▷ Turunan dari sebuah konstanta (contoh penyelesaian)

Di sini kami menjelaskan berapa nilai turunan dari suatu konstanta (dengan contoh). Kami juga mengajari Anda cara menghitung turunan konstanta dikalikan fungsi, konstanta dibagi fungsi, dan konstanta yang dipangkatkan sebagai fungsi. Terakhir, Anda dapat berlatih dengan latihan soal turunan konstanta yang telah diselesaikan.

Berapakah turunan dari suatu konstanta

Turunan suatu konstanta selalu nol , berapa pun nilai konstanta tersebut.

$f(x)=k \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=0$

Oleh karena itu, untuk mencari turunan suatu fungsi konstanta tidak perlu melakukan perhitungan apapun, turunannya cukup nol.

Turunan suatu konstanta adalah nol karena grafik fungsi konstanta tidak memiliki kemiringan.

Contoh turunan dari konstanta

Mengingat definisi turunan fungsi konstanta, kita akan melihat beberapa contoh penyelesaian untuk memahami konsep tersebut sepenuhnya:

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

Seperti yang Anda lihat, turunan suatu konstanta selalu menghasilkan 0. Tidak peduli apakah tanda konstanta tersebut positif atau negatif, atau apakah nilai konstanta tersebut sangat besar atau sangat kecil, turunannya akan tetap nol.

Bukti turunan suatu konstanta

Setelah kita melihat berapa besar turunan suatu konstanta, kita akan menunjukkan mengapa turunan jenis ini sama dengan nol.

Misalkan f adalah fungsi konstan dengan nilai berapa pun:

$f(x)=k$

Rumus untuk menghitung turunan suatu fungsi di suatu titik adalah:

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

➤ Lihat: definisi turunan

Jadi jika kita mencari limit fungsi konstanta:

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{k-k}{h}=\frac{0}{h}=0$

Jadi turunan suatu fungsi konstanta adalah 0 di setiap titik. Oleh karena itu, rumus turunan suatu konstanta diperlihatkan.

Turunan dari suatu konstanta oleh suatu fungsi

Kita baru saja menganalisis turunan dari sebuah konstanta, yaitu suatu fungsi tanpa variabel apa pun. Namun seperti yang Anda ketahui, fungsi dapat digabungkan menggunakan operasi. Oleh karena itu, di bawah ini kita akan mempelajari turunan dari konstanta yang digabungkan dengan jenis fungsi lainnya, misalnya turunan suatu konstanta dikalikan dengan jenis fungsi lain.

Turunan suatu konstanta dikalikan suatu fungsi sama dengan konstanta dikalikan dengan turunan fungsi tersebut.

$f(x)=k\cdot g(x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot g'(x)$

Misalnya turunan fungsi kuadrat berikut adalah:

$g(x)=x^2\quad \longrightarrow\quad g'(x)=2x$

Oleh karena itu, turunan dari mengalikan fungsi ini dengan konstanta sama dengan mengalikan turunan yang dihitung pada langkah sebelumnya dengan konstanta:

$f(x)=5\cdot x^2\quad \longrightarrow\quad f'(x)=5\cdot 2x=10x$

Turunan dari konstanta antar suatu fungsi

Turunan konstanta antar fungsi sama dengan hasil kali konstanta termodifikasi dengan turunan fungsi dibagi fungsi kuadrat.

$f(x)=\cfrac{k}{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{-k\cdot g'(x)}{\bigl[g(x)\bigr]^2}$

Misalnya, turunan konstanta berikut dibagi fungsi linier adalah:

$f(x)=\cfrac{3}{8x}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\cfrac{-3\cdot 8}{\bigl[8x\bigr]^2}=\cfrac{-24}{64x^2}=\cfrac{-3}{8x^2}$

Karena turunan dari 8x adalah 8.

Turunan dari fungsi konstanta yang dipangkatkan

Turunan suatu konstanta yang dipangkatkan sebagai suatu fungsi sama dengan hasil kali logaritma natural dari konstanta tersebut dikalikan dengan konstanta yang dipangkatkan sebagai suatu fungsi dikalikan dengan turunan dari fungsi tersebut.

$f(x)=k^{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\ln(k)\cdot k^{g(x)} \cdot g'(x)$

Misalnya, karena turunan sinus adalah kosinus, maka diferensiasi konstanta besar menjadi sinus menghasilkan:

$f(x)=2^{sen(x)}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\ln(2)\cdot 2^{sen(x)} \cdot cos(x)$

Latihan soal turunan konstanta

Selesaikan turunan konstanta berikut:

$\text{A)}\ f(x)=4$

$\text{B)}\ f(x)=99$

$\text{C)}\ f(x)=-15$

$\text{D)}\ f(x)=\cfrac{3}{11}$

$\text{E)}\ f(x)=\sqrt{29}$

$\text{F)}\ f(x)=2\pi$

$\text{G)}\ f(x)=2\cdot (3x-4)$

$\text{H)}\ f(x)=\cfrac{10}{x^2}$

$\text{I)}\ f(x)=5^{x^3+2x}$

Lihat solusinya

Sampai latihan F), semua fungsi merupakan nilai konstanta sederhana, sehingga semua turunannya menghasilkan nol.

$\text{A)}\ f'(x)=0$

$\text{B)}\ f'(x)=0$

$\text{C)}\ f'(x)=0$

$\text{D)}\ f'(x)=0$

$\text{E)}\ f'(x)=0$

$\text{F)}\ f'(x)=0$

Sekalipun berupa pecahan atau akar, jika fungsi tersebut tidak memiliki variabel, berarti fungsi tersebut konstan dan oleh karena itu turunannya adalah nol.

Sebaliknya, tiga latihan berikut merupakan fungsi yang merupakan operasi konstanta dengan fungsi lainnya. Oleh karena itu, untuk menghitung turunannya, kita perlu menerapkan rumus yang sesuai:

$\text{G)}\ f'(x)=2\cdot 3=6$

$\text{H)}\ f'(x)=\cfrac{-10\cdot 2x}{\bigl[x^2\bigr]^2}=\cfrac{-20x}{x^4}=\cfrac{-20}{x^3}$

$\text{I)}\ f(x)=\ln(5)\cdot 5^{x^3+2x}\cdot (3x^2+2)$

Berasal dari sebuah konstanta