batas lateral harus sama agar fungsi tersebut kontinu:

$2+a = (3-b)^2$

Sekarang kita akan menganalisis diferensiasi pada titik x=3. Kami menemukan turunan lateral:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 2e^{x-3} & \text{si} & x< 3 \\[2ex]2(x-b) & \text{si} & x\geq 3 \end{array} \right.$

Dan kami mengevaluasi dua turunan lateral pada titik kritis:

$f'(3^-)= 2e^{3-3} = 2e^0 = 2\cdot 1 = 2$

$f'(3^+)=2(3-b) = 6 - 2b$

Oleh karena itu, agar suatu fungsi dapat terdiferensiasi pada x=3, nilai yang diperoleh dari turunan lateralnya harus sama:

$2=6-2b$

Dan dengan menyelesaikan persamaan ini kita dapat mencari nilai b:

$2b=6-2$

$2b=4$

$b=\cfrac{4}{2} =\bm{2}$

Terakhir, setelah kita mengetahui nilai parameter b, kita dapat menghitung nilai parameter a dengan menyelesaikan persamaan yang kita peroleh sebelumnya pada batas lateral:

$2+a = (3-b)^2$

$2+a = (3-2)^2$

$2+a =1$

$a =1-2$

$\bm{a =-1}$

Diferensiabilitas dan kontinuitas suatu fungsi

Diferensiabilitas fungsi sepotong-sepotong

Latihan yang diselesaikan tentang diferensiasi suatu fungsi

Latihan 1

Latihan 2

Latihan 3

Latihan 4

Tinggalkan Komentar Batalkan Balasan