Binomial potong dadu

Di sini Anda akan menemukan penjelasan resolusi hasil kali penting binomial pangkat tiga (rumus), baik (a+b) ³ atau (ab) ³ . Selain itu, Anda akan dapat melihat contoh dan latihan yang diselesaikan selangkah demi selangkah dari binomial hingga kubus.

Apa itu binomial pangkat tiga?

Binomial pangkat tiga adalah polinomial yang terdiri dari dua suku pangkat 3. Oleh karena itu, ekspresi aljabar binomial pangkat tiga dapat berupa (a+b) ³ atau (ab) ³ , bergantung pada apakah kita menjumlahkan atau mengurangi monomialnya.

Selain itu, binomial pangkat tiga adalah salah satu identitas penting (atau produk penting). Lebih tepatnya, ini berhubungan dengan salah satu identitas penting dari kubus (atau kubik).

rumus kubus binomial

Seperti yang kita lihat pada definisi pangkat tiga binomial, jenis identitas penting ini dapat terdiri dari penjumlahan atau pengurangan. Oleh karena itu, rumusnya sedikit berbeda tergantung pada apakah binomial positif atau binomial negatif, dan oleh karena itu, kita akan melihat setiap kasus secara terpisah.

kubus suatu jumlah

Jika suatu penjumlahan dipangkatkan, kita dapat menghitungnya menggunakan rumus pangkat tiga dari suatu jumlah:

Sehingga pangkat tiga binomial (penjumlahan) sama dengan pangkat tiga bilangan pertama, ditambah tiga kali kuadrat bilangan pertama dikali bilangan kedua, ditambah tiga kali lipat bilangan kuadrat bilangan pertama kali bilangan kedua, ditambah pangkat tiga bilangan kedua.

Metode lain untuk menghitung pangkat tiga suatu binomial adalah binomial Newton (atau teorema binomial). Kami meninggalkan Anda tautan berikut dengan penjelasan teorema ini karena sangat berguna untuk mengetahui rumus ini, karena rumus ini tidak hanya berfungsi untuk pangkat binomial derajat ketiga, tetapi juga untuk eksponen yang lebih tinggi. Jadi klik tautan ini untuk mengetahui dan dapat berlatih dengan latihan binomial Newton yang terselesaikan .

kubus perbedaan

Sebaliknya, jika alih-alih menjumlahkan kita mempunyai selisih (atau pengurangan) yang dipangkatkan, rumus binomial menjadi pangkat tiga akan berubah dengan tanda suku genap:

binomial selisih atau pengurangan rumus kubus

Oleh karena itu, pangkat tiga binomial (pengurangan) sama dengan pangkat tiga bilangan pertama, dikurangi tiga kali kuadrat bilangan pertama dengan bilangan kedua, ditambah tiga kali bilangan pertama dengan kuadrat bilangan kedua, dikurangi pangkat tiga bilangan kedua.

Jadi, satu-satunya perbedaan rumus pangkat tiga suatu jumlah dan pangkat tiga selisih adalah pada tanda suku kedua dan keempat, karena dalam binomial suatu jumlah semuanya positif dan, sebaliknya, dalam binomial pengurangan keduanya negatif.

Kita baru saja melihat apa itu jumlah binomial dan selisih binomial. Perlu Anda ketahui bahwa jumlah selisih dua binomial juga merupakan identitas yang luar biasa dan bahkan merupakan bagian dari 3 teratas (yang paling penting). Anda dapat melihat rumus jumlah kali selisih dan cara penerapannya di halaman tertaut.

Contoh binomial pangkat tiga

Setelah kita mengetahui rumus pangkat tiga jumlah dan rumus pangkat tiga selisih, kita akan melihat contoh penyelesaian setiap jenis pangkat tiga binomial untuk menyelesaikan pemahaman konsepnya.

Contoh pangkat tiga suatu jumlah

Selesaikan binomial kubus berikut dengan menerapkan rumus:

$(x+2)^3$

Dalam soal ini, kita mempunyai binomial yang kedua sukunya positif. Oleh karena itu kita harus menerapkan rumus untuk jumlah pangkat tiga:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

Sekarang kita perlu mencari nilai parameternya

$a$

Dan

$b$

dari rumus tersebut. Pada kasus ini,

$a$

sesuai dengan variabelnya

$x$

Dan

$b$

adalah nomor 2.

$\left. \begin{array}{l} (a+b)^3\\[2ex] (x+2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=2 \end{array}$

Oleh karena itu, kami menghitung pangkat tiga binomial dengan mensubstitusi nilai

$a$

dan dari

$b$

dalam rumus:

contoh binomial jumlah dan selisih pangkat tiga

Contoh kubus selisih

Hitung binomial pangkat tiga berikutnya (selisih) menggunakan rumus yang sesuai:

$(3x-2)^3$

Dalam latihan ini, kita mempunyai pasangan dengan elemen positif dan elemen negatif. Oleh karena itu kita harus menggunakan rumus selisih pangkat tiga:

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2 -b^3$

Oleh karena itu, penting untuk mengidentifikasi nilai dari hal-hal yang tidak diketahui

$a$

Dan

$b$

dari rumus tersebut. Pada kasus ini,

$a$

mewakili monomial 3x dan

$b$

adalah suku independen dari binomial, yaitu 2.

$\left. \begin{array}{l} (a-b)^3\\[2ex] (3x-2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=3x \\[2ex] b=2 \end{array}$

Perhatikan bahwa parameternya

$b$

sama dengan 2, tanpa tanda negatif dari angka tersebut. Penting untuk mengingat hal ini untuk menerapkan formula dengan benar.

Terakhir, kita menyelesaikan pangkat tiga binomial dengan memasukkan nilai

$a$

dan dari

$b$

dalam rumus:

Bukti rumus kubus binomial

Selanjutnya kita akan mendemonstrasikan rumus binomial pangkat tiga. Meskipun jelas tidak perlu mengetahuinya, ada baiknya untuk memahami aljabar di balik rumus apa pun.

Dari binomial pangkat tiga positif:

$(a+b)^3$

Ekspresi di atas dapat didekomposisi secara matematis menjadi produk faktor

$(a+b)$

menurut kuadratnya:

$(a+b)^3=(a+b)\cdot (a+b)^2$

Selain itu, pasangan

$(a+b)$

dipangkatkan menjadi 2 merupakan identitas yang luar biasa, oleh karena itu, kita dapat menyelesaikannya dengan rumus kuadrat suatu jumlah :

$(a+b)\cdot (a+b)^2=(a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2)$

Sekarang kita mengalikan kedua tanda kurung menggunakan sifat distributif:

$\begin{aligned} (a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2) & = a\cdot a^2 +a\cdot 2ab + a\cdot b^2+b\cdot a^2 +b\cdot 2ab +b \cdot b^2 \\[2ex] & = a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 \end{aligned}$

Dan terakhir, kita tinggal mengelompokkan istilah-istilah yang terlihat serupa:

$a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Agar rumus binomial pangkat tiga dapat diverifikasi:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

Logikanya, untuk menyimpulkan rumus kubus binomial negatif, ikuti langkah yang sama seperti yang baru saja kita lakukan, tetapi dimulai dengan sukunya

$b$

tanda berubah.

Di sisi lain, rumus binomial pangkat tiga juga dapat ditunjukkan dengan menggunakan segitiga Pascal (atau Tartaglia) . Jika Anda tidak tahu apa trik matematika ini, kami tinggalkan tautan ini untuk Anda yang menjelaskan langkah demi langkah. Selain itu, Anda akan dapat melihat semua aplikasi yang dimilikinya dan sejarah khusus dari segitiga aljabar yang sangat istimewa ini.

Memecahkan masalah kubus binomial

Agar Anda dapat berlatih dengan teori yang baru saja kita lihat pada perhitungan binomial pangkat 3, kami telah menyiapkan beberapa latihan yang diselesaikan selangkah demi selangkah pada binomial pangkat 3.

