Matriks yang dapat diganti

Di halaman ini kami menjelaskan apa itu matriks yang dapat dialihkan. Selain itu, Anda akan dapat melihat contoh untuk memahami konsep dengan baik dan, terakhir, Anda akan menemukan latihan penyelesaian langkah demi langkah di mana kita belajar menghitung semua matriks yang berpindah dengan matriks apa pun.

Apa yang dimaksud dengan matriks yang dapat dialihkan?

Dua matriks bersifat komutatif jika hasil perkaliannya tidak bergantung pada orde perkaliannya. Dengan kata lain, matriks yang dapat dialihkan memenuhi kondisi berikut:

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

Berikut adalah pengertian matriks komutatif, sekarang mari kita lihat contohnya:

Contoh matriks yang dapat dialihkan

Dua matriks berdimensi 2×2 berikut dapat dialihkan di antara keduanya:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0\\[1.1ex] 1 & -1 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 3& 0\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}$

Komutabilitas kedua matriks dapat ditunjukkan dengan menghitung hasil perkaliannya di kedua arah:

contoh matriks switchable berdimensi 2x2

Seperti yang Anda lihat, hasil perkalian keduanya sama, apa pun urutan perkaliannya. Jadi matriksnya

$A$

Dan

$B$

mereka dapat diganti.

Latihan peralihan matriks terpecahkan

Kemudian kita akan melihat langkah demi langkah bagaimana menyelesaikan latihan matriks yang dapat diubah:

Tentukan semua matriks yang berpindah dengan matriks persegi berikut:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

Untuk mengatasi masalah ini kita akan membuat matriks yang tidak diketahui:

$\displaystyle B=\begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}$

Oleh karena itu kita harus menemukan matriks yang tidak diketahui ini.

Untuk melakukan ini, kita akan memanfaatkan properti yang dipenuhi oleh semua matriks komutasi:

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

$\displaystyle \begin{pmatrix}3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

Sekarang kita mengalikan matriks pada kedua ruas persamaan:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3a+c &3b+d\\[1.1ex] a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3a+b & a\\[1.1ex] 3c+d & c \end{pmatrix}$

Oleh karena itu, agar kesetaraan dapat dipertahankan, persamaan berikut harus dipenuhi:

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] a=3c+d\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

Jadi yang harus kita lakukan hanyalah menyelesaikan sistem persamaannya. Dari persamaan terakhir kita dapat menyimpulkannya

$b$

harus sama dengan

$c$

$b=c$

Dan jika kedua hal yang tidak diketahui ini ekuivalen, maka persamaan ketiga diulangi dengan persamaan kedua, maka kita dapat menghilangkannya:

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] \cancel{a=3c+d}\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

Apalagi dari persamaan pertama kita tidak bisa menarik kesimpulan apapun, karena:

$3a+c=3a+b \ \xrightarrow{b \ = \ c} \ 3a+b=3a+b$

$3a=3a$

$a=a$

Oleh karena itu, yang tersisa hanyalah persamaan kedua dan terakhir:

$\left.\begin{array}{l} 3b+d=a \\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

Sehingga matriks-matriks tersebut komuter dengan matriks tersebut

$A$

adalah semua yang memverifikasi dua persamaan sebelumnya. Oleh karena itu, dengan mensubstitusi ekspresi-ekspresi yang ditemukan ke dalam matriks yang tidak diketahui dari awal, kita dapat mencari bentuk matriks yang berpindah-pindah dengan

$A:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ \begin{pmatrix} 3b+d & b \\[1.1ex] b & d \end{pmatrix}$

Emas

$b$

Dan

$d$

adalah dua bilangan real.

Jadi contoh matriks yang akan berpindah-pindah dengan matriks tersebut

$A$

akan menjadi sebagai berikut:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{pmatrix}$

Sifat-sifat matriks yang dapat dialihkan

Matriks yang dapat dialihkan memiliki karakteristik sebagai berikut:

Array yang dapat dialihkan tidak memiliki properti transitif . Dengan kata lain, meskipun matriksnya
$A$

bepergian dengan matriks

$B$

Dan

$C$

, ini tidak berarti demikian

$B$

Dan

$C$

dapat dialihkan di antara keduanya.

Matriks-matriks diagonal saling berpindah-pindah, yaitu matriks diagonal berpindah-pindah dengan matriks diagonal lainnya.

Demikian pula, matriks skalar melakukan komutasi yang sama dengan semua matriks. Misalnya, matriks Identitas atau Unit berpindah dengan semua matriks.

Dua matriks Hermitian berpindah jika vektor eigennya (atau vektor eigennya) bertepatan.

Jelasnya, matriks nol juga komutatif dengan semua matriks.

Jika hasil kali dua matriks simetris menghasilkan matriks simetris lainnya, maka kedua matriks tersebut harus melakukan perjalanan.

Jika diagonalisasi dua matriks dapat dilakukan secara bersamaan, maka matriks tersebut harus bersifat komutatif. Oleh karena itu, kedua matriks ini juga memiliki basis vektor eigen atau vektor eigen ortonormal yang sama.

Apa yang dimaksud dengan matriks yang dapat dialihkan?

Contoh matriks yang dapat dialihkan

Latihan peralihan matriks terpecahkan

Sifat-sifat matriks yang dapat dialihkan

Tinggalkan Komentar Batalkan Balasan