Maksimum dan minimum suatu fungsi (relatif ekstrem)

Pada artikel ini Anda akan menemukan cara menghitung maksimum dan minimum suatu fungsi, kami menjelaskannya kepada Anda dengan menyelesaikan dua contoh langkah demi langkah. Selain itu, Anda akan dapat berlatih dengan latihan langkah demi langkah tentang fungsi maksimum dan minimum.

Berapakah maksimum dan minimum suatu fungsi?

Maksimum suatu fungsi adalah nilai terbesar dari fungsi tersebut dan minimum suatu fungsi adalah nilai terkecil dari fungsi tersebut. Maksima dan minima suatu fungsi disebut ekstrem relatif jika hanya mewakili nilai terbesar atau terkecil di lingkungannya, namun ekstrem absolut jika mewakili nilai terbesar atau terkecil dari keseluruhan fungsi.

maksimum dan minimum suatu fungsi

Anda juga dapat mengidentifikasi ekstrem relatif dengan mempelajari pertumbuhan dan penurunan fungsi :

  • Suatu titik adalah maksimum relatif ketika fungsinya berubah dari naik ke turun.
  • Suatu titik adalah nilai minimum relatif ketika suatu fungsi berubah dari menurun menjadi meningkat.

Cara mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi

Dari turunan pertama dan kedua suatu fungsi, kita dapat mengetahui apakah suatu fungsi mempunyai ekstrem relatif pada suatu titik dan apakah titik tersebut merupakan maksimum relatif atau minimum relatif:

  • Suatu fungsi mempunyai titik ekstrem terhadap titik-titik yang menghilangkan turunan pertamanya.

    • f'(a)=0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un extremo relativo}

  • Dan tanda turunan kedua dari fungsi tersebut menentukan apakah titik tersebut maksimum atau minimum:
    • Jika turunan keduanya negatif, maka fungsi tersebut mempunyai maksimum relatif pada titik tersebut.

      • f''(a)<0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\'aximo relativo}

    • Jika turunan keduanya positif, maka fungsi tersebut memiliki minimum relatif pada titik tersebut.

      • f''(a)>0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\’inimo relativo}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”356″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> </ul> </li> </ul> </div> <h2 class= Contoh 1: Cara menghitung maksimum dan minimum suatu fungsi

      Setelah kita melihat definisi maksimum dan minimum suatu fungsi, kita akan menyelesaikan contoh langkah demi langkah sehingga Anda dapat melihat cara menghitung maksimum dan minimum suatu fungsi.

      • Hitunglah titik ekstrim relatif dari fungsi berikut dan tentukan apakah fungsi tersebut maksimum atau minimum:

      f(x)=x^3-3x

      Titik ekstrim relatif dari fungsi tersebut adalah titik-titik yang memenuhi

      f'(x)=0

      . Oleh karena itu, pertama-tama kita hitung turunan fungsi tersebut:

      f(x)=x^3-3x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-3

      Dan sekarang kita menetapkan turunan dari fungsi tersebut sama dengan nol dan menyelesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan:

      f'(x)=0

      3x^2-3=0

      3x^2=3

      x^2=\cfrac{3}{3}

      x^2=1

      x= \pm 1

      Oleh karena itu, titik ekstrem relatif dari fungsi tersebut adalah x=+1 dan x=-1.

      Setelah kita mengetahui titik ekstrem relatif suatu fungsi, kita dapat mengetahui apakah fungsi tersebut maksimum atau minimum dengan tanda turunan keduanya. Oleh karena itu kami menghitung turunan kedua dari fungsi tersebut:

      f'(x)=3x^2-3 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x

      Dan sekarang kita mengevaluasi pada turunan kedua nilai ekstrim relatif yang kita temukan sebelumnya, untuk mengetahui apakah nilai tersebut merupakan maksimum atau minimum relatif:

      f''(1)=6\cdot 1 = 6 \ \longrightarrow

      Minimal relatif

      f''(-1)=6\cdot (-1) = -6 \ \longrightarrow

      Relatif maksimal

      Turunan keduanya di x=1 adalah positif, jadi x=1 adalah minimum relatif . Sebaliknya, turunan kedua di x=-1 bernilai negatif, sehingga x=-1 merupakan maksimum relatif .

