Persamaan bidang di luar angkasa

Di halaman ini Anda akan menemukan rumus untuk semua persamaan dalam denah dan cara menghitungnya. Anda juga akan menemukan cara mencari persamaan bidang apa pun dengan vektor normalnya. Selain itu, Anda akan dapat melihat contoh dan latihan dengan latihan persamaan denah yang diselesaikan.

Apa persamaan bidangnya?

Dalam geometri analitik, persamaan bidang adalah persamaan yang memungkinkan bidang apa pun dinyatakan secara matematis. Jadi, untuk mencari persamaan suatu bidang, Anda hanya memerlukan sebuah titik dan dua vektor bebas linier yang dimiliki bidang tersebut.

Sebelum melanjutkan ke penjelasan persamaan bidang, ada baiknya anda memahami apa itu bidang (geometri) , karena jika tidak maka akan ada hal-hal yang tidak anda pahami. Jika Anda belum sepenuhnya paham, Anda dapat memeriksanya di tautan ini, tempat kami memusatkan semua yang perlu Anda ketahui tentang rencana tersebut.

Apa persamaan rencana tersebut?

Seperti yang kita lihat pada definisi persamaan bidang, setiap titik pada bidang datar dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari 1 titik dan 2 vektor.

persamaan bidang xy online

Namun, syarat yang diperlukan agar persamaan tersebut dapat berkorespondensi dengan suatu bidang adalah bahwa kedua vektor pada bidang tersebut mempunyai independensi linier, yaitu kedua vektor tersebut tidak boleh sejajar satu sama lain.

Jadi, semua jenis persamaan bidang adalah: persamaan vektor , persamaan parametrik , persamaan implisit (atau umum) , dan persamaan bidang kanonik (atau segmental) .

Selanjutnya kita akan melihat secara detail penjelasan dan rumus semua persamaan denahnya.

Persamaan vektor bidang

Perhatikan sebuah titik dan dua vektor arah pada sebuah bidang:

\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}

Rumus persamaan vektor suatu bidang adalah:

\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \newtcbox{\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.1pt, boxsep=2mm,     #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      (x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}} \end{empheq}

Atau setara:

(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)

Emas

\lambda

Dan

\mu

adalah dua skalar, yaitu dua bilangan real.

Persamaan parametrik bidang

Persamaan parametrik suatu bidang dapat ditentukan dari persamaan vektornya. Di bawah ini Anda dapat melihat demonya.

Biarkan persamaan vektor bidang apa pun menjadi:

(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)

Kami mengoperasikan dan pertama-tama melakukan perkalian vektor dengan skalar:

(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+ (\lambda\text{u}_x,\lambda\text{u}_y,\lambda\text{u}_z) +(\mu\text{v}_x,\mu\text{v}_y,\mu\text{v}_z)

Selanjutnya kita tambahkan komponen-komponennya:

(x,y,z)=(P_x+\lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x,P_y+\lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y,P_z+\lambda \text{u}_z + \mu \text{v}_z)

Dan terakhir, kita memperoleh persamaan parametrik denah tersebut dengan mengasimilasi koordinat yang bersesuaian dengan setiap variabel secara terpisah:

\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \newtcbox{\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.1pt, boxsep=2mm,     #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases} \end{empheq}

Emas:

  • \lambda

    Dan

    \mu

    adalah dua skalar, yaitu dua bilangan real.

  • \text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z

    adalah komponen dari salah satu dari dua vektor pemandu denah tersebut

    \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z).

  • \text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z

    adalah komponen vektor pengarah denah lainnya

    \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z).

Persamaan bidang implisit atau umum

Perhatikan sebuah titik dan dua vektor arah pada sebuah bidang:

\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}

Persamaan implisit, umum, atau Cartesian suatu bidang diperoleh dengan menyelesaikan determinan berikut dan menetapkan hasilnya sama dengan 0:

\displaystyle \begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} = 0

Dengan demikian, persamaan implisit atau umum dari rencana yang dihasilkan adalah sebagai berikut:

\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \newtcbox{\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.1pt, boxsep=2mm,     #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \displaystyle Ax+By+Cz+D=0 \end{empheq}

Persamaan bidang jenis ini disebut juga persamaan bidang kartesius.

Persamaan bidang kanonik atau segmental

Rumus persamaan kanonik atau segmental suatu bidang adalah sebagai berikut:

\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \newtcbox{\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.1pt, boxsep=2mm,     #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \displaystyle \cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b} + \cfrac{z}{c} = 1  \end{empheq}

Emas:

  • a

    adalah titik potong antara bidang dan sumbu X.

  • b

    adalah titik potong antara bidang dan sumbu Y.

  • c

    Di sinilah bidang memotong sumbu Z.

