Minor, asisten dan asisten matriks pelengkap

Pada bagian ini kita akan melihat apa itu dan bagaimana cara menghitung minor komplementer, adjoint, dan matriks adjoint . Selain itu, Anda akan menemukan contoh agar Anda memahaminya dengan sempurna, dan latihan diselesaikan langkah demi langkah, sehingga Anda dapat berlatih.

Apa yang dimaksud dengan minor komplementer?

Ini disebut komplemen minor suatu elemen.

$a_{ij}$

ke determinan yang diperoleh dengan menghapus garis

$i$

dan kolom

$j$

dari sebuah matriks.

Bagaimana cara menghitung minor komplementer suatu unsur?

Mari kita lihat bagaimana minor komplementer suatu unsur dihitung menggunakan beberapa contoh:

Contoh 1:

Hitung komplemen minor dari 1 matriks persegi 3 × 3 berikut:

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)$

Minor komplementer dari 1 adalah determinan matriks yang tersisa setelah baris dan kolom tempat angka 1 dihilangkan. Artinya, menghapus baris pertama dan kolom kedua:

$\left( \begin{tabular}{ccc} \cellcolor[HTML]{F5B7B1}6 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & 0 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 5 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}8 & 4 \end{tabular} \right)$

$\text{Menor complementario de 1} = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\[1.1ex] 5 & 4 \end{vmatrix} = \bm{12}$

Contoh 2:

Kali ini kita akan menghitung minor komplementer 0 dari matriks yang sama seperti sebelumnya:

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)$

Minor komplementer 0 adalah determinan matriks dengan menghilangkan baris dan kolom yang bernilai 0:

$\left( \begin{tabular}{ccc} 6 & 1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{F5B7B1} 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}0 \\ & &\cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] 5 & 8 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}4 \end{tabular} \right)$

$\text{Menor complementario de 0} = \begin{vmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 5 & 8 \end{vmatrix} = \bm{43}$

Latihan terpecahkan untuk anak di bawah umur yang saling melengkapi

Latihan 1

Hitung komplemen terkecil dari 3 matriks 3×3 berikut:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 & 7 \\[1.1ex] -1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

lihat solusi

Minor komplementer dari 3 adalah determinan matriks yang tersisa setelah baris dan kolom yang berisi 3 dihilangkan:

$\text{Menor complementario de 3} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 6 & 7 \end{vmatrix} = \bm{-5}$

Latihan 2

Tentukan minor komplementer dari 5 matriks orde 3 berikut:

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2 & 4 & -2 \\[1.1ex] 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 5 & 8 & 1 \end{pmatrix}$

lihat solusi

Minor komplementer dari 5 adalah determinan matriks yang diperoleh dengan menghapus baris dan kolom yang mengandung 5:

$\text{Menor complementario de 5} = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} = \bm{22}$

Latihan 3

Hitung komplemen minor dari 6 matriks 4×4 berikut:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 2 & 6 & -1 & 8 \\[1.1ex] 3 & 9 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

lihat solusi

Minor komplementer dari 6 adalah determinan matriks yang tersisa setelah baris dan kolom yang bertempat 6 dihilangkan:

$\text{Menor complementario de 6} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5& 1 & 3 \end{vmatrix}$

Kami menyelesaikan determinan dengan aturan Sarrus:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 1 & 3 \end{vmatrix}=-3+60+12+20-4-27 = \bm{58}$

Apa adjoin dari elemen array?

Wakil dari

$a_{ij}$

, yaitu item baris

$i$

dan kolom

$j$

, diperoleh dengan rumus berikut:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

Bagaimana cara mendapatkan gabungan elemen array?

Mari kita lihat bagaimana adjoint suatu elemen dihitung melalui beberapa contoh:

Contoh 1:

Hitung adjoin dari 4 matriks berorde 3 berikut:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4$

Angka 4 ada di baris 2 dan kolom 1 , jadi dalam kasus ini

$i = 2$

Dan

$j = 1 :$

$\text{Adjunto de } 4 = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4$

Dan, seperti yang kita lihat sebelumnya, komplemen minor dari 4 adalah determinan matriks, menghilangkan baris dan kolom tempat 4 berada. Karena itu:

$\text{Adjunto de} 4 = \displaystyle(-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 8 & 9 \end{vmatrix}$

Sekarang kita selesaikan determinannya dan temukan adjoint dari 4:

$\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{3} \bm{\cdot} (-5) = -1 \cdot (-6) = \bm{6}$

Ingatlah bahwa bilangan negatif yang dipangkatkan menjadi eksponen genap adalah bilangan positif. Oleh karena itu, jika -1 dipangkatkan menjadi bilangan genap maka menjadi positif.

$\bm{\longrightarrow}(-1)^2=\bm{+1}$

Sebaliknya, jika suatu bilangan negatif dipangkatkan menjadi eksponen ganjil, maka bilangan tersebut negatif. Oleh karena itu, jika -1 dipangkatkan ke bilangan ganjil maka selalu negatif.

$\bm{\longrightarrow}(-1)^3=\bm{-1}$

Contoh 2:

Kita akan mencari wakil dari 5 matriks yang sama seperti sebelumnya:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 5 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 5$

$\text{Adjunto de} 5 = \displaystyle(-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 7 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-12) = \bm{-12}$

Contoh 3:

Mari kita buat wakil dari 3 matriks yang sama:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 3 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 3$

$\text{Adjunto de} 3 \displaystyle = (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 5 \\[1.1ex] 7 & 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}$

Adjoint suatu elemen digunakan untuk menghitung determinan, seperti yang akan kita lihat nanti, dan untuk menghitung matriks adjoint, yang akan kita lihat sekarang.

Latihan terpecahkan untuk asisten

Latihan 1

Hitung adjoin 2 matriks 3×3 berikut:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] -1 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

lihat solusi

Untuk mendapatkan hasil adjoint 2, cukup terapkan rumus adjoint suatu elemen:

$\text{Adjunto de 2} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 2}$

$\text{Adjunto de 2} \displaystyle = (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 & 5 \\[1.1ex] 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-18) = \bm{-18}$

Latihan 2

Tentukan adjoin dari 4 matriks orde 3 berikut:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 9 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & -3 \end{pmatrix}$

lihat solusi

Untuk mendapatkan wakil dari 4, kita harus menggunakan rumus wakil suatu unsur:

$\text{Adjunto de 4} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 4}$

$\text{Adjunto de 4} \displaystyle = (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 6 & 5 \end{vmatrix} = -1 \cdot 9 = \bm{-9}$

Latihan 3

Tentukan wakil dari 7 matriks 4×4 berikut:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & 1 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & -1 & 4 & 0 \\[1.1ex] 2 & 7 & 9 & -4 \end{pmatrix}$

lihat solusi

Untuk membuat tambahan 7 kita menerapkan rumus tambahan suatu elemen:

$\text{Adjunto de 7}=(-1)^{4+2} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 7}$

$\text{Adjunto de 7} \displaystyle = (-1)^{4+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0\end{vmatrix}$

Kami menerapkan aturan Sarrus untuk menyelesaikan determinan orde ketiga:

$\displaystyle = (-1)^{6} \bm{\cdot} \bigl[0+30-24-12-12-0\bigr]$

$\displaystyle = 1 \bm{\cdot} \bigl[-18 \bigr] = \bm{-18}$

Apa matriks terlampir?

Array terlampir adalah array yang semua elemennya telah digantikan oleh wakilnya.

Bagaimana cara menghitung matriks adjoin?

Untuk menghitung wakil matriks , kita perlu mensubstitusi semua elemen matriks untuk wakilnya.

Mari kita lihat bagaimana matriks gabungan dibuat melalui contoh:

Contoh:

Hitung matriks adjoin matriks persegi berdimensi 2×2 berikut:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[1.1ex] 3 & 2 \end{pmatrix}$

Untuk menghitung adjoint matriks, kita harus menghitung adjoint setiap elemen matriks . Oleh karena itu, pertama-tama kita akan menyelesaikan persamaan semua elemen dengan rumus:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

$\text{Adjunto de } 4 =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de } 3 =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-1) = \bm{1}$

$\text{Adjunto de } 2 =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

Sekarang kita hanya perlu mengganti setiap elemen dalam array

$A$

oleh wakilnya untuk mencari matriks wakilnya

$\bm{A} :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{2} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{4} \end{pmatrix}$

Dan dengan cara ini wakil dari sebuah matriks ditemukan. Tapi Anda mungkin bertanya-tanya untuk apa semua perhitungan ini? Nah, salah satu kegunaan penggabungan matriks adalah menghitung invers suatu matriks . Sebenarnya metode yang paling umum untuk mencari matriks invers adalah metode matriks adjoin.

Memecahkan masalah matriks adjoin

Latihan 1

Hitung matriks adjoin dari matriks persegi 2×2 berikut:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -4 & 1 \end{pmatrix}$

lihat solusi

Untuk menghitung adjoint matriks, kita harus menghitung adjoint setiap elemen matriks. Oleh karena itu, pertama-tama kita akan menyelesaikan persamaan semua elemen dengan rumus:

$\text{Adjunto de 2} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -4 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -4} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}$

Sekarang kita hanya perlu mengganti setiap elemen dalam array

$A$

oleh wakilnya untuk mencari matriks wakilnya

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{1} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{2} \end{pmatrix}$

Latihan 2

Tentukan matriks adjoin dari matriks orde kedua berikut:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & -2 \\[1.1ex] 3 & -7 \end{pmatrix}$

lihat solusi

Untuk menghitung adjoint matriks, kita harus menghitung adjoint setiap elemen matriks. Oleh karena itu, pertama-tama kita akan menyelesaikan persamaan semua elemen dengan rumus:

$\text{Adjunto de 6} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -7 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-7) = \bm{-7}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 6 \end{vmatrix} = 1 \cdot 6 = \bm{6}$

Sekarang kita hanya perlu mengganti setiap elemen dalam array

$A$

oleh wakilnya untuk mencari matriks wakilnya

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{2} & \bm{6} \end{pmatrix}$

Latihan 3

Hitung matriks adjoin dari matriks 3×3 berikut:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

lihat solusi

Untuk menghitung adjoint matriks, kita harus menghitung adjoint setiap elemen matriks. Oleh karena itu, pertama-tama kita akan menyelesaikan persamaan semua elemen dengan rumus:

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot (-8) = \bm{-8}$

$\text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -1} = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] 5 & 0\end{vmatrix} = 1 \cdot (-20) = \bm{-20}$

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-6) = \bm{6}$

$\text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot 3 = \bm{3}$

$\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-15) = \bm{15}$

$\text{Adjunto de 5} = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 4 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

$\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 0\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de -2} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}$

Sekarang kita hanya perlu mengganti setiap elemen dalam array

$A$

oleh wakilnya untuk mencari matriks wakilnya

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-8} & \bm{4} & \bm{-20} \\[1.1ex] \bm{6} & \bm{3} & \bm{15} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{-2} & \bm{-2} \end{pmatrix}$

Minor, asisten dan matriks pelengkap asisten

Apa yang dimaksud dengan minor komplementer?

Bagaimana cara menghitung minor komplementer suatu unsur?

Contoh 1:

Contoh 2:

Latihan terpecahkan untuk anak di bawah umur yang saling melengkapi

Latihan 1

Latihan 2

Latihan 3

Apa adjoin dari elemen array?

Bagaimana cara mendapatkan gabungan elemen array?

Contoh 1:

Contoh 2:

Contoh 3:

Latihan terpecahkan untuk asisten

Latihan 1

Latihan 2

Latihan 3

Apa matriks terlampir?

Bagaimana cara menghitung matriks adjoin?

Contoh:

Memecahkan masalah matriks adjoin

Latihan 1

Latihan 2

Latihan 3

Tinggalkan Komentar Batalkan Balasan