Maksimum dan minimum suatu fungsi (relatif ekstrem)

Pada artikel ini Anda akan menemukan cara menghitung maksimum dan minimum suatu fungsi, kami menjelaskannya kepada Anda dengan menyelesaikan dua contoh langkah demi langkah. Selain itu, Anda akan dapat berlatih dengan latihan langkah demi langkah tentang fungsi maksimum dan minimum.

Berapakah maksimum dan minimum suatu fungsi?

Maksimum suatu fungsi adalah nilai terbesar dari fungsi tersebut dan minimum suatu fungsi adalah nilai terkecil dari fungsi tersebut. Maksima dan minima suatu fungsi disebut ekstrem relatif jika hanya mewakili nilai terbesar atau terkecil di lingkungannya, namun ekstrem absolut jika mewakili nilai terbesar atau terkecil dari keseluruhan fungsi.

maksimum dan minimum suatu fungsi

Anda juga dapat mengidentifikasi ekstrem relatif dengan mempelajari pertumbuhan dan penurunan fungsi :

  • Suatu titik adalah maksimum relatif ketika fungsinya berubah dari naik ke turun.
  • Suatu titik adalah nilai minimum relatif ketika suatu fungsi berubah dari menurun menjadi meningkat.

Cara mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi

Dari turunan pertama dan kedua suatu fungsi, kita dapat mengetahui apakah suatu fungsi mempunyai ekstrem relatif pada suatu titik dan apakah titik tersebut merupakan maksimum relatif atau minimum relatif:

  • Suatu fungsi mempunyai titik ekstrem terhadap titik-titik yang menghilangkan turunan pertamanya.

    • f'(a)=0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un extremo relativo}

  • Dan tanda turunan kedua dari fungsi tersebut menentukan apakah titik tersebut maksimum atau minimum:
    • Jika turunan keduanya negatif, maka fungsi tersebut mempunyai maksimum relatif pada titik tersebut.

      • f''(a)<0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\'aximo relativo}

    • Jika turunan keduanya positif, maka fungsi tersebut memiliki minimum relatif pada titik tersebut.

      • f''(a)>0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\’inimo relativo}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”356″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> </ul> </li> </ul> </div> <h2 class= Contoh 1: Cara menghitung maksimum dan minimum suatu fungsi

      Setelah kita melihat definisi maksimum dan minimum suatu fungsi, kita akan menyelesaikan contoh langkah demi langkah sehingga Anda dapat melihat cara menghitung maksimum dan minimum suatu fungsi.

      • Hitunglah titik ekstrim relatif dari fungsi berikut dan tentukan apakah fungsi tersebut maksimum atau minimum:

      f(x)=x^3-3x

      Titik ekstrim relatif dari fungsi tersebut adalah titik-titik yang memenuhi

      f'(x)=0

      . Oleh karena itu, pertama-tama kita hitung turunan fungsi tersebut:

      f(x)=x^3-3x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-3

      Dan sekarang kita menetapkan turunan dari fungsi tersebut sama dengan nol dan menyelesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan:

      f'(x)=0

      3x^2-3=0

      3x^2=3

      x^2=\cfrac{3}{3}

      x^2=1

      x= \pm 1

      Oleh karena itu, titik ekstrem relatif dari fungsi tersebut adalah x=+1 dan x=-1.

      Setelah kita mengetahui titik ekstrem relatif suatu fungsi, kita dapat mengetahui apakah fungsi tersebut maksimum atau minimum dengan tanda turunan keduanya. Oleh karena itu kami menghitung turunan kedua dari fungsi tersebut:

      f'(x)=3x^2-3 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x

      Dan sekarang kita mengevaluasi pada turunan kedua nilai ekstrim relatif yang kita temukan sebelumnya, untuk mengetahui apakah nilai tersebut merupakan maksimum atau minimum relatif:

      f''(1)=6\cdot 1 = 6 \ \longrightarrow

      Minimal relatif

      f''(-1)=6\cdot (-1) = -6 \ \longrightarrow

      Relatif maksimal

      Turunan keduanya di x=1 adalah positif, jadi x=1 adalah minimum relatif . Sebaliknya, turunan kedua di x=-1 bernilai negatif, sehingga x=-1 merupakan maksimum relatif .

