Fungsi sinus hiperbolik

Dalam artikel ini Anda akan menemukan segala sesuatu tentang sinus hiperbolik: apa rumusnya, representasi grafisnya, semua karakteristiknya, hubungannya dengan fungsi lain,…

Rumus sinus hiperbolik

Fungsi sinus hiperbolik adalah salah satu fungsi hiperbolik utama dan diwakili oleh simbol sinh(x) atau sinh(x) . Sinus hiperbolik sama dengan e ^x dikurangi e ^-x dibagi 2.

Oleh karena itu, rumus sinus hiperbolik adalah sebagai berikut:

$\displaystyle\text{senh}(x)=\cfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}$

Jadi, sinus hiperbolik berhubungan dengan fungsi eksponensial.

➤ Lihat: ciri-ciri fungsi eksponensial

Representasi grafis dari sinus hiperbolik

Dengan menggunakan rumus yang kita lihat di bagian sebelumnya, kita dapat membuat tabel nilai sinus hiperbolik dan membuat grafik fungsinya:

Pada grafik ini terlihat bahwa sinus hiperbolik merupakan fungsi ganjil , karena sumbu x yang berlawanan mempunyai bayangan yang berlawanan, atau dengan kata lain grafik sinus hiperbolik simetris terhadap titik asal (0, 0).

Seperti yang Anda lihat, grafik sinus hiperbolik sangat berbeda dengan grafik sinus yang merupakan fungsi periodik. Representasi grafis dari sinus dan segala perbedaannya dengan sinus hiperbolik dapat Anda lihat pada link berikut:

➤ Lihat: Representasi grafis dari fungsi sinus

Ciri-ciri sinus hiperbolik

Sinus hiperbolik mempunyai sifat sebagai berikut:

Domain fungsi sinus hiperbolik adalah semua bilangan real:

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

Range atau jangkauan fungsi sinus hiperbolik juga semuanya bilangan real.

$\text{Im } f= \mathbb{R}$

Sinus hiperbolik merupakan fungsi kontinu dan ganjil.

$\displaystyle \text{senh}(-x) =- \text{senh}(x)$

Memotong sumbu X dan sumbu Y pada titik potong yang sama, asal koordinatnya:

$(0,0)$

Limit fungsi sinus hiperbolik ketika x cenderung plus/minus tak terhingga sama dengan plus/minus tak terhingga:

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{senh}(x)=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\text{senh}(x)=-\infty$

Sinus hiperbolik meningkat secara ketat di seluruh domain, sehingga tidak memiliki maxima maupun minima.

Namun kelengkungannya berubah pada titik x = 0, sehingga merupakan titik belok fungsi tersebut. Untuk nilai yang lebih kecil dari x=0 merupakan fungsi cekung, sebaliknya untuk nilai yang lebih besar dari x=0 merupakan fungsi cembung.

Turunan dari fungsi sinus hiperbolik adalah kosinus hiperbolik:

$f(x)=\text{senh}(x) \ \longrightarrow \ f'(x)=\text{cosh}(x)$

Demikian pula, integral fungsi sinus hiperbolik adalah kosinus hiperbolik:

$\displaystyle \int \text{senh}(x) \ dx= \text{cosh}(x) + C$

Deret Taylor dari fungsi sinus hiperbolik setara dengan ekspresi berikut:

$\displaystyle\text{senh}(x)=x+\cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^5}{5!}+\cfrac{x^7}{7!}+\dots=\sum_{n=0}^\infty\cfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Transformasi Laplace dari fungsi sinus hiperbolik adalah sebagai berikut:

$\mathcal{L}\bigl[\text{senh}(at)\bigr]=\cfrac{a}{s^2-a^2}$

Hubungan matematis sinus hiperbolik

Sinus hiperbolik dihubungkan dengan fungsi hiperbolik lainnya melalui persamaan berikut:

Persamaan dasar menghubungkan sinus hiperbolik dengan kosinus hiperbolik:

$\text{cosh}^2(x)-\text{senh}^2(x)=1$

Oleh karena itu, fungsi sinus dan kosinus hiperbolik dihubungkan dengan persamaan hiperbola, yaitu x ² -y ² =1. Berbeda dengan fungsi trigonometri sinus dan cosinus yang dihubungkan dengan persamaan lingkaran (x ² +y ² =1).

Fungsi hiperbolik sinus, cosinus dan tangen dapat dihubungkan dengan persamaan berikut:

$\text{tanh}(x)=\cfrac{\text{senh}(x)}{\text{cosh}(x)}$

Sebaliknya, sinus hiperbolik penjumlahan atau pengurangan dua bilangan berbeda dapat dihitung dengan rumus berikut:

$\text{senh}(x+y)=\text{senh}(x)\text{cosh}(y)+\text{senh}(y)\text{cosh}(x)$

$\text{senh}(x-y)=\text{senh}(x)\text{cosh}(y)-\text{senh}(y)\text{cosh}(x)$

Sinus hiperbolik dua kali suatu bilangan dapat ditentukan dengan menerapkan hubungan matematika berikut:

$\text{senh}(2x)=2\text{senh}(x)\text{cosh}(x)$

Jumlah atau pengurangan dua sinus hiperbolik dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut:

$\displaystyle\text{senh}(x)+\text{senh}(y)=2\text{senh}\left(\frac{x+y}{2}\right)\text{cosh}\left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\displaystyle\text{senh}(x)-\text{senh}(y)=2\text{senh}\left(\frac{x-y}{2}\right)\text{cosh}\left(\frac{x+y}{2}\right)$

Terakhir, kuadrat sinus hiperbolik dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut:

$\text{senh}^2(x)=\cfrac{1}{2}\Bigl(\text{cosh}(2x)-1\Bigr)$

Rumus sinus hiperbolik

Representasi grafis dari sinus hiperbolik

Ciri-ciri sinus hiperbolik

Hubungan matematis sinus hiperbolik

Tinggalkan Komentar Batalkan Balasan