Cara menghitung matriks invers -

Di halaman ini Anda akan mempelajari apa itu dan bagaimana menghitung invers suatu matriks dengan metode determinan (atau matriks adjoin) dan metode Gauss. Anda juga akan melihat semua properti matriks invers, dan Anda juga akan menemukan contoh penyelesaian langkah demi langkah dan latihan untuk setiap metode sehingga Anda memahaminya sepenuhnya. Terakhir, kami menjelaskan rumus untuk membalikkan matriks 2×2 dengan cepat dan bahkan kegunaan terbesar dari operasi matriks ini: menyelesaikan sistem persamaan linier.

Berapakah invers dari suatu matriks?

Menjadi

$A$

matriks persegi. Matriks terbalik dari

$A$

tertulis

$A^{-1}$

, dan matriks inilah yang memenuhi:

$A \cdot A^{-1} = I$

$A^{-1}\cdot A = I$

Emas

$I$

adalah matriks Identitas.

Kapan Anda bisa membalikkan matriks dan kapan tidak?

Cara paling sederhana untuk menentukan invertibilitas suatu matriks adalah dengan menggunakan determinannya:

Jika determinan matriks yang bersangkutan berbeda dengan 0, berarti matriks tersebut dapat dibalik. Dalam hal ini kita katakan bahwa ini adalah matriks biasa. Lebih jauh lagi, ini menyiratkan bahwa matriks tersebut memiliki peringkat maksimum.

Sebaliknya, jika determinan matriks sama dengan 0, maka matriks tersebut tidak dapat dibalik. Dan, dalam hal ini, kita katakan bahwa ini adalah matriks tunggal atau matriks yang merosot.

Pada dasarnya, ada dua metode untuk membalikkan matriks apa pun: metode determinan atau matriks adjoin dan metode Gauss. Di bawah ini Anda memiliki penjelasan yang pertama, tetapi Anda juga dapat berkonsultasi di bawah ini tentang cara membalikkan matriks dengan metode Gauss.

Membalikkan matriks menggunakan metode determinan (atau menggunakan matriks yang berdekatan)

Untuk menghitung invers suatu matriks ,

$\displaystyle A^{-1}$

, rumus berikut harus diterapkan:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Emas:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$

adalah determinan matriks

$A$
$\text{Adj}(A)$

adalah matriks adjoin dari

$A$
Peserta pameran
$\bm{t}$

menunjukkan transposisi matriks, yaitu matriks terlampir harus ditransposisi.

Komentar: Beberapa buku menggunakan rumus matriks invers yang sedikit berbeda: pertama-tama buku tersebut melakukan transposisi matriks A lalu menghitung matriks adjoinnya, alih-alih terlebih dahulu menghitung matriks adjoinnya lalu melakukan transposisi. Kenyataannya, urutannya tidak menjadi masalah karena hasilnya sama persis. Di sini kami memberikan rumus untuk membalikkan matriks yang dimodifikasi jika Anda lebih suka menggunakan yang ini:

rumus matriks invers dengan matriks adjoint transposnya

Selanjutnya kita akan melihat cara mencari invers suatu matriks dengan menyelesaikan latihan sebagai contoh:

Contoh penghitungan matriks invers menggunakan metode determinan (atau matriks adjoint):

Hitung invers matriks berikut:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix}$

Untuk menentukan invers matriks, kita harus menerapkan rumus berikut:

Namun jika determinan matriksnya nol berarti matriks tersebut tidak dapat dibalik. Oleh karena itu, hal pertama yang harus dilakukan adalah menghitung determinan matriks dan memeriksa apakah determinannya berbeda dari 0:

$\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{vmatrix} = -4- (-6) = 2$

Penentunya bukan 0 , sehingga matriksnya dapat dibalik .

Oleh karena itu, dengan mensubstitusikan nilai determinan ke dalam rumus, invers matriksnya adalah:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Sekarang kita harus menghitung wakil matriks A. Untuk melakukannya, kita harus mengganti setiap elemen matriks A dengan wakilnya.