      Terakhir, kita substitusikan titik-titik yang ditemukan ke dalam fungsi asli untuk mencari koordinat Y dari titik ekstrem relatif:

      f(1)=1^3-3\cdot 1=-2 \ \longrightarrow \ (1,-2)

      f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)= 2 \ \longrightarrow \ (-1,2)

      Kesimpulannya, fungsi ekstrem relatif adalah:

      Minimal untuk menunjuk

      \bm{(1,-2)}

      Maksimal tepat sasaran

      \bm{(-1,2)}

      Contoh 2: Mempelajari monotonisitas serta maxima dan minima suatu fungsi

      Sekarang mari kita lihat bagaimana jenis latihan lain diselesaikan. Dalam hal ini kami akan menjelaskan cara mencari maksimum dan minimum dari monotonisitas suatu fungsi.

      • Pelajari monotonisitas dan hitung titik ekstrem relatif dari fungsi berikut:

      f(x)=\cfrac{x^2}{x-1}

      Hal pertama yang harus dilakukan adalah menghitung domain definisi fungsi. Sebagai fungsi rasional, kita perlu menetapkan penyebutnya sama dengan 0 untuk melihat bilangan mana yang tidak termasuk dalam domain fungsi tersebut:

      x-1=0

      x=1

      \text{Dom } f= \mathbb{R}-\{1 \}

      Setelah kita menghitung domain definisi fungsi, kita perlu mempelajari titik mana yang membatalkan turunan pertama. Oleh karena itu kami memperoleh fungsinya:

      f(x)=\cfrac{x^2}{x-1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{2x\cdot (x-1) - x^2\cdot 1}{\left(x-1\right)^2}

      f'(x)=\cfrac{2x^2-2x - x^2}{\left(x-1\right)^2}

      f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}

      Dan sekarang kita menetapkan turunannya sama dengan 0 dan menyelesaikan persamaannya:

      f'(x)=0

      \cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}=0

      Syarat

      \left(x-1\right)^2}

      Caranya adalah dengan membagi seluruh ruas kiri, sehingga kita dapat mengalikannya dengan seluruh ruas kanan:

      x^2-2x=0\cdot \left(x-1\right)^2

      x^2-2x=0

      Kami mengekstrak faktor persekutuan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat:

      x(x-2)=0

      Agar perkaliannya sama dengan 0, salah satu dari dua unsur perkaliannya harus nol. Oleh karena itu, kami menetapkan setiap faktor sama dengan 0 dan memperoleh dua solusi persamaan:

      \displaystyle x\cdot(x-2) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] x-2=0 \ \longrightarrow \ \bm{x= 2} \end{cases}

      Setelah kita menghitung domain dari fungsi dan

      f'(x)=0

      , kami mewakili semua titik kritis yang ditemukan pada garis:

      Dan kita evaluasi tanda turunannya pada setiap interval, untuk mengetahui apakah fungsinya naik atau turun. Untuk melakukan hal ini, kita mengambil sebuah titik di setiap interval (tidak pernah titik kritisnya) dan melihat tanda apa yang dimiliki turunannya pada titik tersebut:

      f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}

      f'(-1) = \cfrac{(-1)^2-2(-1)}{\left((-1)-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}

      f'(0,5) = \cfrac{0,5^2-2\cdot0,5}{\left(0,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(1,5) = \cfrac{1,5^2-2\cdot1,5}{\left(1,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(3) = \cfrac{3^2-2\cdot3}{\left(3-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}

      Jika turunannya positif berarti fungsinya meningkat, tetapi jika turunannya negatif berarti fungsinya menurun. Oleh karena itu, interval pertumbuhan dan penurunannya adalah:

      Pertumbuhan:

      \bm{(-\infty, 0)\cup (2,+\infty)}

      Mengurangi:

      \bm{(0,1)\cup (1,2)}

      Selanjutnya, pada x=0 fungsinya berubah dari naik ke turun, jadi x=0 adalah maksimum relatif dari fungsi tersebut . Dan pada x=2, fungsinya berubah dari menurun menjadi meningkat, jadi x=2 adalah minimum relatif dari fungsi tersebut.

      Dan terakhir, kita substitusikan titik-titik yang ditemukan pada fungsi asli untuk mencari koordinat Y dari ujung-ujungnya:

      f(0)=\cfrac{0^2}{0-1} = \cfrac{0}{-1} = 0 \ \longrightarrow \ (0,0)

      f(2)=\cfrac{2^2}{2-1} = \cfrac{4}{1} = 4 \ \longrightarrow \ (2,4)

      Singkatnya, fungsi ekstrem relatifnya adalah:

