Jarak antara dua garis sejajar

Di halaman ini Anda akan menemukan cara menentukan jarak antara dua garis sejajar. Selain itu, Anda akan dapat melihat contoh dan latihan dengan latihan soal jarak antar garis sejajar yang telah diselesaikan.

Apa yang dimaksud dengan dua garis sejajar?

Sebelum melihat cara menghitung jarak antara dua garis sejajar, mari kita mengingat kembali secara singkat pengertian paralelisme antara dua garis:

Garis sejajar adalah garis yang tidak pernah berpotongan, artinya meskipun lintasannya diperpanjang hingga tak terhingga, garis tersebut tidak akan pernah bersentuhan satu sama lain. Oleh karena itu, titik-titik pada dua garis sejajar selalu berjarak sama satu sama lain, dan terlebih lagi, dua garis sejajar tidak mempunyai titik yang sama.

Misalnya, dua garis berikut ini sejajar:

Secara umum kita menunjukkan bahwa dua garis sejajar dengan 2 batang vertikal || yang tersirat

Sebaliknya, meskipun dua garis sejajar tidak pernah berpotongan, dalam geometri analitik dikatakan keduanya membentuk sudut 0º karena arahnya sama.

Cara menghitung jarak antara dua garis sejajar pada bidang datar

Untuk mencari jarak antara dua garis sejajar pada bidang (dalam R2), cukup ambil sebuah titik pada salah satu dari dua garis tersebut dan hitung jarak dari titik tersebut ke garis lainnya.

Kita dapat melakukannya dengan cara ini karena dua garis sejajar selalu berjarak sama.

Jadi, untuk mencari jarak antara dua garis sejajar, Anda perlu mengetahui rumus jarak antara titik dan garis . Jika Anda tidak ingat bagaimana caranya, di tautan ini Anda dapat meninjau bagaimana jarak antara suatu titik dan garis ditentukan, selain itu Anda juga dapat melihat contoh dan latihan yang diselesaikan langkah demi langkah.

Sebaliknya, jika dengan menggunakan rumus diperoleh jarak 0 satuan, berarti garis-garis tersebut saling bersentuhan di suatu titik sehingga garis-garis tersebut tidak sejajar, melainkan berpotongan, berhimpitan, atau tegak lurus. Jika mau, Anda dapat memeriksa perbedaan jenis garis ini di website kami.

Contoh cara mencari jarak antara dua garis sejajar

Sekarang mari kita lihat cara menyelesaikan soal jarak antara dua garis sejajar dengan menggunakan contoh:

Tentukan jarak antara dua garis sejajar berikut:

$r: \ 2x-4y-6=0 \qquad \qquad s: \ -x+2y+4=0$

Hal pertama yang perlu kita lakukan adalah mendapatkan titik pada salah satu garis (yang Anda inginkan). Dalam hal ini, kita akan menghitung sebuah titik pada garis

$s.$

Untuk melakukan ini, kita harus memberi nilai pada salah satu variabel, yang akan kita lakukan misalnya

$x=0:$

$-x+2y+4 =0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0+2y+4=0$

Dan sekarang kita menghapus variabel lainnya (

$y$

) dari persamaan yang diperoleh untuk mengetahui berapa nilainya pada saat ini:

$2y=-4$

$y= \cfrac{-4}{2}$

$y= -2$

Oleh karena itu, titik diperoleh dari garis tersebut

$s$

Timur:

$P(0,-2)$

Dan setelah kita mempunyai sebuah titik pada suatu garis, kita menghitung jarak dari titik tersebut ke garis lainnya menggunakan rumus jarak dari suatu titik ke garis:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + (-4)\cdot (-2) +(-6)\rvert}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert 0+8-6\rvert}{\sqrt{4+16}}={\cfrac{2}{\sqrt{20}}=\bm{0,45}$

Oleh karena itu, jarak antara dua garis sejajar setara dengan 0,45 satuan .

Menyelesaikan masalah jarak antara dua garis sejajar

Latihan 1

Berapa jarak antara dua garis sejajar berikut?

$r: \ x+3y-4=0 \qquad \qquad s: \ 2x+6y+6=0$

lihat solusi

Pertama, kita akan memverifikasi bahwa ini adalah dua garis sejajar. Untuk ini, koefisien variabel

$x$

Dan

$y$

harus proporsional satu sama lain tetapi tidak dengan ketentuan independen:

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6}\neq \cfrac{-4}{6} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

Memang garisnya sejajar, oleh karena itu kita dapat menerapkan prosedur tersebut.

Sekarang kita perlu mendapatkan titik dari salah satu garis (yang Anda inginkan). Dalam hal ini, kita akan menghitung sebuah titik pada garis

$s.$

Untuk melakukan ini, Anda harus menetapkan nilai ke salah satu variabel, misalnya yang akan kami lakukan

$x=0:$

$2x+6y+6=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 2\cdot 0+6y+6=0$

Dan sekarang kita menghapus variabel lainnya (

$y$

) dari persamaan yang diperoleh untuk mengetahui nilainya pada titik ini:

$6y=-6$

$y= \cfrac{-6}{6}$

$y= -1$

Sehingga diperoleh titik dari garis tersebut

$s$

Timur:

$P(0,-1)$

Setelah kita mengetahui suatu titik pada suatu garis, kita menghitung jarak dari titik tersebut ke garis lainnya dengan rumus:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 1\cdot 0 + 3\cdot (-1) +(-4)\rvert}{\sqrt{1^2+3^2}}= \cfrac{7}{\sqrt{10}}=\bm{2,21}$

Latihan 2

Hitunglah jarak antara dua garis sejajar berikut:

$r: \ 2x+y+5=0 \qquad \qquad s: \ 8x+4y-4=0$

lihat solusi

Pertama, kita akan memverifikasi bahwa ini adalah dua garis sejajar. Untuk ini, koefisien variabel

$x$

Dan

$y$

harus proporsional satu sama lain tetapi tidak dengan ketentuan independen:

$\cfrac{2}{8} = \cfrac{1}{4}\neq \cfrac{5}{-4} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

Memang garisnya sejajar, oleh karena itu kita dapat menerapkan prosedur tersebut.

Sekarang kita perlu mendapatkan titik dari salah satu garis (yang Anda inginkan). Dalam hal ini, kita akan menghitung sebuah titik pada garis

$s.$

Untuk melakukan ini, Anda harus memberi nilai pada salah satu variabel, misalnya akan kita lakukan

$x=0:$

$8x+4y-4=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 8\cdot 0+4y-4=0$

Dan sekarang kita menghapus variabel lainnya (

$y$

) dari persamaan yang dihasilkan untuk mencari nilainya pada titik ini:

$4y=4$

$y= \cfrac{4}{4}$

$y= 1$

Sehingga diperoleh titik dari garis tersebut

$s$

Timur:

$P(0,1)$

Setelah kita mengetahui suatu titik pada suatu garis, kita menghitung jarak dari titik tersebut ke garis lainnya dengan rumus:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + 1\cdot 1 +5\rvert}{\sqrt{2^2+1^2}}= \cfrac{6}{\sqrt{5}}=\bm{2,68}$

Latihan 3

Hitung nilai yang tidak diketahui

$k$

jadi jarak dua garis berikutnya adalah 5 satuan.

$r: \ 6x-8y+10=0 \qquad \qquad s: \ -3x+4y+k=0$

lihat solusi

Karena kita bekerja dalam dua dimensi, agar jarak antara dua garis bukan nol, maka keduanya harus sejajar. Oleh karena itu, kita akan membuat persamaannya dengan mencoba menghitung jarak antara dua garis dengan rumus jarak antara titik dan garis, dan dari persamaan tersebut kita akan memperoleh nilai

$k.$

Untuk melakukan hal ini kita perlu menghitung titik pada garis

$r:$

$6x-8y+10=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 1} \ 6\cdot 1 -8y+10=0$

$6-8y+10=0$

$-8y=-16$

$y=\cfrac{-16}{-8} = 2$

Jadi satu titik di garis itu

$r$

Timur:

$P(1,2)$

Sekarang kita coba menghitung jarak antara titik yang termasuk dalam garis tersebut

$r$

(titik

$P$

) dan garis

$s$

dengan rumus:

$d(P,s)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Kami mengganti setiap suku dengan nilainya dan menyederhanakan ekspresinya:

$d(P,s)= \cfrac{\lvert -3\cdot 1 + 4\cdot 2+k\rvert}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}= \cfrac{\lvert -3+8+k\rvert}{\sqrt{9+16}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{\sqrt{25}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}$

Rumusan masalah memberitahu kita bahwa jarak antara dua garis harus sama dengan 5, jadi persamaan sebelumnya sama dengan 5:

$\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}=5$

Dan kami menyelesaikan persamaan yang dihasilkan. Pada pembilang pecahan terdapat nilai mutlak, oleh karena itu kita harus menganalisis secara terpisah kapan nilai mutlaknya positif dan kapan negatif:

$\cfrac{+(5+k)}{5}=5$