▷ Hitung perkalian silang dua vektor (contoh)

Halaman ini menjelaskan apa itu perkalian silang dua vektor dan cara menghitungnya. Anda juga akan melihat cara mencari arah dan arah perkalian silang menggunakan aturan tangan kanan (atau pembuka botol). Terlebih lagi, Anda akan menemukan kegunaan operasi jenis ini, serta contoh, latihan, dan masalah yang diselesaikan langkah demi langkah.

Berapakah perkalian silang dua vektor?

Dalam matematika, perkalian silang adalah operasi antara dua vektor dalam ruang tiga dimensi (dalam R3). Hasil operasi vektor ini adalah sebuah vektor yang arahnya tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan, dan modulnya sama dengan hasil kali modul vektor-vektor pengalinya dengan sinus sudut yang dibentuknya. Dengan kata lain rumusnya adalah:

$\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}}\rvert = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}}\rvert \cdot \text{sen}(\alpha)$

Seperti yang Anda lihat pada rumus sebelumnya, perkalian silang dilambangkan

$\bm{\times}$

, oleh karena itu disebut juga perkalian silang. Kadang-kadang juga disebut produk vektor Gibbs, karena ia menemukannya.

Seperti yang dapat Anda lihat pada representasi grafis sebelumnya, perkalian silang tegak lurus terhadap dua vektor yang dikalikan keduanya, sehingga normal terhadap bidang yang menampung vektor-vektor tersebut.

Rumus untuk menghitung perkalian silang dua vektor

Jika kita mengetahui koordinat Cartesian dari vektor-vektor tersebut, cara paling sederhana untuk menghitung perkalian silang vektor-vektor tersebut adalah dengan mencari determinan 3×3. Perhatikan cara melakukannya:

Pertimbangkan dua vektor apa pun:

$\vv{\text{u}}= (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) \qquad \vv{\text{v}}= (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

Produk vektornya adalah:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}}=\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] \text{u}_x & \text{u}_y & \text{u}_z \\[1.1ex] \text{v}_x &\text{v}_y&\text{v}_z \end{vmatrix}$

Dimana vektornya

$\vv{i}, \vv{j},\vv{k}$

Ini adalah vektor satuan pada arah sumbu X, Y dan Z.

Mari kita lihat contoh cara menghitung perkalian silang antara dua vektor:

$\vv{\text{u}}= (3,1,0) \qquad \vv{\text{v}}= (2,1,-1)$

Untuk menentukan hasil kali vektor antar vektor, kita harus membuat determinan orde 3 berikut:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}}=\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 3& 1 & 0 \\[1.1ex] 2 &1&-1 \end{vmatrix}$

Dalam hal ini, kita akan menyelesaikan determinan dengan bahan pembantu atau kofaktor (aturan Sarrus juga dapat digunakan):

$\begin{aligned} \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}}=\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 3& 1 & 0 \\[1.1ex] 2 &1&-1 \end{vmatrix} & = \vv{i}\begin{vmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 1&-1 \end{vmatrix} -\vv{j}\begin{vmatrix} 3& 0 \\[1.1ex] 2 &-1 \end{vmatrix}+\vv{z}\begin{vmatrix}3& 1 \\[1.1ex] 2 &1 \end{vmatrix} \\[2ex] & = -\vv{i}+3\vv{j}+\vv{z}\end{aligned}$

Maka hasil perkalian vektor kedua vektor tersebut adalah:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}}=\bm{(-1,3,1)}$

Menentukan arah dan arah perkalian silang

Terkadang kita tidak perlu mengetahui komponen-komponen vektor hasil perkalian silang, tetapi cukup mencari modulusnya, arahnya, dan arahnya. Hal ini sering terjadi dalam fisika, khususnya dalam perhitungan gaya.

Jadi, ada beberapa aturan untuk mencari arah dan arah perkalian vektor, yang paling terkenal adalah aturan tangan kanan , baik dengan tiga jari atau dengan seluruh tangan, dan aturan pembuka botol (atau sekrup) . Anda dapat menggunakan salah satunya, jadi Anda tidak perlu mengetahui semuanya, kami akan tetap menjelaskan ketiga aturan tersebut kepada Anda sehingga Anda dapat tetap menggunakan yang paling Anda sukai.

Aturan tangan kanan (3 jari)

Aturan atau hukum tangan kanan versi 3 jari melibatkan langkah-langkah berikut:

Letakkan jari telunjuk tangan kanan Anda ke arah vektor pertama perkalian silang
$(\vv{\text{u}}).$
Letakkan jari tengah (atau jari tengah) tangan kanan Anda ke arah vektor kedua perkalian silang
$(\vv{\text{v}}).$
Posisi ibu jari yang dihasilkan menunjukkan arah dan arah perkalian silang
$(\vv{\text{u}}\times\vv{\text{v}}).$

Aturan tangan kanan (telapak tangan)

Aturan atau hukum tangan kanan versi palmar sangat mirip dengan aturan sebelumnya. Untuk menerapkannya, Anda harus mengikuti langkah-langkah berikut:

Letakkan tangan kanan Anda sambil menunjuk dengan jari-jari Anda searah dengan vektor pertama perkalian silang
$(\vv{\text{u}}).$
Tutup tangan kanan Anda dengan menggerakkan jari-jari Anda ke arah vektor kedua perkalian silang
$(\vv{\text{v}}).$

Anda harus menutup tangan Anda pada sisi yang sudut (atau jarak) antar vektornya lebih kecil.
Posisi ibu jari yang dihasilkan menentukan arah perkalian silang
$(\vv{\text{u}}\times\vv{\text{v}}).$

aturan pembuka botol

Aturan pembuka botol atau sekrup mirip dengan aturan tangan kanan yang menggunakan seluruh telapak tangan. Prosedurnya adalah sebagai berikut:

Dengan menggunakan imajinasi Anda, letakkan pembuka botol (atau sekrup) dengan pegangan mengarah ke arah yang sama dengan vektor pertama perkalian silang.
$(\vv{\text{u}}).$
Kemudian putar pembuka botol ke arah vektor kedua perkalian silang
$(\vv{\text{v}})$

seolah-olah Anda akan memasukkannya ke dalam gabus. Anda perlu memutar pembuka botol ke sisi yang jarak antar vektornya paling pendek.
Arah titik spiral pembuka botol akan menjadi arah dan arah perkalian vektor
$(\vv{\text{u}}\times\vv{\text{v}}).$

Sifat-sifat perkalian silang dua vektor

Perkalian silang dua buah vektor mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:

Sifat antikomutatif: urutan vektor-vektor yang terlibat dalam perkalian vektor tidak tetap, karena tandanya bervariasi menurutnya.

$\vv{\text{u}}\times\vv{\text{v}} = - \vv{\text{v}}\times\vv{\text{u}}$

Sifat distributif penjumlahan dan pengurangan vektor:

$\vv{\text{u}}\times(\vv{\text{v}}+\vv{\text{w}}) = \vv{\text{u}}\times\text{v}}+\vv{\text{u}}\times \vv{\text{w}}$

$\vv{\text{u}}\times(\vv{\text{v}}-\vv{\text{w}}) = \vv{\text{u}}\times\text{v}}-\vv{\text{u}}\times \vv{\text{w}}$

Sifat homogen : mengalikan vektor perkalian silang dengan skalar (bilangan real) sama dengan mengalikan hasil perkalian silang dengan skalar tersebut.

$k \cdot (\vv{\text{u}}\times\vv{\text{v}}) = (k\cdot \vv{\text{u}})\times\vv{\text{v}}=\vv{\text{u}}\times(k\cdot\vv{\text{v}})$

Vektor yang dihasilkan dari perkalian vektor tegak lurus terhadap dua vektor yang terlibat dalam operasi tersebut.

$\begin{array}{c} \vv{\text{u}} \perp (\vv{\text{u}}\times\vv{\text{v}}) \\[2ex] \vv{\text{v}} \perp (\vv{\text{u}}\times\vv{\text{v}}) \end{array}$

Selanjutnya jika kedua vektor ortogonal maka persamaan berikut terpenuhi:

$\vv{\text{u}} \perp \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \begin{cases} \vv{\text{u}} \cdot (\vv{\text{u}}\times\vv{\text{v}})=0 \\[2ex] \vv{\text{v}} \cdot (\vv{\text{u}}\times\vv{\text{v}})=0 \end{array}$

Perkalian silang dua vektor sejajar sama dengan vektor nol (atau nol).

$\vv{\text{u}} \ || \ \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{u}}\times\vv{\text{v}}=0$

Jika kita tidak mengetahui sudut yang dibentuk oleh dua vektor, modulus perkalian vektornya juga dapat dihitung menggunakan persamaan berikut:

$\lvert \vv{\text{u}}\times\vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ \lvert \vv{\text{u}}\rvert ^2 \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert ^2 - (\vv{\text{u}}\cdot \vv{\text{v}})^2 \vphantom{\frac{1}{2}}$

Hitung luas jajar genjang atau segitiga menggunakan perkalian silang

Secara geometris, modulus perkalian silang dua vektor berimpit dengan luas jajar genjang yang kedua vektor tersebut sebagai sisinya. Oleh karena itu, perkalian silang dapat digunakan untuk menghitung luas jajar genjang.

Selain itu, diagonal jajar genjang membaginya menjadi dua segitiga, atau dengan kata lain segitiga adalah setengah jajar genjang. Jadi, luas segitiga adalah setengah modulus hasil kali silang yang mengambil dua sisinya sebagai vektor.

Ingatlah bahwa modulus suatu vektor dalam ruang 3 dimensi adalah akar dari jumlah kuadrat koordinatnya:

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{\vphantom{\frac{1}{2}} \text{v}_x^2+\text{v}_y^2+\text{v}_z^2}$

Inilah dua penerapan perkalian silang dua vektor dalam bidang matematika. Namun masih memiliki kegunaan lain, misalnya dalam fisika digunakan untuk menghitung medan magnet.

Latihan soal perkalian vektor dari vektor

Latihan 1

Hitunglah perkalian silang antara dua vektor berikut:

$\vv{\text{u}}= (-1,4,2) \qquad \vv{\text{v}}= (0,-2,1)$

Lihat solusinya

Untuk menentukan hasil kali vektor antar vektor, kita harus menyelesaikan determinan dimensi 3×3 berikut:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}}=\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] -1& 4 & 2 \\[1.1ex] 0 &-2&1 \end{vmatrix}$

Dalam hal ini, kita akan menyelesaikan determinan dengan bahan pembantu atau kofaktor (tetapi aturan Sarrus juga dapat digunakan):

$\begin{aligned}\begin{vmatrix}\vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] -1& 4 & 2 \\[1.1ex] 0 &-2&1\end{vmatrix} & = \vv{i}\begin{vmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex]-2&1\end{vmatrix} -\vv{j}\begin{vmatrix} -1& 2 \\[1.1ex] 0 &1\end{vmatrix}+\vv{z}\begin{vmatrix}-1& 4 \\[1.1ex] 0 &-2\end{vmatrix} \\[2ex] & = 8\vv{i}+\vv{j}+2\vv{z}\end{aligned}$

Maka hasil perkalian vektor kedua vektor tersebut adalah:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}}=\bm{(8,1,2)}$

Latihan 2

Tentukan perkalian silang antara dua vektor berikut:

$\vv{\text{u}}= (3,-2,4) \qquad \vv{\text{v}}= (1,5,-3)$

Lihat solusinya

Untuk mencari hasil kali vektor antara kedua vektor tersebut, kita harus menyelesaikan determinan 3×3 berikut:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}}=\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 3& -2 & 4 \\[1.1ex] 1 &5&-3 \end{vmatrix}$

Dalam hal ini, kita akan menyelesaikan determinan dengan adjoint atau kofaktor (walaupun aturan Sarrus dapat digunakan secara bergantian):

$\begin{aligned} \begin{vmatrix}\vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 3& -2 & 4 \\[1.1ex] 1 &5&-3\end{vmatrix} & = \vv{i}\begin{vmatrix} -2 & 4 \\[1.1ex] 5&-3\end{vmatrix} -\vv{j}\begin{vmatrix} 3& 4 \\[1.1ex] 1&-3\end{vmatrix}+\vv{z}\begin{vmatrix}3& -2 \\[1.1ex] 1 &5\end{vmatrix} \\[2ex] & = -14\vv{i}+13\vv{j}+17\vv{z}\end{aligned}$

Maka hasil perkalian vektor antara kedua vektor tersebut adalah:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}}=\bm{(-14,13,17)}$

Latihan 3

Mengetahui modulus dua vektor dan sudut yang dibentuknya:

$|\vv{\text{u}}|= 5 \qquad |\vv{\text{v}}|= 6 \qquad \alpha = 30º$

Tentukan besar perkalian silang kedua vektor tersebut.

Lihat solusinya

Kita dapat dengan mudah menghitung modulus perkalian vektor antara kedua vektor dengan menerapkan rumus:

$\begin{aligned} \lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}}\rvert & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}}\rvert \cdot \text{sen}(\alpha) \\[2ex] & = 5 \cdot 6 \cdot \text{sen}(30º) \\[2ex] &= 30 \cdot 0,5 \\[2ex] &= \bm{15} \end{aligned}$

Latihan 4

Dari vektor-vektor berikut yang terdapat pada bidang layar :

Hitung besar, arah dan arti vektor yang dihasilkan dari operasi vektor berikut:

$\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}}\rvert$

Lihat solusinya

Kedua vektor tersebut tegak lurus, sehingga norma hasil kali vektornya adalah:

$\begin{aligned} \lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}}\rvert & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}}\rvert \cdot \text{sen}(\alpha) \\[2ex] & = 3 \cdot 4 \cdot \text{sen}(90º) \\[2ex] &= 12 \cdot 1 \\[2ex] &= \bm{12} \end{aligned}$

Sebaliknya, vektor yang dihasilkan dari perkalian vektor tegak lurus terhadap dua vektor yang ikut serta dalam operasi, sehingga arahnya akan tegak lurus terhadap layar.

Dan terakhir, dengan menggunakan aturan garis lurus (atau pembuka botol), kita dapat menyimpulkan bahwa arah vektor yang dihasilkan akan mengarah ke bagian dalam layar.

Latihan 5

Hitunglah luas jajar genjang yang mempunyai vektor-vektor berikut pada kedua sisinya:

$\vv{\text{u}}= (2,3,-2) \qquad \vv{\text{v}}= (5,0,-1)$

Lihat solusinya

Luas jajar genjang bertepatan dengan modulus perkalian silang vektor-vektor yang membentuknya. Oleh karena itu kami menghitung produk vektor dari vektor-vektor tersebut:

$\begin{aligned} \vv{\text{u}}\times \vv{\text{v}} = \begin{vmatrix}\vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex]2& 3 & -2 \\[1.1ex] 5 &0&-1\end{vmatrix} & = \vv{i}\begin{vmatrix} 3 & -2 \\[1.1ex] 0&-1\end{vmatrix} -\vv{j}\begin{vmatrix} 2& -2 \\[1.1ex] 5 &-1\end{vmatrix}+\vv{z}\begin{vmatrix}2& 3 \\[1.1ex] 5 &0\end{vmatrix} \\[2ex] & = -3\vv{i}-8\vv{j}-15\vv{z}\end{aligned}$

Dan kemudian modul Anda:

$A=\lvert\vv{\text{u}}\times \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{\vphantom{\frac{1}{2}} (-3)^2+(-8)^2+(-15)^2}=\bm{17,26} \ \mathbf{u}\bm{^2}$

Latihan 6

Temukan luas segitiga yang titik sudutnya adalah titik-titik berikut:

$A(2,1,0) \qquad B(4,0,3)\qquad C(-1,2,3)$

Lihat solusinya

Pertama-tama kita harus menghitung vektor-vektor yang membentuk sisi-sisi segitiga:

$\vv{AB} = B- A = (4,0,3)-(2,1,0) = (2,-1,3)$

$\vv{BC} =C- B =(-1,2,3)- (4,0,3) = (-5,2,0)$

Luas suatu segitiga adalah setengah besar hasil kali vektor dari vektor-vektor yang membentuknya. Oleh karena itu kami menghitung produk vektor dari vektor-vektor tersebut:

$\begin{aligned} \vv{\text{u}}\times \vv{\text{v}} = \begin{vmatrix}\vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex]2& -1 & 3 \\[1.1ex] -5 &2&0\end{vmatrix} & = \vv{i}\begin{vmatrix} -1 & 3 \\[1.1ex] 2&0\end{vmatrix} -\vv{j}\begin{vmatrix} 2& 3 \\[1.1ex] -5 &0\end{vmatrix}+\vv{z}\begin{vmatrix}2& -1 \\[1.1ex] -5 &2\end{vmatrix} \\[2ex] & = -6\vv{i}-15\vv{j}-\vv{z}\end{aligned}$

Setelah modul Anda:

$\lvert\vv{\text{u}}\times \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{\vphantom{\frac{1}{2}} (-6)^2+(-15)^2+(-1)^2}=16,19$

Dan terakhir, luas segitiga akan menjadi setengah modul:

$A=\cfrac{1}{2}\cdot \lvert\vv{\text{u}}\times \vv{\text{v}} \rvert = \cfrac{1}{2}\cdot 16,19=\bm{8,09} \ \mathbf{u}\bm{^2}$

Perkalian silang dua vektor (atau perkalian silang)

Berapakah perkalian silang dua vektor?

Rumus untuk menghitung perkalian silang dua vektor

Menentukan arah dan arah perkalian silang

Aturan tangan kanan (3 jari)

Aturan tangan kanan (telapak tangan)

aturan pembuka botol

Sifat-sifat perkalian silang dua vektor

Hitung luas jajar genjang atau segitiga menggunakan perkalian silang

Latihan soal perkalian vektor dari vektor

Latihan 1

Latihan 2

Latihan 3

Latihan 4

Latihan 5

Latihan 6

Tinggalkan Komentar Batalkan Balasan