      Maksimal tepat sasaran

      \bm{(0,0)}

      Minimal untuk menunjuk

      \bm{(2,4)}

      Menyelesaikan latihan pada fungsi maksimum dan minimum

      Latihan 1

      Hitung ekstrem relatif dari fungsi polinomial berikut dan tentukan apakah fungsi tersebut maksimum atau minimum:

      f(x)=x^3-3x^2-9x

      Titik ekstrem relatif suatu fungsi adalah titik di mana turunan pertama fungsi tersebut sama dengan nol. Oleh karena itu kami menghitung turunan dari fungsi tersebut:

      f(x)=x^3-3x^2-9x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-6x-9

      Dan sekarang kita selesaikan persamaannya

      f'(x)=0:

      f'(x)=0

      3x^2-6x-9=0

      Kami mempunyai persamaan kuadrat, jadi kami menerapkan rumus umum untuk menyelesaikannya:

      \begin{aligned} x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 3 \cdot (-9)}}{2\cdot 3}=\\[1.5ex]&=\cfrac{6 \pm \sqrt{144}}{6}=\cfrac{6 \pm 12}{6} =\begin{cases} \cfrac{6 + 12}{6}=\cfrac{18}{6}= 3 \\[4ex] \cfrac{6 - 12}{6}=\cfrac{-6}{6}=-1 \end{cases} \end{aligned}

      Oleh karena itu, titik ekstrim relatif dari fungsi tersebut adalah titik x=3 dan x=-1.

      Setelah kita mengetahui titik ekstrem relatif suatu fungsi, kita dapat mengetahui apakah fungsi tersebut maksimum atau minimum dengan tanda turunan keduanya. Oleh karena itu kami membedakan fungsinya lagi:

      f'(x)=3x^2-6x-9 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x-6

      Dan sekarang kita mengevaluasi poin yang kita hitung sebelumnya pada turunan kedua:

      f''(3)=6(3)-6=18-6 = +12 \ \longrightarrow \ \text{M\'inimo}

      f''(-1)=6(-1)-6=-6-6 = -12 \ \longrightarrow \ \text{M\'aximo}

      Turunan keduanya di x=3 adalah positif, jadi x=3 adalah minimum . Dan turunan kedua di x=-1 bernilai negatif, jadi x=-1 maksimum .

      Dan terakhir, kita substitusikan titik-titik yang ditemukan pada fungsi asli untuk mencari koordinat Y dari ujung-ujungnya:

      f(3)=3^3-3\cdot 3^2-9\cdot3=-27 \ \longrightarrow \ (3,-27)

      f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)=5 \ \longrightarrow \ (-1,5)

      Singkatnya, fungsi ekstrem relatifnya adalah:

      Minimum relatif terhadap intinya

      \bm{(3,-27)}

      Maksimum relatif terhadap intinya

      \bm{(-1,5)}

      Latihan 2

      Hitung ekstrem relatif dari fungsi eksponensial berikut dan tentukan apakah fungsi tersebut maksimum atau minimum:

      f(x)=e^x(x-1)

      Pertama, kita perlu membedakan fungsinya. Untuk melakukan ini, kami menerapkan rumus turunan suatu produk:

      f'(x)=e^x\cdot (x-1)+ e^x\cdot 1

      f'(x)=xe^x -e^x +e^x = xe^x

      Dan sekarang kita selesaikan persamaannya

      f'(x)=0:

      f'(x)=0

      xe^x=0

      \displaystyle x\cdot e^x =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] e^x=0 \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}

      Suatu bilangan yang dipangkatkan ke bilangan lain tidak akan pernah menghasilkan 0. Oleh karena itu,

      e^x=0

      tidak memiliki solusi dan satu-satunya solusi yang relatif ekstrim adalah

      x=0

      .

      Sekarang kita menghitung turunan kedua dari fungsi tersebut untuk mengetahui bahwa ekstrim relatif adalah maksimum atau minimum:

      f'(x)= xe^x \ \longrightarrow \ f''(x)= 1\cdot e^x + x \cdot e^x = e^x+xe^x

      Dan sekarang kita evaluasi pada turunan kedua ekstrim yang kita temukan sebelumnya, untuk melihat apakah maksimum atau minimum:

      f''(0)= e^{0}+0\cdot e^{0} = 1+0\cdot 1 = 1 \ \longrightarrow \ \text{M\'inimo}

      Karena turunan keduanya di x=0 adalah positif, x=0 adalah minimum relatif atau lokal .

      Terakhir, kita substitusikan titik yang ditemukan ke fungsi asli untuk mencari koordinat ujung lainnya:

      f(0)=e^{0}(0-1) =1\cdot (-1)=-1 \ \longrightarrow \ (0,-1)

      Oleh karena itu, satu-satunya ekstrem relatif dari fungsi tersebut adalah:

      Minimal untuk menunjuk

      \bm{(0,-1)}

      Latihan 3

      Pelajari monotonisitas dan temukan titik ekstrem relatif dari fungsi rasional berikut:

      \displaystyle f(x)=\frac{x -1 }{x^2+1}

      Pertama, kita tentukan domain fungsinya. Untuk melakukan ini, kita menetapkan penyebut pecahan sama dengan nol dan menyelesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan:

      x^2+1 = 0

      Ekspresi

      x^2+1

      Tidak akan pernah menjadi 0, karena hasil dari x 2 akan selalu berupa bilangan positif atau 0. Oleh karena itu, penjumlahan 1 tidak akan pernah menghasilkan 0. Oleh karena itu, domain dari fungsi tersebut hanya terdiri dari bilangan real:

      \text{Dom } f= \mathbb{R}

      Selanjutnya kita pelajari titik mana saja yang bertemu

      f'(x)=0.

      Kami membedakan fungsi menggunakan aturan hasil bagi:

      f(x)=\cfrac{x -1 }{x^2+1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{1 \cdot (x^2+1) - (x-1) \cdot 2x }{\left(x^2+1}\right)^2}

      f'(x)= \cfrac{x^2+1-(2x^2-2x)}{\left(x^2+1\right)^2} = \cfrac{x^2+1-2x^2+2x}{\left(x^2+1\right)^2}= \cfrac{-x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}

      Kami menetapkan turunannya sama dengan 0 dan menyelesaikan persamaan:

      f'(x)= 0

      \cfrac{-x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}=0

      -x^2+2x+1=0\cdot \left(x^2+1\right)^2

      -x^2+2x+1=0

      Kami mempunyai persamaan kuadrat, jadi kami menggunakan rumus umum untuk menyelesaikannya:

      \begin{aligned}x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot (-1) \cdot 1}}{2\cdot (-1)} = \\[1.5ex]&=\cfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{-2} =\begin{cases} \cfrac{-2 + \sqrt{8}}{-2}= -0,41 \\[4ex] \cfrac{-2 - \sqrt{8}}{-2}= 2,41\end{cases} \end{aligned}

      Setelah kita menghitung domain dari fungsi dan

      f'(x)=0

      , kami mewakili semua titik tunggal yang ditemukan pada garis bilangan:

      Dan sekarang kita evaluasi tanda turunannya pada setiap interval, untuk mengetahui apakah fungsinya naik atau turun. Oleh karena itu, kita mengambil sebuah titik di setiap interval (bukan titik tunggalnya) dan melihat tanda apa yang dimiliki turunannya pada titik tersebut:

      f'(-1)= \cfrac{-(-1)^2+2(-1)+1}{\left((-1)^2+1\right)^2}}= \cfrac{-2}{+4} =-0,5 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(0)= \cfrac{-0^2+2(0)+1}{\left(0^2+1\right)^2}}= \cfrac{+1}{+1} =+1 \ \rightarrow \ \bm{+}

      f'(3)= \cfrac{-3^2+2\cdot 3+1}{\left(3^2+1\right)^2}}= \cfrac{-2}{+100} =-0,02 \ \rightarrow \ \bm{-}

      Jika turunannya positif berarti fungsi tersebut meningkat pada interval tersebut, tetapi jika turunannya negatif berarti fungsinya menurun. Oleh karena itu, interval pertumbuhan dan penurunannya adalah:

      Pertumbuhan:

      \bm{(-0,41 \ , \ 2,41)}

      Mengurangi:

      \bm{(-\infty \ , \ -0,41)\cup (2,41 \ , \ +\infty)}

      Fungsinya berubah dari turun ke naik pada x=-0,41, jadi x=-0,41 adalah minimum lokal dari fungsi tersebut. Dan fungsinya berubah dari naik ke turun pada x=2,41, jadi x=2,41 adalah maksimum lokal dari fungsi tersebut.

      Terakhir, kita substitusikan nilai ekstrem yang ditemukan ke dalam fungsi asli untuk mencari koordinat Y dari titik-titik tersebut:

      f(-0,41)=\cfrac{-0,41 -1 }{(-0,41)^2+1} = \cfrac{-1,41}{1,17}= -1,21 \ \longrightarrow \ (-0,41 \ , \ -1,21)

      f(2,41)=\cfrac{2,41 -1 }{2,41^2+1} = \cfrac{1,41}{6,81}= 0,21 \ \longrightarrow \ (2,41 \ , \ 0,21)

      Oleh karena itu, ekstrem relatif dari fungsi tersebut adalah:

      Minimal untuk menunjuk

      \bm{(-0,41 \ , \ -1,21)}

      Maksimal tepat sasaran

      \bm{ (2,41 \ , \ 0,21)}

      Latihan 4

      Kita tahu itu fungsinya

      f(x)=x^2+ax+b

      melewati titik tersebut

      (1,-2)

      dan mempunyai nilai yang relatif ekstrim

      x= -1 .

      Tentukan nilai yang tidak diketahui

      a

      dan nilai

      b .

      Biarkan fungsi tersebut memiliki ekstrem relatif

      x= -1

      itu berarti sudah tercapai

      f'(-1)=0.

      Oleh karena itu, kami menghitung turunan dari fungsi tersebut

      x= -1

      dan kami menetapkannya sama dengan 0:

      f(x) = x^2+ax+b \ \longrightarrow \ f'(x)=2x+a

      \left. \begin{array}{l} f'(-1)=2(-1)+a\\[2ex] f'(-1)=0\end{array} \right\} \longrightarrow 2(-1)+a=0

      Dan kita selesaikan persamaan yang diperoleh untuk mencari nilai parameter a:

      2(-1)+a=0

      -2+a=0

      \bm{a=2}

      Oleh karena itu, fungsinya adalah:

      f(x)=x^2+ax+b \ \xrightarrow{a \ = \ 2} \ f(x)=x^2+2x+b

      Di sisi lain, mereka memberi tahu kita bahwa fungsi tersebut melalui suatu titik

      (1,-2) .

      Artinya,

      f(1)=-2 .

      Oleh karena itu, kita dapat menerapkan kondisi ini untuk mencari nilai variabel b:

      \left. \begin{array}{l} f(1)=1^2+2\cdot1+b \\[2ex] f(1)=-2 \end{array} \right\} \longrightarrow 1^2+2\cdot 1+b = -2

      Dan kita selesaikan persamaan yang diperoleh untuk mencari nilai parameter b:

      1^2+2\cdot1+b=-2

      1+2+b=-2

      b=-2-1-2

      \bm{b=-5}

      Oleh karena itu fungsinya adalah:

      f(x)=x^2+2x+b \ \xrightarrow{b \ = \ -5} \ f(x)=x^2+2x-5

0 komentar untuk “Maksimum dan minimum suatu fungsi (relatif ekstrem)”

  1. StevenHor

    In this place you can easily find particular promo codes for the popular betting platform.
    The set of profitable chances is regularly updated to secure that you always have entrance to the current bargains.
    With these special offers, you can economize considerably on your gambling activities and enhance your possibilities of accomplishment.
    All special offers are meticulously examined for validity and execution before being displayed.
    https://windowgalaxy.com/wp-content/pgs/?prohoghdenie_undercover_missions_operation_kursk_k_141_glava_5_pribytie_v_balakovo.html
    What’s more, we present comprehensive guidelines on how to put into action each profitable opportunity to enhance your rewards.
    Remember that some promotions may have particular conditions or set deadlines, so it’s paramount to analyze meticulously all the particulars before implementing them.

    Balas

    Komentar Anda menunggu moderasi.

  2. any 1xbet promo code

    1XBet Bonus Code – Special Bonus maximum of $130
    Use the One X Bet promotional code: Code 1XBRO200 while signing up in the App to unlock special perks given by 1XBet for a $130 maximum of 100%, for sports betting along with a casino bonus with 150 free spins. Launch the app then continue by completing the registration steps.
    The 1xBet promo code: Code 1XBRO200 offers an amazing starter bonus for first-time users — full one hundred percent maximum of 130 Euros during sign-up. Promotional codes are the key for accessing rewards, and One X Bet’s promotional codes are the same. When applying this code, players have the chance of several promotions at different stages of their betting experience. Although you aren’t entitled for the initial offer, 1XBet India guarantees its devoted players receive gifts through regular bonuses. Check the Promotions section on their website frequently to keep informed regarding recent promotions designed for current users.
    1xbet promo code for registration
    What 1XBet promo code is now valid right now?
    The bonus code for One X Bet stands as Code 1XBRO200, which allows novice players joining the bookmaker to unlock a reward worth 130 dollars. In order to unlock special rewards pertaining to gaming and wagering, please input this special code concerning 1XBET while filling out the form. In order to benefit of this offer, prospective users need to type the promo code Code 1xbet at the time of registering process for getting a full hundred percent extra on their initial deposit.

    Balas

    Komentar Anda menunggu moderasi.

Tinggalkan Komentar

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

Scroll to Top