Ingatlah bahwa untuk menghitung lampiran

$a_{ij}$

, yaitu elemen baris

$i$

dan kolom

$j$

, rumus berikut harus diterapkan:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

Dimana minor komplementer dari

$a_{ij}$

adalah determinan matriks yang menghilangkan baris tersebut

$i$

dan kolom

$j$

Jadi, wakil elemen matriks A adalah:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de 4} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) = \bm{-1}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

Komentar: Jangan bingung antara determinan 1×1 dengan nilai absolut, karena pada determinan 1×1 bilangan tersebut tidak diubah menjadi positif.

Setelah deputi dihitung, cukup ganti elemen A dengan deputinya untuk mencari matriks deputi A :

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix}$

Komentar: di tempat tertentu matriks adjoint merupakan transpose dari matriks adjoint yang kita definisikan disini.

Oleh karena itu, matriks terlampir kita substitusikan ke dalam rumus matriks invers sehingga menjadi:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix} ^{\bm{t}}$

Peserta pameran

$\bm{t}$

Ini memberitahu kita bahwa kita perlu mengubah posisi matriks . Dan untuk mengubah urutan suatu matriks, Anda harus mengubah baris-barisnya menjadi kolom-kolom , artinya baris pertama matriks menjadi kolom pertama matriks, dan baris kedua menjadi kolom kedua:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 \\[1.1ex] -3 & 4 \end{pmatrix}$

Dan terakhir, kita mengalikan setiap suku matriks dengan

$\cfrac{1}{2} :$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \sfrac{-1}{2} & \sfrac{2}{2} \\[1.1ex] \sfrac{-3}{2} & \sfrac{4}{2} \end{pmatrix}$

latihan menyelesaikan matriks invers dengan determinan 2x2

Latihan soal matriks invers dengan metode determinan (atau matriks bersebelahan)

Latihan 1

Balikkan matriks berdimensi 2×2 berikut dengan menggunakan metode matriks adjoint:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 7 \end{pmatrix}$

Lihat solusinya

Rumus matriks inversnya adalah:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Pertama-tama kita hitung determinan matriksnya:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 7 \end{vmatrix} = 7-6 = 1$

Penentunya berbeda dengan 0, sehingga matriks dapat diinversi.

Sekarang mari kita hitung matriks adjoin dari A:

$\text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 7 \end{vmatrix} = 1 \cdot 7 = \bm{7}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de 2} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 \end{pmatrix}$

Setelah determinan matriks dan adjoinnya dihitung, kita substitusikan nilainya ke dalam rumus:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} 7 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Kami mengubah urutan matriks terlampir:

$\displaystyle A^{-1} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 7 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{pmatrix}$

Oleh karena itu, matriks invers dari A adalah:

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \bm{7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{-2} & \bm{1} \end{pmatrix}$

Latihan 2

Balikkan matriks persegi berikut menggunakan metode determinan:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & 4 \end{pmatrix}$

Lihat solusinya

Rumus matriks inversnya adalah:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Pertama-tama kita hitung determinan matriksnya:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & 4\end{vmatrix} = -12+10 = -2$

Penentunya berbeda dengan 0, sehingga matriks dapat diinversi.

Sekarang mari kita hitung matriks adjoin dari A:

$\text{Adjunto de -3} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 5\end{vmatrix} = -1 \cdot 5 = \bm{-5}$

$\text{Adjunto de 5} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de 4} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\[1.1ex] 2 & -3 \end{pmatrix}$

Setelah determinan matriks dan adjoinnya ditemukan, kita substitusikan nilainya ke dalam rumus:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -5 \\[1.1ex] 2 & -3 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Kami mengubah urutan matriks terlampir:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex] -5 & -3 \end{pmatrix}$

Kami mengalikan setiap elemen dengan

$\cfrac{1}{-2} :$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \cfrac{4}{-2} & \cfrac{2}{-2} \\[3ex] \cfrac{-5}{-2} & \cfrac{-3}{-2} \end{pmatrix}$

Oleh karena itu, matriks invers dari A adalah:

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \bm{-2} & \bm{-1} \\[2ex] \cfrac{\bm{5}}{\bm{2}} & \cfrac{\bm{3}}{\bm{2}} \end{pmatrix}$

Latihan 3

Balikkan matriks berdimensi 3×3 berikut dengan menggunakan metode matriks adjoint:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&3&-2\\[1.1ex] 1&4&1\\[1.1ex] 2&1&-3\end{pmatrix}$

Lihat solusinya

Rumus matriks inversnya adalah:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Pertama-tama kita selesaikan determinan matriks dengan aturan Sarrus:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2&3&-2\\[1.1ex] 1&4&1\\[1.1ex] 2&1&-3 \end{vmatrix} = -24+6-2+16-2+9 = 3$

Penentunya berbeda dengan 0, sehingga matriks dapat diinversi.

