Turunan dari arc cosinus

Di sini kami menjelaskan cara menurunkan arccosine suatu fungsi. Selain itu, Anda akan menemukan contoh turunan dari arc cosinus dan Anda akan dapat berlatih dengan latihan yang diselesaikan langkah demi langkah. Terakhir, kami tunjukkan bukti rumus turunan arccosine.

Berapakah turunan dari arc cosinus?

Turunan arccosinus dari x adalah negatif satu terhadap akar kuadrat satu dikurangi x kuadrat.

$f(x)=\text{arccos}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Oleh karena itu, turunan arccosinus suatu fungsi sama dengan dikurangi hasil bagi turunan fungsi tersebut dibagi dengan akar kuadrat dari satu dikurangi kuadrat fungsi tersebut.

$f(x)=\text{arccos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

Faktanya, rumus pertama diperoleh dengan mengganti x dengan u pada rumus kedua. Jadi, ringkasnya, rumus turunan invers cosinus adalah:

Seperti yang bisa kamu lihat, rumus turunan arccosine sama seperti turunan arcsinus , namun ditambah negatif sebelumnya.

Contoh turunan arc cosinus

Mengingat rumus turunan fungsi arccosinus, sekarang kita akan menganalisis beberapa contoh turunan trigonometri jenis ini. Dengan cara ini akan lebih mudah bagi Anda untuk memahami bagaimana arc cosinus suatu fungsi diturunkan.

Contoh 1: Turunan dari arc cosinus 2x

$f(x)=\text{arccos}(2x)$

Untuk menyelesaikan turunan dari arc cosinus, kita menggunakan rumusnya:

$f(x)=\text{arccos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

Turunan dari 2x adalah 2, jadi turunan arc cosinus dari 2x adalah negatif 2 pada akar satu dikurangi 2x kuadrat:

$f(x)=\text{arccos}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}}=-\cfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

Contoh 2: Turunan dari arc cosinus x kuadrat

$f(x)=\text{arccos}(x^2)$

Kami menerapkan rumus turunan arccosine dengan aturan rantai untuk menghitung turunannya:

$f(x)=\text{arccos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

Karena turunan fungsi x ² adalah 2x, maka turunan arc cosinus x pangkat 2 adalah:

$f(x)=\text{arccos}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2x}{\sqrt{1-\left(x^2\right)^2}}=-\cfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

Contoh 3: Turunan dari arccosine dari sebuah logaritma

$f(x)=\text{arccos}\bigl(\ln (x)\bigr)$

Fungsi dalam contoh ini adalah fungsi yang terdiri dari arccosine dan logaritma natural, jadi kita perlu menggunakan aturan rantai untuk menurunkannya.

$f(x)=\text{arccos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

Turunan logaritma natural adalah satu dibagi x, maka turunan fungsi bilangan bulatnya adalah:

$f(x)=\text{arccos}\bigl(\ln (x)\bigr) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{\cfrac{1}{x}}{\sqrt{1-\left(\ln(x)\right)^2}}=\cfrac{1}{x\sqrt{1-\ln^2(x)}}$

Turunan arccosine memecahkan masalah

Turunkan fungsi arccosine berikut:

$\text{A) }f(x)=\text{arccos}(7x)$

$\text{B) }f(x)=\text{arccos}(x^3+6x)$

$\text{C) }f(x)=\text{arccos}^3\left(e^{3x}\right)$

$\text{D) }f(x)=\text{arccos}\left(\log_3(x^3)\right)$

$\text{E) }f(x)=\text{arccos}\left(\sqrt{4x}\right)$

lihat solusi

$\text{A) }f'(x)=-\cfrac{7}{\sqrt{1-(7x)^2}}=-\cfrac{7}{\sqrt{1-49x^2}}$

$\text{B) }f'(x)=-\cfrac{3x^2+6}{\sqrt{1-(x^3+6x)^2}}$

$\begin{aligned}\text{C) }\displaystyle f'(x)&=3\text{arccos}^2\left(e^{3x}\right)\cdot \left(-\frac{3e^{3x}}{\sqrt{1-\left(e^{3x}\right)^2}}\right)\\[1.5ex] &=-\cfrac{9\text{arccos}^2\left(e^{3x}\right)\cdot e^{3x}}{\sqrt{1-e^{6x}}}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\text{D) }f'(x)&=-\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\log_3(3x)\right)^2}}\cdot \cfrac{3}{3x\cdot \ln 3}\\[1.5ex] &=-\cfrac{1}{x\cdot \ln 3\cdot \sqrt{1-\log_3^2(3x)}} \end{aligned}$

$\begin{aligned}\text{E) } f'(x)& =-\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\sqrt{4x}\right)^2}}\cdot \cfrac{4}{2\sqrt{4x}}\\[1.5ex] &=-\cfrac{2}{\sqrt{1-4x}\cdot 2\sqrt{x}}\\[1.5ex] &=-\cfrac{1}{\sqrt{x-4x^2}} \end{aligned}$