Jadi jangan lupa beri tahu kami pendapat Anda tentang penjelasan ini! Dan Anda juga dapat mengajukan pertanyaan apa pun kepada kami! 👍👍👍

Latihan 1

Temukan binomial pangkat tiga berikut:

$\text{A)} \ (x+4)^3$

$\text{B)} \ \left(x^2-5\right)^3$

$\text{C)} \ \left(2x-1\right)^3$

$\text{D)} \ (5x+2)^3$

lihat solusi

Untuk menemukan semua identitas penting dari soal, cukup terapkan rumus binomial pada kubus, bergantung pada apakah itu penjumlahan atau pengurangan:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$\text{A)} \ \begin{aligned}(x+4)^3& =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 4^2+4^3\\[2ex] & =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 16+64 \\[2ex] & = \bm{x^3+12x^2+48x+64}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(x^2-5\right)^3& =\left(x^2\right)^3-3\cdot \left(x^2\right)^2\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 5^2-5^3\\[2ex] & =x^6-3\cdot x^4\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 25-125 \\[2ex] & = \bm{x^6-15x^4+75x^2-125}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned}\left(2x-1\right)^3& =\left(2x\right)^3-3\cdot \left(2x\right)^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1^2-1^3\\[2ex] & =8x^3-3\cdot 4x^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1-1 \\[2ex] & = \bm{8x^3-12x^2+6x-1}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned}(5x+2)^3& =(5x)^3+3\cdot \left(5x\right)^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 2^2+2^3\\[2ex] & =125x^3+3\cdot 25x^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 4+8 \\[2ex] & = \bm{125x^3+150x^2+60x+8}\end{aligned}$

Latihan 2

Tentukan binomial pangkat tiga dua besaran berikut dengan menerapkan rumus yang sesuai:

$\text{A)} \ \left(4x^2-y^5\right)^3$

$\text{A)} \ \left(6x^3+2y^4\right)^3$

$\text{C)} \ \displaystyle \left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3$

lihat solusi

Untuk menghitung semua hasil kali penting dari latihan ini, Anda harus menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan pangkat tiga:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$\text{A)} \ \begin{aligned}\left(4x^2-y^5\right)^3& =\left(4x^2\right)^3-3\cdot \left(4x^2\right)^2\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot \left(y^5\right)^2-\left(y^5\right)^3\\[2ex] & =64x^6-3\cdot 16x^4\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot y^{10}-y^{15} \\[2ex] & = \bm{64x^6-48x^4y^5+12x^2y^{10}-y^{15}}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(6x^3+2y^4\right)^3& =\left(6x^3\right)^3+3\cdot \left(6x^3\right)^2\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot \left(2y^4\right)^2+\left(2y^4\right)^3\\[2ex] & =216x^9+3\cdot 36x^6\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot 4y^8+8y^{12} \\[2ex] & = \bm{216x^9+216x^6y^4 +72x^3y^8+8y^{12}}\end{aligned}$

Monomial dari binomial pangkat tiga terakhir mempunyai koefisien pecahan, jadi untuk menyelesaikannya kita perlu menggunakan sifat-sifat pecahan:

$\text{C)} \ \displaystyle \begin{aligned}\left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3 & =\left(\frac{9}{2}x^2\right)^3-3\cdot \left(\frac{9}{2}x^2\right)^2\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \left(\frac{4}{3}x\right)^2-\left(\frac{4}{3}x\right)^3\\[3ex] & =\frac{9^3}{2^3}x^6-3\cdot \frac{9^2}{2^2}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{4^2}{3^2}x^2-\frac{4^3}{3^3}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{81}{4}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{16}{9}x^2-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{324}{12}x^5 +3\cdot \frac{144}{18}x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot 27x^5 +3\cdot 8x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] & = \mathbf{\frac{729}{8}}\bm{x^6-81x^5 +24x^4-}\mathbf{\frac{64}{27}}\bm{x^3}\end{aligned}$

Kubus binomial

Apa itu binomial pangkat tiga?

rumus kubus binomial

kubus suatu jumlah

kubus perbedaan

Contoh binomial pangkat tiga

Contoh pangkat tiga suatu jumlah

Contoh kubus selisih

Bukti rumus kubus binomial

Memecahkan masalah kubus binomial

Latihan 1

Latihan 2

Tinggalkan Komentar Batalkan Balasan