Setelah determinannya terselesaikan, kita mencari matriks adjoint dari A:

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4&1\\[1.1ex] 1&-3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-13) = \bm{-13}$

$\text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix}1&1\\[1.1ex] 2&-3\end{vmatrix} = -1 \cdot (-5) = \bm{5}$

$\text{Adjunto de -2} = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1&4\\[1.1ex] 2&1 \end{vmatrix} = 1\cdot (-7) = \bm{-7}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3&-2 \\[1.1ex] 1&-3 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-7) = \bm{7}$

$\text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&-2\\[1.1ex] 2&-3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 2&1\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3&-2\\[1.1ex] 4&1\end{vmatrix} = 1 \cdot 11 = \bm{11}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&-2\\[1.1ex] 1&1\end{vmatrix} = -1 \cdot 4 = \bm{-4}$

$\text{Adjunto de -3} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 1&4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 = \bm{5}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -13 & 5 & -7 \\[1.1ex] 7 & -2 & 4 \\[1.1ex] 11 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

Setelah kita menghitung determinan matriks dan adjoinnya, kita substitusikan nilainya ke dalam rumus:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -13 & 5 & -7 \\[1.1ex] 7 & -2 & 4 \\[1.1ex] 11 & -4 & 5 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Kami mengubah urutan matriks terlampir:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -13 & 7 & 11 \\[1.1ex] 5 & -2 & -4 \\[1.1ex] -7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

Dan matriks A yang terbalik adalah:

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \sfrac{\bm{-13}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{7}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{11}}{\bm{3}} \\[1.1ex] \sfrac{\bm{5}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{-2}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{-4}}{\bm{3}} \\[1.1ex] \sfrac{\bm{-7}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{4}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{5}}{\bm{3}}\end{pmatrix}$

Latihan 4

Balikkan matriks orde 3 berikut dengan menggunakan metode matriks adjoint:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&5&-1\\[1.1ex] -1&3&2\\[1.1ex] 3&8&1\end{pmatrix}$

Lihat solusinya

Rumus matriks inversnya adalah:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Kita perlu menghitung determinan matriksnya terlebih dahulu, karena jika determinannya 0 berarti matriks tersebut tidak mempunyai invers.

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 4&5&-1\\[1.1ex] -1&3&2\\[1.1ex] 3&8&1 \end{vmatrix} = 12+30+8+9-64+5 = \bm{0}$

Penentu A adalah 0, sehingga matriksnya tidak dapat dibalik.

Latihan 5

Balikkan matriks persegi 3×3 berikut dengan metode matriks determinan:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 & 0 \\[1.1ex] -1 & -2 & 2\end{pmatrix}$

Lihat solusinya

Rumus matriks inversnya adalah:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Pertama-tama kita selesaikan determinan matriks dengan aturan Sarrus:

$\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 & 0 \\[1.1ex] -1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = 2+0-12-3-0+16 = 3$

Penentunya berbeda dengan 0, sehingga matriks dapat diinversi.

Setelah determinannya terselesaikan, kita mencari matriks adjoint dari A:

$\displaystyle \text{Adjunto de 1} = (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} (2-0) = \bm{2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 4} = (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} (-4-0) = \bm{4}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -3} = (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(4-(-1)\bigr) = \bm{5}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -2} = (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} (8-6) = \bm{-2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 1} = (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} (2-3) = \bm{-1}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 0} = (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} \bigl(-2-(-4)\bigr) = \bm{-2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -1} = (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(0-(-3)\bigr) = \bm{3}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -2} = (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] -2 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0-6) = \bm{6}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 2} = (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(1-(-8)\bigr) = \bm{9}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\[1.1ex] -2 & -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$

Setelah kita menghitung determinan matriks dan adjoinnya, kita substitusikan nilainya ke dalam rumus:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\[1.1ex] -2 & -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & 6 & 9\end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Kami mengubah urutan matriks terlampir:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -2 & 3 \\[1.1ex] 4 & -1 & 6 \\[1.1ex] 5 & -2 & 9 \end{pmatrix}$

Dan akhirnya, kami mengoperasikan:

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \sfrac{2}{3} & \sfrac{-2}{3} & \sfrac{3}{3} \\[1.1ex] \sfrac{4}{3} & \sfrac{-1}{3} & \sfrac{6}{3} \\[1.1ex] \sfrac{5}{3} & \sfrac{-2}{3} & \sfrac{9}{3} \end{pmatrix}$

latihan diselesaikan langkah demi langkah matriks invers dengan metode matriks adjoint 3x3

Balikkan matriks menggunakan metode Gauss:

Untuk menghitung invers suatu matriks dengan metode Gauss , Anda harus melakukan operasi pada baris-baris matriks (kita akan melihatnya nanti). Jadi sebelum melihat cara menggunakan metode Gauss, penting bagi Anda untuk mengetahui semua operasi yang dapat dilakukan pada baris matriks:

Transformasi garis diperbolehkan dalam metode Gaussian

Mengubah urutan baris matriks.

Misalnya, kita dapat mengubah urutan baris 2 dan 3 suatu matriks:

$\left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -2 \\[2ex] -2 & 4 & -1 \\[2ex] 6 & 1 & -3 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{ f_2 \rightarrow f_3}} \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 \rightarrow f_2}} \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -2 \\[2ex] 6 & 1 & -3 \\[2ex] -2 & 4 & -1 \end{array} \right)$

Kalikan atau bagi semua suku dalam satu baris dengan angka selain 0.

Misalnya, kita mengalikan baris 1 dengan 4 dan membagi baris 3 dengan 2:

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\[2ex] 3 & -1 & 5 \\[2ex] 2 & -4 & -2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{4 f_1} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 / 2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 4 & -8 & 12 \\[2ex] 3 & -1 & 5 \\[2ex] 1 & -2 & -1 \end{array} \right)$

Ganti sebuah baris dengan jumlah baris yang sama ditambah baris lainnya dikalikan dengan sebuah angka.

Misalnya, pada matriks berikut, kita menambahkan baris 3 dikalikan 1 ke baris 2:

$\left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 4 \\[2ex] 2 & 4 & 1 \\[2ex] 1 & -2 & 3 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 + 1\cdot f_3} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 4 \\[2ex] 3 & 2 & 4 \\[2ex] 1 & -2 & 3 \end{array} \right)$

Contoh penghitungan matriks invers menggunakan metode Gauss:

Mari kita lihat dengan contoh bagaimana menerapkan metode Gauss untuk membalikkan matriks:

Hitung invers matriks berikut:

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\[2ex] 0 & 2 & 1 \\[2ex] 1 & 5 & 4 \end{array} \right)$

Hal pertama yang perlu kita lakukan adalah menggabungkan matriks A dan matriks Identitas menjadi satu matriks . Matriks A di sebelah kiri dan matriks Identitas di sebelah kanan:

$\displaystyle \bigl( A \ \lvert \ I \bigr)$

latihan diselesaikan langkah demi langkah matriks invers dengan metode 3x3 Gauss

Untuk menghitung matriks invers, kita perlu mengubah matriks kiri menjadi matriks identitas. Dan, untuk melakukan itu, kita perlu menerapkan transformasi pada baris hingga kita mencapainya.

Kita akan melanjutkan per kolom, artinya kita akan melakukan operasi pada baris untuk terlebih dahulu mengubah angka-angka di kolom pertama, lalu angka-angka di kolom kedua, dan terakhir angka-angka di kolom ketiga.

Angka 1 dan 0 pada kolom pertama sudah sesuai, karena matriks identitas juga mempunyai angka 1 dan 0 pada posisi tersebut. Oleh karena itu, transformasi pada baris ini tidak perlu diterapkan saat ini.

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} \color{blue}\boxed{\color{black}1} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Namun, matriks identitas mempunyai 0 pada elemen terakhir kolom pertama, dimana kita sekarang mempunyai 1. Jadi kita perlu mengubah 1 menjadi 0. Untuk melakukannya, kita menambahkan baris 1 dikalikan – ke baris 3.1 :

$\begin{array}{lrrr|rrr} & 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \\ + & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ \hline & 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

Jadi jika kita melakukan penjumlahan ini, kita akan mendapatkan matriks berikut:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Kami telah berhasil mengubah 1 menjadi 0.

Sekarang mari kita beralih ke kolom kedua dari matriks kiri. Elemen pertama adalah 0, yang bagus karena matriks identitas memiliki 0 pada posisi yang sama. Namun, bukannya 2 yang seharusnya ada adalah 1, jadi kita bagi baris kedua dengan 2:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2/2}\\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}1} & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Selain itu, pada kolom kedua kita juga perlu mengubah angka 5 menjadi 0. Nah, karena angka 5 lima kali lebih besar dari angka 1 pada baris kedua, kita akan menambahkan baris 2 dikalikan -5 ke baris 3:

$\begin{array}{lrrr|rrr} & 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \\ + & 0 & -5 & \sfrac{-5}{2} & 0 & \vphantom{\Bigl(}\sfrac{-5}{2} & 0 \\ \hline & 0 & 0 & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} \vphantom{\Bigl(} & 1 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -5f_2}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

Oleh karena itu, dengan melakukan operasi ini, kita mendapatkan matriks dengan 0 pada elemen terakhir kolom kedua:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - 5f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} & 1 \end{array} \right)$

Terakhir, kita akan mengubah kolom terakhir matriks ke kiri, namun kali ini kita harus memulai dari bawah. Oleh karena itu perlu adanya transformasi

$\sfrac{1}{2}$

menjadi 1. Oleh karena itu, baris terakhir kita kalikan dengan 2:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} & 1 \end{array} \right)\begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{2f_3} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}1} & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

Kita sekarang harus mentransformasikannya

$\sfrac{1}{2}$

sisa kolom terakhir adalah 0. Namun, kali ini kita tidak dapat mengalikan baris tersebut dengan 2, karena kita juga akan mengubah 1 menjadi 2 (bila matriks identitas mempunyai angka 1 pada posisi tersebut). Oleh karena itu, kami akan menambahkan baris 3 dibagi -2 ke baris 2:

$\begin{array}{lrrr|rcr} & 0 & 1 & \vphantom{\Bigl(} \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\ + & 0 & 0 &\vphantom{\Bigl(} -\sfrac{1}{2} & 1 & \sfrac{5}{2} & -1 \\ \hline & 0 & 1 & 0\phantom{0} & 1 & 3 \vphantom{\Bigl(} & -1 \end{array} \begin{array}{l}\vphantom{\Bigl(} \color{blue}\bm{\leftarrow f_2} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow f_3/(-2)}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

Jadi dengan melakukan operasi ini kami berhasil mengubah

$\sfrac{1}{2}$

dalam 0:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2-f_3/2} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

Terakhir, kita hanya perlu mengubah angka 1 di baris pertama kolom ketiga menjadi 0. Baris ketiga juga memiliki angka 1 di kolom yang sama, jadi kita akan menambahkan baris 3 dikalikan -1 ke baris 1:

$\begin{array}{lrrr|rcr} & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ + & 0 & 0 & -1 & 2 & 5 & -2 \\ \hline & 1 & 0 & 0 & 3 & 5 & -2 \end{array} \begin{array}{l}\color{blue}\bm{\leftarrow f_1} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_3}\\ \phantom{hline} \end{array}$

Dan dengan melakukan operasi ini kami berhasil mengubah angka 1 menjadi 0:

$\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 &0 & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1-f_3} \\[2ex] \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 3 & 5 & -2 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

Setelah kita berhasil mengubah matriks kiri menjadi matriks identitas, kita juga mengetahui matriks inversnya. Karena invers matriks adalah matriks yang kita peroleh di ruas kanan dengan cara mengubah matriks kiri menjadi matriks identitas . Oleh karena itu, kebalikan dari matriks tersebut adalah: