▷ Bagaimana cara menghitung sudut antara dua vektor? (rumus) ✅

Di halaman ini Anda akan menemukan cara menghitung sudut antara dua vektor. Selain itu, Anda juga akan melihat contoh dan dapat berlatih dengan latihan dan soal yang diselesaikan langkah demi langkah.

Rumus sudut antara dua vektor

Jika kita mengingat definisi perkalian titik , maka dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

Dari persamaan tersebut kita dapat memperoleh rumus yang akan membantu kita mencari secara langsung sudut yang dibentuk oleh dua buah vektor:

Kosinus sudut yang dibentuk oleh dua buah vektor sama dengan hasil kali titik antara kedua vektor tersebut dibagi dengan hasil kali modulus kedua vektor tersebut.

Dengan kata lain rumus menentukan sudut yang dibentuk oleh dua buah vektor adalah sebagai berikut:

Oleh karena itu, untuk mencari sudut yang dibentuk oleh dua vektor, penting bagi Anda untuk mengetahui cara menghitung besar suatu vektor . Di tautan ini Anda akan menemukan rumus, contoh, dan latihan penyelesaian modul vektor, jadi jika Anda belum menguasai operasi vektor ini, kami sarankan Anda melihatnya.

Rumus ini berlaku untuk bidang (di R2) dan ruang (di R3). Artinya, kita dapat menggunakannya secara bergantian untuk vektor dua atau tiga komponen.

Namun terkadang rumus ini tidak perlu diterapkan karena sudut antar vektor dapat disimpulkan:

Sudut antara dua vektor yang tegak lurus (yang arahnya sama) adalah 0º.
Sudut antara dua vektor ortogonal (atau tegak lurus) adalah 90º.

Contoh cara mencari sudut antara dua buah vektor

Sebagai contoh, kita akan menghitung sudut yang dibentuk oleh dua vektor berikut:

$\vv{\text{u}} = (4,-1) \qquad \vv{\text{v}} = (2,5)$

Pertama-tama kita harus menghitung modul setiap vektor:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{4^2+(-1)^2}= \sqrt{17}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{2^2+5^2}= \sqrt{29}$

Sekarang kita menggunakan rumus untuk menghitung kosinus sudut antara dua vektor:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot 2 + (-1)\cdot 5}{\sqrt{17}\cdot \sqrt{29}} = \cfrac{3}{\sqrt{493}} = 0,14$

Dan terakhir, kita mencari sudut yang bersesuaian dengan melakukan invers cosinus menggunakan kalkulator:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,14) = \bm{81,95º}$

Oleh karena itu kedua vektor tersebut membentuk sudut 81,95º.

Latihan soal sudut antar vektor

Latihan 1

Hitunglah sudut antara dua vektor berikut:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,3) \qquad \vv{\text{v}} =(1,2)$

Lihat solusinya

Pertama-tama, kita harus menghitung modulus kedua vektor:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{5^2+3^2}= \sqrt{34}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ 1^2+2^2}= \sqrt{5}$

Kami menggunakan rumus untuk menghitung kosinus sudut yang dibentuk oleh vektor:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 5\cdot 1 + 3\cdot 2}{\sqrt{34}\cdot \sqrt{5}} = \cfrac{11}{\sqrt{170}} = 0,84$

Terakhir, kita mencari sudut yang bersesuaian dengan melakukan invers kosinus menggunakan kalkulator:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,84) = \bm{32,47º}$

Latihan 2

Tentukan sudut antara dua vektor berikut:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-7) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,5)$

Lihat solusinya

Pertama-tama kita perlu mencari modul vektor:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ (-2)^2+(-7)^2}= \sqrt{53}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

Kami menggunakan rumus untuk mendapatkan kosinus sudut yang dimiliki vektor:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ (-2)\cdot (-1) + (-7)\cdot 5}{\sqrt{53}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{-33}{\sqrt{1378}} = -0,89$

Dan terakhir, kita mencari sudut yang bersesuaian dengan melakukan invers kosinus menggunakan kalkulator:

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,89) = \bm{152,74º}$

Latihan 3

Hitung nilai dari

$k$

sehingga vektor-vektor berikut tegak lurus:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(6,3) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,k)$

Lihat solusinya

Dua buah vektor tegak lurus membentuk sudut 90º. Belum:

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

Penyebut pecahan membagi seluruh ruas kanan persamaan, sehingga kita dapat mengalikannya dengan ruas lainnya:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Sekarang kita selesaikan perkalian titik:

$\displaystyle 0 =(6,3) \cdot (-4,k)$

$\displaystyle 0 =6 \cdot (-4) + 3\cdot k$

$\displaystyle 0 =-24 +3k$

Dan akhirnya, kami mengungkap misterinya:

$\displaystyle -3k =-24$

$\displaystyle k =\cfrac{-24}{-3}$

$\displaystyle \bm{k =8}$

Latihan 4

Temukan nilai yang seharusnya dimiliki konstanta

$a$

Dan

$b$

sehingga vektor-vektor berikut tegak lurus dan benar

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10.$

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-6,a) \qquad \vv{\text{v}} =(b,3)$

Lihat solusinya

Pertama-tama kita akan menggunakan kondisi modulus untuk mencari nilai

$a:$

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10$

$\sqrt{(-6)^2+a^2}=10$

$\sqrt{36+a^2}=10$

Kita naikkan kedua ruas persamaan untuk menghilangkan akar kuadrat:

$\left(\sqrt{36+a^2}\right)^2=10^2$

$36+a^2=100$

Dan kami mengungkap misterinya:

$a^2=100 -36$

$a^2=64$

$a=\sqrt{64}$

$\bm{a=8}$

Setelah kita mengetahui nilai dari

$a$

, carilah nilai dari

$b$

dengan menerapkan rumus sudut dua vektor, karena pernyataan tersebut menyatakan bahwa keduanya harus tegak lurus, atau yang setara, maka keduanya harus membentuk 90º.

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

Penyebut pecahan membagi seluruh ruas kanan persamaan, sehingga kita dapat mengalikannya dengan ruas lainnya:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Sekarang mari kita coba menyelesaikan perkalian titik:

$\displaystyle 0 =(-6,8) \cdot (b,3)$

$\displaystyle 0 =-6 \cdot b +8\cdot 3$

$\displaystyle 0 =-6b +24$

Dan akhirnya, kami mengungkap misterinya:

$\displaystyle 6b =24$

$\displaystyle b =\cfrac{24}{6}$

$\displaystyle \bm{b =4}$

Latihan 5

Hitung sudut

$\alpha , \beta$

Dan

$\gamma$

yang membentuk sisi-sisi segitiga berikut:

latihan dan soal diselesaikan selangkah demi selangkah dari perkalian skalar dua vektor

Lihat solusinya

Titik-titik sudut yang membentuk segitiga adalah titik-titik berikut:

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

Untuk menghitung sudut dalam suatu segitiga, kita dapat menghitung vektor masing-masing sisinya dan kemudian mencari sudut yang dibentuknya menggunakan rumus perkalian titik.

Misalnya untuk mencari sudut

$\alpha$

Kami menghitung vektor sisi-sisinya:

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

Dan kita mencari sudut yang dibentuk oleh dua vektor menggunakan rumus hasil kali skalar:

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

Sekarang kita ulangi prosedur yang sama untuk menentukan sudut

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

Terakhir, untuk mencari sudut terakhir kita dapat mengulangi prosedur yang sama. Namun, semua sudut dalam segitiga harus berjumlah 180 derajat, jadi:

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

Cara menghitung sudut antara dua vektor

Rumus sudut antara dua vektor

Contoh cara mencari sudut antara dua buah vektor

Latihan soal sudut antar vektor

Latihan 1

Latihan 2

Latihan 3

Latihan 4

Latihan 5

Tinggalkan Komentar Batalkan Balasan