Bidang paralel - Mathority

Di halaman ini Anda akan menemukan segala sesuatu tentang bidang sejajar: ketika dua bidang sejajar, persamaan dua bidang sejajar, contoh, latihan penyelesaian, sifat-sifat,…

Apa yang dimaksud dengan dua bidang sejajar?

Dalam geometri analitik, dua bidang sejajar jika jarak keduanya selalu sama. Oleh karena itu, dua bidang sejajar tidak pernah berpotongan dan tidak memiliki kesamaan.

Dua bidang yang diposisikan sejajar bukan satu-satunya kemungkinan posisi relatif antar bidang, karena dua bidang dalam ruang (dalam R3) juga dapat berpotongan atau berhimpitan.

Bagaimana cara mengetahui dua bidang sejajar?

Setelah melihat pengertian bidang sejajar, mari kita lihat bagaimana cara menentukan dua bidang sejajar atau tidak.

Dimulai dari persamaan umum (atau implisit) dari dua bidang berbeda:

$\pi_1 : \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1 =0$

$\pi_2 : \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2 =0$

Kedua bidang tersebut akan sejajar jika koefisien A, B, dan C sebanding satu sama lain dan tidak sebanding dengan koefisien D. Dengan kata lain, paralelisme antara dua bidang terjadi jika persamaan berikut terpenuhi:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white ]}]{equation*} \cfrac{A_1}{A_2}=\cfrac{B_1}{B_2} = \cfrac{C_1}{C_2}\neq \cfrac{D_1}{D_2} \end{empheq}$

Contoh dua bidang sejajar

Misalnya, dua bidang berikut sejajar:

$\pi_1 : \ 6x+2y-4z+1 =0$

$\pi_2 : \ 3x+y-2z+5 =0$

Denahnya paralel karena koefisien variabel X, Y, Z sebanding satu sama lain, tetapi tidak terhadap suku bebas:

$\cfrac{6}{3} =\cfrac{2}{1} =\cfrac{-4}{-2} \neq \cfrac{1}{5} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

Hitung jarak antara dua bidang sejajar

Dua bidang sejajar selalu berjarak sama, oleh karena itu untuk mencari jarak antara dua bidang sejajar, kita dapat mengambil sebuah titik pada salah satu bidang tersebut dan menghitung jarak dari titik tersebut ke bidang lainnya. Oleh karena itu, untuk menghitung jarak antara 2 bidang sejajar perlu diketahui rumus jarak suatu titik ke bidang .

Ini adalah metode untuk mencari jarak antara dua bidang sejajar. Namun, ada cara yang lebih sederhana untuk melakukan hal ini ketika koefisien A, B, dan C dari persamaan kedua bidang bertepatan:

Perhatikan persamaan umum (atau implisit) dari dua bidang sejajar:

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D_1=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ Ax+By+Cz+D_2=0$

Rumus untuk menghitung jarak antara dua bidang sejajar adalah:

$\color{orange} \boxed{\color{black} \quad d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \quad \vphantom{\Biggl(}}$

Jadi pastinya lebih mudah mencari jarak antara dua bidang sejajar dengan menggunakan rumus tersebut karena tinggal menerapkan rumusnya saja, tapi tergantung soal. Selain itu, menurut kami yang terbaik adalah menjelaskan kedua cara menghitung jarak sehingga Anda dapat memilih salah satu yang Anda sukai.

Contoh penghitungan jarak antara dua bidang sejajar

Sebagai contoh, kita akan menghitung jarak antara dua bidang berikut:

$\pi_1 : \ 4x-2y-4z+7=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 8x-4y-8z+2=0$

Pertama-tama kita harus memverifikasi bahwa kita berhadapan dengan dua bidang paralel. Jadi, semua koefisien persamaan bidang adalah proporsional kecuali suku-suku bebasnya, sehingga keduanya merupakan dua bidang sejajar.

$\cfrac{4}{8}=\cfrac{-2}{-4}=\cfrac{-4}{-8}\neq \cfrac{7}{2} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

Dalam hal ini, suku A, B, dan C persamaan kedua bidang tidak berhimpitan, tetapi kita dapat mencapainya dengan membagi seluruh persamaan bidang kedua dengan dua:

$\pi_2 : \ \cfrac{8x-4y-8z+2}{2}=\cfrac{0}{2}$

$\pi_2 : \ 4x-2y-4z+1=0$

Jadi persamaan kedua bidang tersebut sekarang mempunyai koefisien A, B dan C yang sama. Oleh karena itu, kita dapat dengan mudah menghitung jarak kedua bidang tersebut dengan rumus jarak antara dua bidang sejajar:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Kami mengganti nilainya dan menyelesaikan operasi:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 1-7\rvert}{\sqrt{4^2+(-2)^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert -6\rvert}{\sqrt{36}} = \cfrac{6}{6} = \bm{1}$

Sehingga jarak antara satu bidang dengan bidang lainnya sama dengan satu kesatuan.

Sifat-sifat bidang sejajar

Ciri-ciri bidang sejajar adalah sebagai berikut:

Sifat refleksif : Setiap bidang sejajar dengan bidangnya sendiri.

$\pi_1 \parallel \pi_1$

Sifat simetris : Jika suatu bidang sejajar dengan bidang lainnya, maka bidang tersebut juga sejajar dengan bidang pertama. Sifat ini juga dimiliki oleh bidang yang tegak lurus.

$\pi_1 \parallel \pi_2 \ \longrightarrow \ \pi_2 \parallel \pi_1$

Sifat transitif : jika suatu bidang sejajar dengan bidang lain, dan bidang kedua ini sejajar dengan bidang ketiga, maka bidang pertama juga sejajar dengan bidang ketiga.

$\left. \begin{array}{c} \pi_1 \parallel \pi_2\\[2ex] \pi_2 \parallel \pi_3 \end{array} \right\} \longrightarrow \ \pi_1 \parallel \pi_3$

Pesawat paralel