▷ Turunan sinus (rumus dan latihan diselesaikan)

Pada artikel ini kami menjelaskan cara membuat turunan sinus (rumus). Anda akan menemukan contoh turunan fungsi sinusoidal dan menyelesaikan latihan langkah demi langkah untuk berlatih. Selain itu, kami juga menunjukkan kepada Anda turunan kedua sinus, turunan kebalikan dari sinus, dan kami bahkan menunjukkan rumus turunan sinus.

Apa turunan dari sinus?

Turunan dari fungsi sinus adalah fungsi kosinus. Oleh karena itu, turunan sinus x sama dengan kosinus x.

$f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)$

Jika terdapat suatu fungsi dalam argumen sinus, maka turunan sinus adalah kosinus fungsi tersebut dikalikan dengan turunan fungsi tersebut.

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

Rumus turunan sinus yang kedua ini diperoleh dengan menerapkan aturan rantai pada rumus pertama. Jadi, secara ringkas rumus turunan fungsi sinus adalah:

Contoh turunan sinus

Setelah kita mengetahui apa itu rumus turunan sinus, kami akan menjelaskan beberapa contoh turunan trigonometri jenis ini agar Anda memahami sepenuhnya cara menurunkan fungsi sinus.

Contoh 1: Turunan dari sinus 2x

$f(x)=\text{sen}(2x)$

Dalam argumen sinus kita mempunyai fungsi yang berbeda dengan x, jadi kita perlu menggunakan rumus berikut untuk mendapatkan sinusnya:

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

Turunan dari 2x adalah 2, jadi turunan sinus dari 2x adalah hasil kali cosinus 2x dikali 2.

$f(x)=\text{sen}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(2x)\cdot 2=2\text{cos}(2x)$

Contoh 2: Turunan dari sinus x kuadrat

$f(x)=\text{sen}(x^2)$

Rumus turunan fungsi sinus adalah:

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

Dan karena turunan x ² sama dengan 2x, maka turunan sinus x yang dipangkatkan 2 adalah:

$f(x)=\text{sen}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^2)\cdot 2x$

Contoh 3: Turunan dari sinus pangkat tiga

$f(x)=\text{sen}^3(x^5+4x)$

Dalam contoh ini, fungsi sinus terdiri dari fungsi lain, oleh karena itu kita harus menggunakan aturan berikut untuk membedakan sinus:

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

Oleh karena itu, turunan dari fungsi tersebut adalah:

$f'(x)=3\text{sen}^2(x^5+4x)\cdot \text{cos}(x^5+4x)\cdot (5x^4+4)$

➤ Untuk menurunkan fungsi ini, Anda juga harus menerapkan rumus turunan suatu pangkat .

Turunan kedua dari sinus

Selanjutnya kita akan menganalisis turunan kedua dari fungsi sinus, karena sebagai fungsi trigonometri mempunyai ciri-ciri tertentu.

Seperti yang kita lihat di atas, turunan dari sinus adalah kosinus. Nah, turunan dari cosinus adalah sinus tetapi sudah berubah tanda. Artinya turunan kedua dari sinus tersebut adalah sinus itu sendiri tetapi telah berubah tanda .

$\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(x)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(x)\\[2ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(x)\end{array}$

Namun, jika argumen sinusnya bukan x, kondisi ini berubah karena kita perlu menyeret suku aturan rantai:

$\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(u)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u' \\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(u)\cdot u'^2 +\text{cos}(u)\cdot u'' \end{array}$

Turunan sinusoidal terbalik

Seperti yang telah diketahui, setiap fungsi trigonometri mempunyai fungsi invers, sehingga invers sinus juga terdiferensiasi.

Turunan invers sinus sama dengan hasil bagi turunan fungsi argumen dibagi akar kuadrat satu dikurangi kuadrat fungsi argumen.

$f(x)=\text{sen}^{-1}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

Ingatlah bahwa sinus invers juga disebut arcsinus.

Misalnya, turunan sinus terbalik dari 5x adalah:

$f(x)=\text{sen}^{-1}(5x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{5}{\sqrt{1-(5x)^2}}=\cfrac{5}{\sqrt{1-25x^2}}$

Latihan soal turunan sinus

Hitung turunan fungsi sinusoidal berikut:

$\text{A) }f(x)=\text{sen}(7x)$

$\text{B) }f(x)=\text{sen}(x^2+5x-9)$

$\text{C) }\displaystyle f(x)=\text{sen}\left(\frac{x}{4}\right)$

$\text{D) }f(x)=\text{sen}^4(5x^3-10x^2)$

$\text{E) }f(x)=\text{sen}\bigl(\ln(x)\bigr)$

$\text{F) }f(x)=2\text{sen}(x^4-3x^3)-7\text{sen}^2(x^5)$

Lihat solusinya

$\text{A) }f'(x)=7\text{cos}(7x)$

$\text{B) }f'(x)=\text{cos}(x^2+5x-9)\cdot (2x+5)$

$\text{C) }\displaystyle f'(x)=\text{cos}\left(\frac{x}{4}\right)\cdot \frac{1}{4}=\frac{\text{cos}\left(\frac{x}{4}\right)}{4}$

$\text{D) }f'(x)=4\text{sen}^3(5x^3-10x^2)\cdot \text{cos}(5x^3-10x^2)\cdot (15x^2-20x)$

$\text{E) }f'(x)=\text{cos}\bigl(\ln(x)\bigr)\cdot \cfrac{1}{x} =\cfrac{\text{cos}\bigl(\ln(x)\bigr)}{x}$

$\text{F) }f'(x)=2\text{cos}(x^4-3x^3)\cdot (4x^3-9x^2)-14\text{sen}(x^5)\cdot \text{cos}(x^5)\cdot 5x^4$

Demonstrasi turunan sinus

Pada bagian ini kita akan menunjukkan bahwa turunan dari sinus x adalah cosinus dari x dengan menggunakan definisi turunannya, yaitu:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Dalam hal ini fungsi yang akan diturunkan adalah sin(x), maka:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(x+h)-\text{sen}(x)}{h}$

Sinus suatu penjumlahan dapat ditulis ulang dengan menerapkan identitas trigonometri berikut:

$\text{sen}(a+b)=\text{sen}(a)\text{cos}(b)+\text{cos}(a)\text{sen}(b)$

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(x)\text{cos}(h)+\text{cos}(x)\text{sen}(h)-\text{sen}(x)}{h}$

Kita ubah pecahan tersebut menjadi dua pecahan yang penyebutnya sama. Operasi ini dapat kita lakukan berkat hukum limit suatu jumlah.

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{\text{sen}(x)(\text{cos}(h)-1)}{h}+\frac{\text{cos}(x)\text{sen}(h)}{h}\right]$

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\text{sen}(x)\frac{\text{cos}(h)-1}{h}+\lim_{h \to 0}\text{cos}(x)\frac{\text{sen}(h)}{h}$

➤ Lihat: hukum batasan

Suku sinus dari x dan cosinus dari x tidak bergantung pada nilai h, oleh karena itu kita dapat mengeluarkannya dari limit:

$\displaystyle f'(x)=\text{sen}(x)\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\text{cos}(h)-1}{h}+\text{cos}(x)\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(h)}{h}$

Yang harus kita lakukan sekarang adalah menerapkan dua limit trigonometri berikut:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=0$

➤ Catatan: Demonstrasi dua limit trigonometri sebelumnya dapat Anda cari di mesin pencari website kami.

$\displaystyle f'(x)=\text{sen}(x)\cdot 0+\text{cos}(x)\cdot 1$

$\displaystyle f'(x)=\text{cos}(x)$

Maka kita tunjukkan bahwa turunan sinus x adalah kosinus x.

Berasal dari payudara

Apa turunan dari sinus?

Contoh turunan sinus

Contoh 1: Turunan dari sinus 2x

Contoh 2: Turunan dari sinus x kuadrat

Contoh 3: Turunan dari sinus pangkat tiga

Turunan kedua dari sinus

Turunan sinusoidal terbalik

Latihan soal turunan sinus

Demonstrasi turunan sinus

Tinggalkan Komentar Batalkan Balasan