Secara etimologis, quaternion atau quaternion berasal dari bahasa Latin quaterni . Dalam bahasa Spanyol, kata tersebut diterjemahkan menjadi “empat”. Namun penafsirannya berarti “bilangan empat unsur”.
Angka empat adalah elemen bidang non-permutan yang awalnya dibuat oleh William Rowan Hamilton. Angka empat didefinisikan sebagai perpanjangan bilangan real yang membentuk bilangan hiperkompleks. Faktanya, keduanya sangat mirip dengan bilangan kompleks .
Artinya, angka empat terjadi karena amplifikasi yang disebabkan secara analogis. Di sisi lain, bilangan kompleks dihasilkan sebagai perpanjangan bilangan real dengan jumlah unit imajiner i , sehingga i kuadrat sama dengan -1. Dalam kasus pertama, satuan imajiner k , i dan j dijumlahkan ke bilangan real.
Oleh karena itu, sehubungan dengan angka empat, kita mendapatkan bahwa: i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1. Representasi ini sesuai dengan yang disusun dalam tabel Cayley . Pada titik ini, perlu disebutkan bahwa i , j , k dan 1 adalah empat pilar dasar angka empat.
| × | 1 | yo | J | Apa |
| 1 | 1 | yo | J | Apa |
| yo | yo | -1 | Apa | -J |
| J | J | -k | -1 | yo |
| Apa | Apa | J | -Yo | -1 |
William Hamilton menemukan angka empat pada tahun 1843 sebagai metode yang memungkinkan dia mengalikan dan membagi vektor, memutarnya, dan merentangkannya.
Bagaimana cara membuat angka empat?
Angka empat membentuk aljabar indah yang setiap objeknya berisi 4 variabel . Bahkan, kadang-kadang disebut parameter Euler yang berbeda dengan sudut Euler. Benda-benda ini dapat dijumlahkan dan dikalikan sebagai satu kesatuan dengan cara yang mirip dengan aljabar bilangan biasa.
Namun, ada perbedaan. Dalam istilah matematika, perkalian angka empat tidak bersifat komutatif.
Kuarter memiliki 4 dimensi. Setiap angka empat terdiri dari 4 bilangan skalar , satu dimensi nyata dan 3 dimensi imajiner. Masing-masing dimensi imajiner ini mempunyai nilai satuan akar kuadrat -1. Namun, ini adalah akar kuadrat -1 yang berbeda, semuanya tegak lurus satu sama lain, disebut i , j dan k . Dengan demikian, angka empat dapat direpresentasikan sebagai berikut:
x = (a, b, c, d) yang ditulis x = a + bi + cj + dk
Oleh karena itu, a, b, c dan d mewakili bilangan real yang didefinisikan secara tegas oleh setiap angka empat. Sebaliknya, bilangan 1, i , j dan k adalah bilangan pokok. Jika kita ingin menyatakan angka empat menggunakan suatu himpunan, kita dapat melakukan hal berikut: Dengan asumsi bahwa IR 4 mewakili himpunan tersebut, persamaannya adalah: IR4= {a + bi + cj + dk: a, b, c, d ∈ IR}
Himpunan ini konsisten dengan ruang empat dimensi nyata. Sama seperti himpunan bilangan real yang berkorespondensi dengan ruang yang ada dalam satu dimensi, demikian pula himpunan bilangan kompleks yang berkorespondensi dengan ruang dalam dua dimensi.
Apa struktur aljabar angka empat?
Angka empat menggambarkan benda yang tidak beraturan . Artinya, ini adalah struktur aljabar yang mirip dengan bidang. Namun, ini tidak bersifat komutatif dalam perkalian. Dengan kata lain, ia memenuhi semua kualitas suatu benda, namun hasilnya tidak bersifat komutatif.
Perkalian angka empat bersifat asosiatif. Selain itu, setiap angka empat bukan nol memiliki invers yang unik . Angka empat bukan merupakan aljabar asosiatif dibandingkan dengan bilangan kompleks.
Terakhir, dengan cara yang sama seperti bilangan kompleks dan bilangan real mewakili dimensi vektor Euclidean dari satuan atau ruang ganda, oleh karena itu, angka empat menciptakan luas vektor Euclidean empat dimensi.
Bagaimana cara merepresentasikan angka empat dalam matriks?
Representasi matriks juga merupakan karakteristik angka empat. Dalam hal ini, matriks matematika diterapkan untuk ekspresinya. Misalnya, jika kita mempunyai angka empat p = a + bi + cj + dk maka kita dapat merepresentasikannya dalam matriks kompleks 2 x 2 sebagai berikut:
Cara lain untuk menggunakan representasi matriks dalam angka empat adalah dengan menggunakan matriks real 4 x 4 . Selain itu, dengan menggunakan matriks untuk merepresentasikan angka empat, matriks tersebut dapat dinyatakan sebagai hasil kali dalam dari dua vektor. Jadi, salah satu komponennya adalah: = (a1, a2, a3, a4) dan komponen lainnya {1, i, j, k }.
Dalam hal ini, elemen a 1 yang menghasilkan komponen nyata ditulis secara terpisah. Selanjutnya, untuk hasil kali skalar hanya tiga basis i, j, k yang diperhitungkan:
x = (a1, a) = (a1, a2, a3, a4)
Operasi dasar apa yang dapat dilakukan dengan angka empat?
Untuk menjumlahkan dan memperoleh hasil kali antara satu angka empat dan angka empat lainnya, digunakan aritmatika bilangan kompleks. Cara kerjanya sama seperti pada kasus set IR 4 sebelumnya . Artinya, rangkaian tersebut ditambah operasi lainnya mengkompensasi semua kualitas tubuh. Satu-satunya relevansi dalam hal ini adalah bahwa produk tersebut tidak berpindah-pindah.
Dalam hal penambahan dilakukan term per term. Bagaimanapun, cara kerjanya sama seperti bilangan kompleks. Artinya:
(a1 + b1i + c1j + d1k) + (a2 + b2i + c2j + d2k) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i + (c1 + c2)j + (d1 + d2)k.
Untuk produknya diterapkan dari komponen ke komponen . Menurut ini, tampilannya seperti ini:
ab = (a1b1 – a2b2 – a3b3 – a4b4) + (a1b2 + a2b1 + a3b4 – a4b3)i + (a1b3 – a2b4 + a3b1 – a4b2)j + (a1b4 + a2b3 – a3b2 + a4b3)k
Seperti yang telah kami tunjukkan sebelumnya, hasil kali angka empat tidak pernah bersifat komutatif. Sebaliknya, selalu bersifat asosiatif . Operasi yang diuraikan sebelumnya dapat dilakukan dengan mengganti representasi.
Apa penerapan angka empat?
Angka empat jauh melampaui penyelidikan matematis. Saat ini mereka memiliki berbagai aplikasi. Pertama, mereka digunakan untuk memverifikasi jawaban dalam teori bilangan . Contohnya adalah teorema Lagrange yang menyatakan bahwa bilangan asli dinyatakan sebagai jumlah dari 4 kuadrat sempurna.
Di sisi lain, ia mempunyai aplikasi dalam bidang fisika. Quaternion sangat berguna untuk mekanika kuantum, elektromagnetisme, dan banyak lagi.