Persamaan kanonik (atau persamaan segmental) bidang juga dapat diperoleh dari persamaan umumnya:

Ax+By+Cz+D=0

Pertama, kita selesaikan koefisien D dari persamaan:

Ax+By+Cz=-D

Kemudian kita membagi seluruh persamaan denah dengan nilai parameter D yang diubah tandanya:

\cfrac{Ax+By+Cz}{-D}=\cfrac{-D}{-D}

\cfrac{Ax}{-D}+\cfrac{By}{-D}+\cfrac{Cz}{-D}=1

Dan, dengan menggunakan sifat-sifat pecahan, kita sampai pada ekspresi berikut:

\cfrac{x}{-\frac{D}{A}}+\cfrac{y}{-\frac{D}{A}}+\cfrac{z}{-\frac{D}{A}}=1

Oleh karena itu, dari ungkapan ini kami menyimpulkan rumus yang memungkinkan suku-suku persamaan kanonik atau segmental suatu bidang dihitung secara langsung:

a=-\cfrac{D}{A} \qquad b=-\cfrac{D}{B} \qquad c=-\cfrac{D}{C}

Oleh karena itu, untuk dapat membentuk varian persamaan denah tersebut, koefisien A, B, dan C harus berbeda dari nol, sehingga menghindari ketidakpastian pecahan.

Cara menghitung persamaan bidang dari vektor normalnya

Masalah yang sangat umum dalam persamaan bidang adalah mencari persamaan bidang tertentu jika diberi sebuah titik dan vektor normalnya (atau tegak lurus). Jadi, mari kita lihat cara kerjanya.

Namun perlu diketahui terlebih dahulu bahwa komponen X, Y, Z dari vektor tegak lurus bidang tersebut masing-masing berimpit dengan koefisien A, B, C dari persamaan implisit (atau umum) bidang tersebut.

\displaystyle \color{orange} \boxed{ \color{black} \quad \pi : \ Ax+By+C+D = 0 \quad \iff \quad \vv{n} = (A,B,C) \quad \vphantom{\Bigl(}}

Emas

\vv{n}

adalah vektor ortogonal terhadap bidang

\pi.

Setelah kita mengetahui hubungan sebelumnya, mari kita lihat contoh penyelesaian soal persamaan bidang jenis ini:

  • Tentukan persamaan implisit atau umum bidang yang melalui titik tersebut

    P(1,0,-2)

    dan salah satu vektor normalnya adalah

    \vv{n}=(3,-1,2) .

Rumus persamaan bidang implisit, umum, atau kartesius adalah:

Ax+By+Cz+D=0

Jadi, dari vektor normal kita dapat mencari koefisien A, B dan C karena ekuivalen dengan komponen-komponen vektor normalnya:

\vv{n}=(3,-1,2) \ \longrightarrow \ 3x-1y+2z+D=0

Sedangkan kita hanya perlu mencari parameter D. Caranya, kita substitusikan koordinat titik milik bidang tersebut ke dalam persamaan:

P(1,0,-2)

3\cdot 1-0+2\cdot (-2)+D=0

3-4+D=0

-1+D=0

D=1

Jadi persamaan implisit atau umum dari rencana tersebut adalah:

\bm{3x-y+2z+1 = 0}

Memecahkan Masalah Persamaan Bidang

Latihan 1

Tentukan persamaan vektor bidang yang memuat vektor tersebut

\vv{\text{u}}=(0,-2,3)

dan melewati dua poin berikut:

A(1,3,-1)

Dan

B(2,-1,5).

Latihan 2

Temukan persamaan parametrik bidang yang memuat tiga titik berikut:

A(4,1,0) \qquad B(2,-3,-1) \qquad C(1,5,3)

Latihan 3

Temukan persamaan implisit atau umum dari bidang yang melalui titik tersebut

P(-2,1,3)

dan berisi vektor

\vv{\text{u}}=(4,1,3)

Dan

\vv{\text{v}}=(5,3,-1).

Latihan 4

Tentukan apakah intinya

P(-1,5,-3)

milik rencana berikut:

\pi : \ 2x+y+6z-5=0

Latihan 5

Temukan persamaan segmental bidang yang persamaan umum (atau implisitnya) adalah:

3x-2y-6z+6=0

Latihan 6

Menghitung persamaan implisit atau umum bidang dalam ruang yang melalui suatu titik

P(3,4,-3)

dan salah satu vektor normalnya adalah

\vv{n}=(5,-2,-3) .

Latihan 7

Temukan persamaan parametrik bidang yang memuat garis

r

dan sejajar dengan kanan

s.

menjadi garis:

\displaystyle r: \ \begin{cases} x=1+t \\[1.7ex] y=2-3t\\[1.7ex] z=4+2t \end{cases} \qquad \qquad s: \ \frac{x-4}{2} = \frac{y+3}{2}= \frac{z-2}{-3}

Tinggalkan Komentar

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *