Turunan dari cosecant

Pada artikel ini kami menjelaskan cara menurunkan kosekan suatu fungsi (rumus). Anda juga akan menemukan latihan yang diselesaikan selangkah demi selangkah untuk turunan kosekan. Dan terakhir, Anda akan dapat melihat demonstrasi rumus turunan trigonometri jenis ini.

Rumus turunan kosekan

Turunan kosekan x sama dengan dikurangi hasil bagi kosinus x dibagi sinus kuadrat x.

$f(x)=\text{cosec}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{\text{cos}(x)}{\text{sen}^2(x)}$

Dengan menggunakan rumus trigonometri, kita juga dapat mendefinisikan turunan kosekan x sebagai dikurangi hasil kali kotangen x dikali kosekan x.

$f'(x)=-\cfrac{\text{cos}(x)}{\text{sen}^2(x)}=-\cfrac{\text{cos}(x)}{\text{sen}(x)}\cdot \cfrac{1}{\text{sen}(x)}=-\text{cot}(x)\cdot \text{cosec}(x)$

Dan jika kita menerapkan aturan rantai, turunan kosekan suatu fungsi adalah dikurangi hasil kali turunan fungsi tersebut dikalikan kosinus dari fungsi tersebut, dibagi dengan sinus kuadrat dari fungsi tersebut.

$f(x)=\text{cosec}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'\cdot \text{cos}(u)}{\text{sen}^2(u)}$

Oleh karena itu, rumus yang digunakan untuk menurunkan kosekan suatu fungsi adalah sebagai berikut:

Contoh turunan dari kosekan

Setelah mengetahui apa rumus turunan kosekan, sekarang kita akan memberikan beberapa contohnya. Jadi Anda bisa melihat dengan tepat bagaimana kosekan suatu fungsi diturunkan.

Contoh 1: Turunan dari kosekan 2x

Dalam contoh ini kita akan melihat berapa turunan dari kosekan 2x:

$f(x)=\text{cosec}(2x)$

Fungsi argumen kosekan berbeda dengan x, sehingga kita perlu menggunakan aturan turunan kosekan dengan aturan rantai.

$f(x)=\text{cosec}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'\cdot \text{cos}(u)}{\text{sen}^2(u)}$

Jadi, untuk mencari turunan fungsi trigonometri ini, cukup substitusikan nilai pada rumus sebelumnya: pada argumen cosinus dan sinus kita masukkan 2x, dan u’ sesuai dengan turunan dari 2x, yaitu 2:

$f(x)=\text{cosec}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2\cdot \text{cos}(2x)}{\text{sen}^2(2x)}$

Contoh 2: Turunan dari kosekan x kuadrat

Pada latihan ini, kita akan melihat berapa turunan dari kosekan x kuadrat:

$f(x)=\text{cosec}(x^2)$

Logikanya, turunan fungsi trigonometri ini diselesaikan dengan menggunakan rumus turunan kosekan:

$f(x)=\text{cosec}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'\cdot \text{cos}(u)}{\text{sen}^2(u)}$

Turunan x kuadrat menghasilkan 2x, jadi turunan kosekan x pangkat dua adalah:

$f(x)=\text{cosec}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2x\cdot \text{cos}(x^2)}{\text{sen}^2(x^2)}$

Contoh 3: Turunan kosekan pangkat tiga dari suatu fungsi eksponensial

$f(x)=\text{cosec}^3(e^{5x})$

Apapun argumen fungsi tersebut, aturan turunan kosekan suatu fungsi adalah:

$f(x)=\text{cosec}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'\cdot \text{cos}(u)}{\text{sen}^2(u)}$

Namun dalam kasus ini kita mempunyai fungsi majemuk, karena kosekan dipangkatkan menjadi tiga dan terlebih lagi dalam argumennya terdapat fungsi eksponensial. Jadi, untuk membedakan seluruh fungsi, kita perlu menerapkan aturan rantai beberapa kali:

$\begin{aligned}\displaystyle f'(x)& = 3\text{cosec}^2(e^{5x})\cdot\left(-\frac{5e^{5x}\cdot \text{cos}(e^{5x})}{\text{sen}^2(e^{5x})}\right)\\[1.5ex]&=-\frac{-15\text{cosec}^2(e^{5x})\cdot e^{5x}\cdot \text{cos}(e^{5x})}{\text{sen}^2(e^{5x})}\end{aligned}$

Menyelesaikan masalah turunan kosekan

Turunkan fungsi kosekan berikut:

$\text{A) }f(x)=\text{cosec}(x^4-2x^2)$

$\text{B) }f(x)=\text{cosec}(x^3+e^x-10)$

$\text{C) }f(x)=\text{cosec}\bigl(\ln(x^3+7x^2)\bigr)$

$\text{D) }f(x)=\text{cosec}\bigl(\text{arccos}(x^7)\bigr)$

$\text{E) }f(x)=\text{cosec}\left(\sqrt{9x^2-4x}\right)$

lihat solusi

$\text{A) }f('x)=-\cfrac{(4x^3-4x)\cdot \text{cos}(x^4-2x^2)}{\text{sen}^2(x^4-2x^2)}$

$\text{B) }f('x)=-\cfrac{(3x^2+e^x)\cdot \text{cos}(x^3+e^x-10)}{\text{sen}^2(x^3+e^x-10)}$

$\begin{aligned}\text{C) }f'(x)& =-\cfrac{\cfrac{3x^2+14x}{x^3+7x^2}\cdot \text{cos}\bigl(\ln(x^3+7x^2)\bigr)}{\text{sen}^2\bigl(\ln(x^3+7x^2)\bigr)}\\[1.5ex] &= -\cfrac{\cfrac{3x+14}{x^2+7x}\cdot \text{cos}\bigl(\ln(x^3+7x^2)\bigr)}{\text{sen}^2\bigl(\ln(x^3+7x^2)\bigr)}\\[1.5ex] &= -\cfrac{(3x+14)\cdot \text{cos}\bigl(\ln(x^3+7x^2)\bigr)}{(x^2+7x)\cdot \text{sen}^2\bigl(\ln(x^3+7x^2)\bigr)}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\text{D) }f'(x)& =-\cfrac{-\cfrac{7x^6}{\sqrt{1-\left(x^7\right)^2}}\cdot \text{cos}\bigl(\text{arccos}(x^7)\bigr)}{\text{sen}^2\bigl(\text{arccos}(x^7)\bigr)}\\[1.5ex] & =-\cfrac{(-7x^6)\cdot \text{cos}\bigl(\text{arccos}(x^7)\bigr)}{\left(\sqrt{1-x^{14}}\right)\cdot \text{sen}^2\bigl(\text{arccos}(x^7)\bigr)}\\[1.5ex] & =\cfrac{7x^6\cdot \text{cos}\bigl(\text{arccos}(x^7)\bigr)}{\left(\sqrt{1-x^{14}}\right)\cdot \text{sen}^2\bigl(\text{arccos}(x^7)\bigr)}\end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{E) }f'(x)& =-\cfrac{\cfrac{18x-4}{2\cdot\sqrt{9x^2-4x}} \cdot \text{cos}\left(\sqrt{9x^2-4x}\right)}{\text{sen}^2\left(\sqrt{9x^2-4x}\right)}\\[1.5ex] &=-\cfrac{(18x-4)\cdot \text{cos}\left(\sqrt{9x^2-4x}\right)}{2\sqrt{9x^2-4x}\cdot \text{sen}^2\left(\sqrt{9x^2-4x}\right)} \end{aligned}$

Pembuktian rumus turunan kosekan

Selanjutnya kita akan mendemonstrasikan rumus turunan kosekan. Berbeda dengan demonstrasi lainnya, dalam hal ini kita tidak akan menggunakan limit yang mendefinisikan suatu turunan, tetapi kita akan mulai dari definisi matematis dari kosekan.

Secara aljabar, fungsi trigonometri kosekan adalah kebalikan perkalian sinus:

$f(x)=\text{cosec}(x)=\cfrac{1}{\text{sen}(x)}$

Oleh karena itu, kita dapat mengambil turunan kosekan menggunakan aturan hasil bagi:

$f'(x)=\cfrac{0\cdot \text{sen}(x)-1\cdot \text{cos}(x)}{\text{sen}^2(x)}$

$f'(x)=\cfrac{-\text{cos}(x)}{\text{sen}^2(x)}$

Seperti yang Anda lihat, hanya dengan menerapkan aturan turunan suatu pembagian kita akan sampai pada rumus turunan kosekan. Dan karena turunan suatu hasil bagi sudah terbukti (bisa dilihat pada link berikut), maka aturan turunan kosekan juga sudah terbukti.

➤ Lihat: bukti turunan suatu hasil bagi

Rumus turunan kosekan

Contoh turunan dari kosekan

Contoh 1: Turunan dari kosekan 2x

Contoh 2: Turunan dari kosekan x kuadrat

Contoh 3: Turunan kosekan pangkat tiga dari suatu fungsi eksponensial

Menyelesaikan masalah turunan kosekan

Pembuktian rumus turunan kosekan

Tinggalkan Komentar Batalkan Balasan