Jumlah kubus - Mathoritas

Di halaman ini Anda akan menemukan rumus jumlah pangkat tiga dan penjelasan cara memfaktorkan jumlah pangkat tiga. Selain itu, Anda akan dapat melihat beberapa contoh dan latihan soal penjumlahan kubus.

Berapa jumlah kubusnya?

Jumlah kubus adalah binomial (polinomial dengan hanya dua monomial) yang kedua sukunya positif dan, terlebih lagi, akar pangkat tiganya eksak. Oleh karena itu, ekspresi aljabar jumlah kubus adalah a ³ +b ³ .

Selain itu, jumlah kubus sempurna berhubungan dengan hasil perkalian luar biasa (atau identitas luar biasa), artinya terdapat rumus untuk menyelesaikannya secara langsung tanpa melakukan banyak perhitungan. Selanjutnya kita akan melihat bagaimana hal itu dilakukan.

Rumus jumlah kubus

Setelah kita melihat definisi matematis dari jumlah kubus, sekarang mari kita lihat apa rumus jumlah kubus:

Jadi, jumlah dua suku pangkat tiga sama dengan jumlah kedua suku tersebut dikalikan kuadrat suku pertama, dikurangi hasil kali kedua besaran, ditambah kuadrat suku kedua.

Oleh karena itu, ketika kita menerapkan rumus jumlah kubus sempurna, kita sebenarnya sedang memfaktorkan suatu polinomial, karena kita mengubah ekspresi polinomial menjadi hasil kali dua faktor. Jika Anda masih belum yakin apa yang dimaksud dengan memfaktorkan polinomial, kami sarankan Anda melihat cara memfaktorkan polinomial sebelum melanjutkan.

Contoh pemfaktoran jumlah kubus

Untuk menyelesaikan pemahaman konsep jumlah kubus sempurna, kita akan melihat beberapa contoh memfaktorkan jumlah kubus dengan menggunakan rumus:

Contoh 1

Faktorkan jumlah kubus berikut dengan menggunakan rumus:

$x^3+8$

Memang, ini adalah penjumlahan pangkat tiga karena akar pangkat tiga dari monomial

$x^3$

eksak (tidak memberikan angka desimal) dan angka 8 juga:

$\sqrt[3]{x^3} = x$

$\sqrt[3]{8} = 2$

$x^3+8=x^3+2^3$

Oleh karena itu, kita dapat menerapkan rumus jumlah kubus untuk mengubah ekspresi kubik menjadi hasil kali binomial dan trinomial:

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$x^3 +2^3 = (x+2)(x^2-x \cdot 2 + 2^2)$

Dan terakhir, kita tinggal menyelesaikan perkalian dan perpangkatannya:

$x^3 +2^3 = (x+2)(x^2-2x + 4)$

Jika kita mencermati ekspresi yang diperoleh, berkat rumus jumlah kubus kita dapat dengan mudah menemukan akar polinomial . Dalam hal ini, salah satu akar polinomialnya adalah

$x=-2.$

Namun, untuk menemukan semua akar (atau nol) polinomial, Anda harus mengikuti prosedur yang lebih rumit, cari tahu caranya di halaman tertaut.

Contoh 2

Faktorkan binomial berikut dengan menerapkan rumus jumlah kubus sempurna.

$8x^3+1$

Polinomial dalam contoh ini juga terdiri dari jumlah pangkat tiga karena keduanya merupakan akar pangkat tiga dari monomial tersebut

$8x^3$

dari suku independen 1 tepat:

$\sqrt[3]{8x^3} = 2x$

$\sqrt[3]{1} = 1$

$8x^3+1 =(2x)^3+1^3$

Oleh karena itu, kita dapat menggunakan rumus jumlah kubus sempurna untuk menyederhanakan persamaan:

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$(2x)^3+1^3 = (2x+1)\bigl((2x)^2-2x \cdot 1 + 1^2\bigr)$

Terakhir, hitung saja operasi yang dihasilkan:

$(2x)^3+1^3 = (2x+1)(4x^2-2x + 1\bigr)$

Sekarang setelah Anda mengetahui cara menyelesaikan jumlah kubus, Anda mungkin ingin mengetahui cara memfaktorkan selisih kubus . Karena walaupun rumus selisih pangkat tiga sama, namun terdapat sedikit perubahan yang memungkinkan kita membedakan penjumlahan dan selisih pangkat tiga. Kami meninggalkan tautan ini untuk Anda sehingga Anda dapat melihat apa saja perubahan signifikan ini dan bagaimana pengurangan kubus dihitung.

Memecahkan masalah jumlah kubus

Latihan 1

Faktorkan penjumlahan kubus berikut dengan rumus:

$x^6+27x^3$

lihat solusi

Ekspresi tersebut sesuai dengan jumlah kubus karena akar pangkat tiga dari dua elemen polinomial tersebut eksak:

$\sqrt[3]{x^6} = x^2$

$\sqrt[3]{27x^3} = 3x$

$x^6+27x^3=\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3$

Oleh karena itu, kita dapat menggunakan rumus jumlah kubus sempurna untuk memfaktorkan ekspresi kubik menjadi hasil kali binomial dan trinomial:

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3 = \left(x^2+3x\right)\left( \left(x^2\right)^2-x^2 \cdot 3x + (3x)^2\right)$

Dengan mana kita menyelesaikan semua operasi untuk mencari polinomial terfaktor:

$\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3 = \left(x^2+3x\right)\left( x^4-3x^3 + 9x^2\right)$

Latihan 2

Nyatakan setiap hasil kali sebagai jumlah kubus:

$\text{A)} \ (x+5)(x^2-5x+25)$

$\text{B)} \ (2x+7)(4x^2-14x+49)$

$\text{C)} \ (8x+y^2)(64x^2-8xy^2+y^4)$

lihat solusi

Ekspresi dari 3 latihan mengikuti rumus jumlah kubus, oleh karena itu cukup untuk menyelesaikan perkalian polinomial:

$\text{A)} \ \begin{array}{l}(x+5)(x^2-5x+25) = \\[2ex] = x^3-5x^2+25x+5x^2-25x+125 = \\[2ex] = x^3 +125\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}(2x+7)(4x^2-14x+49) = \\[2ex] = 8x^3-28x^2+98x+28x^2-98x+343 = \\[2ex] = 8x^3+343\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}(8x+y^2)(64x^2-8xy^2+y^4) = \\[2ex] =512x^3-64x^2y^2+8xy^4+64x^2y^2-8xy^4+y^6= \\[2ex] = 512x^3+y^6\end{array}$

Jika Anda lebih tertarik pada identitas terkenal, ketahuilah bahwa ada satu identitas yang banyak orang lupakan (dan sering digunakan). Namun penting untuk mengingat rumus identitas luar biasa ini, yang disebut trinomial kuadrat . Itulah sebabnya kami meninggalkan tautan ini untuk Anda di mana Anda dapat melihat apa itu dan bagaimana rumus ini diterapkan.

Berapa jumlah kubusnya?

Rumus jumlah kubus

Contoh pemfaktoran jumlah kubus

Contoh 1

Contoh 2

Memecahkan masalah jumlah kubus

Latihan 1

Latihan 2

Tinggalkan Komentar Batalkan Balasan