Turunan dari fungsi eksponensial

Pada artikel ini kami menjelaskan cara menurunkan fungsi eksponensial. Anda akan menemukan rumus turunan eksponensial (dengan basis a dan basis e) dan menyelesaikan latihan turunan fungsi eksponensial.

Aturan turunan fungsi eksponensial bergantung pada basis pangkat , karena bergantung pada apakah basisnya berupa bilangan (a) atau bilangan e, fungsi tersebut diturunkan secara berbeda. Itu sebabnya kita akan melihat masing-masing kasus secara terpisah di bawah ini, lalu merangkum kedua rumus tersebut untuk memahami sepenuhnya cara menurunkan fungsi eksponensial.

Turunan fungsi eksponensial dengan basis a

Turunan fungsi eksponensial dengan basis a sama dengan hasil kali fungsi tersebut dan logaritma natural basis pangkat dan turunan eksponen.

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

Misalnya turunan fungsi eksponensial berikut adalah:

f(x)=5^{x^2+1} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=5^{x^2+1}\cdot \ln(5) \cdot 2x

Turunan fungsi eksponensial dengan basis e

Turunan fungsi eksponensial dengan basis e ekuivalen dengan hasil kali fungsi yang sama dengan turunan eksponennya.

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

Misalnya turunan bilangan e yang dipangkatkan menjadi 4x adalah:

f(x)=e^{4x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^{4x} \cdot 4=4e^{4x}

Rumus turunan eksponensial

Seperti yang telah kita lihat, turunan fungsi eksponensial bergantung pada basisnya. Dan dua rumus yang digunakan untuk menurunkan fungsi eksponensial adalah:

turunan eksponensial

Turunan eksponensial dari e ke x

Setelah kita mengetahui rumus turunan eksponensial, kita akan menganalisis kasus turunan e dalam x, karena merupakan kasus yang aneh.

Turunan fungsi e ke x selalu menghasilkan fungsi itu sendiri , artinya berapa kali pun kita mendiferensiasikan fungsi e x , kita akan selalu mendapatkan fungsi yang sama.

\begin{array}{c} f(x)=e^x \\[2ex] f'(x)=e^x\\[2ex] f''(x)=e^x\\[2ex] f'''(x)=e^x\\ \vdots\\ f^n(x)=e^x\end{array}

Sifat fungsi e yang dipangkatkan ke x ini disebabkan oleh turunan dari x adalah 1. Oleh karena itu, ketika menurunkan, kita selalu mengalikan fungsi itu sendiri dengan 1 dan, sebagai hasilnya, kita selalu mendapatkan fungsi asal.

f(x)=e^x \quad\longrightarrow\quad f'(x)=e^x\cdot 1= e^x

Menyelesaikan masalah turunan fungsi eksponensial

Latihan 1

Turunkan fungsi eksponensial berikut:

f(x)=3^x

Fungsi tersebut didasarkan pada bilangan selain e, jadi kita perlu menggunakan rumus berikut:

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

Oleh karena itu, turunan fungsi eksponensial basis 3 adalah:

f(x)=3^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=3^x\cdot \ln(3) \cdot 1=3^x\cdot \ln(3)

Latihan 2

Hitung turunan fungsi eksponensial berikut:

f(x)=7^{3x^2-4x}

Fungsi pada latihan ini didasarkan pada bilangan selain e, sehingga harus diterapkan rumus berikut:

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

Jadi turunan dari fungsi tersebut adalah:

f(x)=7^{3x^2-4x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^{3x^2-4x}\cdot \ln(7) \cdot (6x-4)

Latihan 3

Tentukan turunan fungsi eksponensial berikut dengan basis e:

f(x)=e^{(5x^2-9x)^3}

Fungsi pada latihan ini mempunyai bilangan dasar e, sehingga kita dapat menggunakan rumus berikut:

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

Dan penurunan fungsi eksponensial menghasilkan:

f'(x)=e^{(5x^2-9x)^3} \cdot 3(5x^2-9x)^2\cdot (10x-9)

Perhatikan bahwa untuk menyelesaikan turunan ini kita perlu menggunakan aturan rantai.

Latihan 4

Temukan turunan dari fungsi eksponensial berikut dengan akar sebagai eksponen:

f(x)=9^{\sqrt{5x}}

➤ Lihat: turunan dari fungsi radikal

di sana Meskipun ada ekspresi radikal dalam eksponen, kita masih perlu menggunakan aturan untuk menurunkan fungsi eksponensial dari basis a:

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

Oleh karena itu, turunan dari fungsi eksponensial majemuk adalah:

f'(x)=9^{\sqrt{5x}}\cdot \ln(9) \cdot \cfrac{5}{2\sqrt{5x}}

Latihan 5

Turunkan fungsi eksponensial berikut dari basis e dengan eksponen pecahan:

f(x)=e^{\frac{x^2}{5-3x}}

➤ Lihat: turunan dari suatu hasil bagi fungsi

Basis pangkatnya adalah bilangan e, jadi kita akan menggunakan aturan berikut untuk membagi fungsinya:

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

Oleh karena itu, turunan dari fungsi eksponensial adalah:

\begin{aligned}f'(x)&=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{2x\cdot (5-3x)-x^2\cdot (-3)}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-6x^2+3x^2}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-3x^2}{(5-3x)^2}\end{aligned}

Tinggalkan Komentar

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

Scroll to Top