      Terakhir, kita substitusikan titik-titik yang ditemukan ke dalam fungsi asli untuk mencari koordinat Y dari titik ekstrem relatif:

      f(1)=1^3-3\cdot 1=-2 \ \longrightarrow \ (1,-2)

      f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)= 2 \ \longrightarrow \ (-1,2)

      Kesimpulannya, fungsi ekstrem relatif adalah:

      Minimal untuk menunjuk

      \bm{(1,-2)}

      Maksimal tepat sasaran

      \bm{(-1,2)}

      Contoh 2: Mempelajari monotonisitas serta maxima dan minima suatu fungsi

      Sekarang mari kita lihat bagaimana jenis latihan lain diselesaikan. Dalam hal ini kami akan menjelaskan cara mencari maksimum dan minimum dari monotonisitas suatu fungsi.

      • Pelajari monotonisitas dan hitung titik ekstrem relatif dari fungsi berikut:

      f(x)=\cfrac{x^2}{x-1}

      Hal pertama yang harus dilakukan adalah menghitung domain definisi fungsi. Sebagai fungsi rasional, kita perlu menetapkan penyebutnya sama dengan 0 untuk melihat bilangan mana yang tidak termasuk dalam domain fungsi tersebut:

      x-1=0

      x=1

      \text{Dom } f= \mathbb{R}-\{1 \}

      Setelah kita menghitung domain definisi fungsi, kita perlu mempelajari titik mana yang membatalkan turunan pertama. Oleh karena itu kami memperoleh fungsinya:

      f(x)=\cfrac{x^2}{x-1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{2x\cdot (x-1) - x^2\cdot 1}{\left(x-1\right)^2}

      f'(x)=\cfrac{2x^2-2x - x^2}{\left(x-1\right)^2}

      f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}

      Dan sekarang kita menetapkan turunannya sama dengan 0 dan menyelesaikan persamaannya:

      f'(x)=0

      \cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}=0

      Syarat

      \left(x-1\right)^2}

      Caranya adalah dengan membagi seluruh ruas kiri, sehingga kita dapat mengalikannya dengan seluruh ruas kanan:

      x^2-2x=0\cdot \left(x-1\right)^2

      x^2-2x=0

      Kami mengekstrak faktor persekutuan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat:

      x(x-2)=0

      Agar perkaliannya sama dengan 0, salah satu dari dua unsur perkaliannya harus nol. Oleh karena itu, kami menetapkan setiap faktor sama dengan 0 dan memperoleh dua solusi persamaan:

      \displaystyle x\cdot(x-2) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] x-2=0 \ \longrightarrow \ \bm{x= 2} \end{cases}

      Setelah kita menghitung domain dari fungsi dan

      f'(x)=0

      , kami mewakili semua titik kritis yang ditemukan pada garis:

      Dan kita evaluasi tanda turunannya pada setiap interval, untuk mengetahui apakah fungsinya naik atau turun. Untuk melakukan hal ini, kita mengambil sebuah titik di setiap interval (tidak pernah titik kritisnya) dan melihat tanda apa yang dimiliki turunannya pada titik tersebut:

      f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}

      f'(-1) = \cfrac{(-1)^2-2(-1)}{\left((-1)-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}

      f'(0,5) = \cfrac{0,5^2-2\cdot0,5}{\left(0,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(1,5) = \cfrac{1,5^2-2\cdot1,5}{\left(1,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(3) = \cfrac{3^2-2\cdot3}{\left(3-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}

      Jika turunannya positif berarti fungsinya meningkat, tetapi jika turunannya negatif berarti fungsinya menurun. Oleh karena itu, interval pertumbuhan dan penurunannya adalah:

      Pertumbuhan:

      \bm{(-\infty, 0)\cup (2,+\infty)}

      Mengurangi:

      \bm{(0,1)\cup (1,2)}

      Selanjutnya, pada x=0 fungsinya berubah dari naik ke turun, jadi x=0 adalah maksimum relatif dari fungsi tersebut . Dan pada x=2, fungsinya berubah dari menurun menjadi meningkat, jadi x=2 adalah minimum relatif dari fungsi tersebut.

      Dan terakhir, kita substitusikan titik-titik yang ditemukan pada fungsi asli untuk mencari koordinat Y dari ujung-ujungnya:

      f(0)=\cfrac{0^2}{0-1} = \cfrac{0}{-1} = 0 \ \longrightarrow \ (0,0)

      f(2)=\cfrac{2^2}{2-1} = \cfrac{4}{1} = 4 \ \longrightarrow \ (2,4)

      Singkatnya, fungsi ekstrem relatifnya adalah:

      Maksimal tepat sasaran

      \bm{(0,0)}

      Minimal untuk menunjuk

      \bm{(2,4)}

      Menyelesaikan latihan pada fungsi maksimum dan minimum

      Latihan 1

      Hitung ekstrem relatif dari fungsi polinomial berikut dan tentukan apakah fungsi tersebut maksimum atau minimum:

      f(x)=x^3-3x^2-9x

      Titik ekstrem relatif suatu fungsi adalah titik di mana turunan pertama fungsi tersebut sama dengan nol. Oleh karena itu kami menghitung turunan dari fungsi tersebut:

      f(x)=x^3-3x^2-9x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-6x-9

      Dan sekarang kita selesaikan persamaannya

      f'(x)=0:

      f'(x)=0

      3x^2-6x-9=0

      Kami mempunyai persamaan kuadrat, jadi kami menerapkan rumus umum untuk menyelesaikannya:

      \begin{aligned} x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 3 \cdot (-9)}}{2\cdot 3}=\\[1.5ex]&=\cfrac{6 \pm \sqrt{144}}{6}=\cfrac{6 \pm 12}{6} =\begin{cases} \cfrac{6 + 12}{6}=\cfrac{18}{6}= 3 \\[4ex] \cfrac{6 - 12}{6}=\cfrac{-6}{6}=-1 \end{cases} \end{aligned}

      Oleh karena itu, titik ekstrim relatif dari fungsi tersebut adalah titik x=3 dan x=-1.

      Setelah kita mengetahui titik ekstrem relatif suatu fungsi, kita dapat mengetahui apakah fungsi tersebut maksimum atau minimum dengan tanda turunan keduanya. Oleh karena itu kami membedakan fungsinya lagi:

      f'(x)=3x^2-6x-9 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x-6

      Dan sekarang kita mengevaluasi poin yang kita hitung sebelumnya pada turunan kedua:

      f''(3)=6(3)-6=18-6 = +12 \ \longrightarrow \ \text{M\'inimo}

      f''(-1)=6(-1)-6=-6-6 = -12 \ \longrightarrow \ \text{M\'aximo}

      Turunan keduanya di x=3 adalah positif, jadi x=3 adalah minimum . Dan turunan kedua di x=-1 bernilai negatif, jadi x=-1 maksimum .

      Dan terakhir, kita substitusikan titik-titik yang ditemukan pada fungsi asli untuk mencari koordinat Y dari ujung-ujungnya:

      f(3)=3^3-3\cdot 3^2-9\cdot3=-27 \ \longrightarrow \ (3,-27)

      f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)=5 \ \longrightarrow \ (-1,5)

      Singkatnya, fungsi ekstrem relatifnya adalah:

      Minimum relatif terhadap intinya

      \bm{(3,-27)}

      Maksimum relatif terhadap intinya

      \bm{(-1,5)}

      Latihan 2

      Hitung ekstrem relatif dari fungsi eksponensial berikut dan tentukan apakah fungsi tersebut maksimum atau minimum:

      f(x)=e^x(x-1)

      Pertama, kita perlu membedakan fungsinya. Untuk melakukan ini, kami menerapkan rumus turunan suatu produk:

      f'(x)=e^x\cdot (x-1)+ e^x\cdot 1

      f'(x)=xe^x -e^x +e^x = xe^x

      Dan sekarang kita selesaikan persamaannya

      f'(x)=0:

      f'(x)=0

      xe^x=0

      \displaystyle x\cdot e^x =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] e^x=0 \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}

      Suatu bilangan yang dipangkatkan ke bilangan lain tidak akan pernah menghasilkan 0. Oleh karena itu,

      e^x=0

      tidak memiliki solusi dan satu-satunya solusi yang relatif ekstrim adalah

      x=0

      .

      Sekarang kita menghitung turunan kedua dari fungsi tersebut untuk mengetahui bahwa ekstrim relatif adalah maksimum atau minimum:

      f'(x)= xe^x \ \longrightarrow \ f''(x)= 1\cdot e^x + x \cdot e^x = e^x+xe^x

      Dan sekarang kita evaluasi pada turunan kedua ekstrim yang kita temukan sebelumnya, untuk melihat apakah maksimum atau minimum:

      f''(0)= e^{0}+0\cdot e^{0} = 1+0\cdot 1 = 1 \ \longrightarrow \ \text{M\'inimo}

      Karena turunan keduanya di x=0 adalah positif, x=0 adalah minimum relatif atau lokal .

      Terakhir, kita substitusikan titik yang ditemukan ke fungsi asli untuk mencari koordinat ujung lainnya:

      f(0)=e^{0}(0-1) =1\cdot (-1)=-1 \ \longrightarrow \ (0,-1)

      Oleh karena itu, satu-satunya ekstrem relatif dari fungsi tersebut adalah:

      Minimal untuk menunjuk

      \bm{(0,-1)}

      Latihan 3

      Pelajari monotonisitas dan temukan titik ekstrem relatif dari fungsi rasional berikut:

      \displaystyle f(x)=\frac{x -1 }{x^2+1}

      Pertama, kita tentukan domain fungsinya. Untuk melakukan ini, kita menetapkan penyebut pecahan sama dengan nol dan menyelesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan:

      x^2+1 = 0

      Ekspresi

      x^2+1

      Tidak akan pernah menjadi 0, karena hasil dari x 2 akan selalu berupa bilangan positif atau 0. Oleh karena itu, penjumlahan 1 tidak akan pernah menghasilkan 0. Oleh karena itu, domain dari fungsi tersebut hanya terdiri dari bilangan real:

      \text{Dom } f= \mathbb{R}

      Selanjutnya kita pelajari titik mana saja yang bertemu

      f'(x)=0.

      Kami membedakan fungsi menggunakan aturan hasil bagi:

      f(x)=\cfrac{x -1 }{x^2+1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{1 \cdot (x^2+1) - (x-1) \cdot 2x }{\left(x^2+1}\right)^2}

      f'(x)= \cfrac{x^2+1-(2x^2-2x)}{\left(x^2+1\right)^2} = \cfrac{x^2+1-2x^2+2x}{\left(x^2+1\right)^2}= \cfrac{-x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}

      Kami menetapkan turunannya sama dengan 0 dan menyelesaikan persamaan:

      f'(x)= 0

      \cfrac{-x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}=0

      -x^2+2x+1=0\cdot \left(x^2+1\right)^2

      -x^2+2x+1=0

      Kami mempunyai persamaan kuadrat, jadi kami menggunakan rumus umum untuk menyelesaikannya:

      \begin{aligned}x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot (-1) \cdot 1}}{2\cdot (-1)} = \\[1.5ex]&=\cfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{-2} =\begin{cases} \cfrac{-2 + \sqrt{8}}{-2}= -0,41 \\[4ex] \cfrac{-2 - \sqrt{8}}{-2}= 2,41\end{cases} \end{aligned}

      Setelah kita menghitung domain dari fungsi dan

      f'(x)=0

      , kami mewakili semua titik tunggal yang ditemukan pada garis bilangan:

      Dan sekarang kita evaluasi tanda turunannya pada setiap interval, untuk mengetahui apakah fungsinya naik atau turun. Oleh karena itu, kita mengambil sebuah titik di setiap interval (bukan titik tunggalnya) dan melihat tanda apa yang dimiliki turunannya pada titik tersebut:

      f'(-1)= \cfrac{-(-1)^2+2(-1)+1}{\left((-1)^2+1\right)^2}}= \cfrac{-2}{+4} =-0,5 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(0)= \cfrac{-0^2+2(0)+1}{\left(0^2+1\right)^2}}= \cfrac{+1}{+1} =+1 \ \rightarrow \ \bm{+}

      f'(3)= \cfrac{-3^2+2\cdot 3+1}{\left(3^2+1\right)^2}}= \cfrac{-2}{+100} =-0,02 \ \rightarrow \ \bm{-}

      Jika turunannya positif berarti fungsi tersebut meningkat pada interval tersebut, tetapi jika turunannya negatif berarti fungsinya menurun. Oleh karena itu, interval pertumbuhan dan penurunannya adalah:

      Pertumbuhan:

      \bm{(-0,41 \ , \ 2,41)}

      Mengurangi:

      \bm{(-\infty \ , \ -0,41)\cup (2,41 \ , \ +\infty)}

      Fungsinya berubah dari turun ke naik pada x=-0,41, jadi x=-0,41 adalah minimum lokal dari fungsi tersebut. Dan fungsinya berubah dari naik ke turun pada x=2,41, jadi x=2,41 adalah maksimum lokal dari fungsi tersebut.

      Terakhir, kita substitusikan nilai ekstrem yang ditemukan ke dalam fungsi asli untuk mencari koordinat Y dari titik-titik tersebut:

      f(-0,41)=\cfrac{-0,41 -1 }{(-0,41)^2+1} = \cfrac{-1,41}{1,17}= -1,21 \ \longrightarrow \ (-0,41 \ , \ -1,21)

      f(2,41)=\cfrac{2,41 -1 }{2,41^2+1} = \cfrac{1,41}{6,81}= 0,21 \ \longrightarrow \ (2,41 \ , \ 0,21)

      Oleh karena itu, ekstrem relatif dari fungsi tersebut adalah:

      Minimal untuk menunjuk

      \bm{(-0,41 \ , \ -1,21)}

      Maksimal tepat sasaran

      \bm{ (2,41 \ , \ 0,21)}

      Latihan 4

      Kita tahu itu fungsinya

      f(x)=x^2+ax+b

      melewati titik tersebut

      (1,-2)

      dan mempunyai nilai yang relatif ekstrim

      x= -1 .

      Tentukan nilai yang tidak diketahui

      a

      dan nilai

      b .

      Biarkan fungsi tersebut memiliki ekstrem relatif

      x= -1

      itu berarti sudah tercapai

      f'(-1)=0.

      Oleh karena itu, kami menghitung turunan dari fungsi tersebut

      x= -1

      dan kami menetapkannya sama dengan 0:

      f(x) = x^2+ax+b \ \longrightarrow \ f'(x)=2x+a

      \left. \begin{array}{l} f'(-1)=2(-1)+a\\[2ex] f'(-1)=0\end{array} \right\} \longrightarrow 2(-1)+a=0

      Dan kita selesaikan persamaan yang diperoleh untuk mencari nilai parameter a:

      2(-1)+a=0

      -2+a=0

      \bm{a=2}

      Oleh karena itu, fungsinya adalah:

      f(x)=x^2+ax+b \ \xrightarrow{a \ = \ 2} \ f(x)=x^2+2x+b

      Di sisi lain, mereka memberi tahu kita bahwa fungsi tersebut melalui suatu titik

      (1,-2) .

      Artinya,

      f(1)=-2 .

      Oleh karena itu, kita dapat menerapkan kondisi ini untuk mencari nilai variabel b:

      \left. \begin{array}{l} f(1)=1^2+2\cdot1+b \\[2ex] f(1)=-2 \end{array} \right\} \longrightarrow 1^2+2\cdot 1+b = -2

      Dan kita selesaikan persamaan yang diperoleh untuk mencari nilai parameter b:

      1^2+2\cdot1+b=-2

      1+2+b=-2

      b=-2-1-2

      \bm{b=-5}

      Oleh karena itu fungsinya adalah:

      f(x)=x^2+2x+b \ \xrightarrow{b \ = \ -5} \ f(x)=x^2+2x-5

Tinggalkan Komentar

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

Scroll to Top